点L不在直线JK上
【例题】判定下题中，点K是否在直线AB上？
方法一：从属性
b′ k′ Z b″ k″
a′ a″
X
O
YW
a
k
b YH
K 点 在 直 线 AB 上
方法二：定比性
b′ k′
a′
Hale Waihona Puke X Oakk0
b0
K 点 在 直 线 AB 上
b
【例题】判断点C、D是否在直线AB上。
方法一：从属性
a′
Z a″
x
c’
c
o
b k
a
k
a d
两直线相交的投影特性：
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投 影的交点符合点的投影规律。
一般根据直线的两面投影即可判断是否相交
两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交 点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。


当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线 在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中 的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。 c a b k d
直角三角形法
b′ Z B a′ β A X a Y
量取 △ZAB
b″
量取 △YAB
AB真长
β
b′ △ZAB
α
γ a″ b △YAB
a′
b α
a
AB真长
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长， 另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的 真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的 倾角。
（3）正面投影积聚成一点。
（3）侧垂线
Z a’ B A X a 0 b H Y a”(b”) W X a b YH b’ 0 a”(b”) YW
V a’
b’
（1）正面投影⊥OZ ,平行于X轴;
（2）水平投影⊥OYH，平行于X轴; （3）侧面投影积聚成一点。
投影面垂直线的投影特性归纳为：
（a）铅垂线

O
a b
Y
b
b
X

a
b
O
YW
B b YH
投影特性： 1．ab OZ ; ab OYH
2．ab =AB 3．反映 、 角的真实大小
投影面平行线的投影特性归纳为：
水平线
a
a 实长 b a b 实长
正平线
a
γ α
侧平线
a b
a
b a
b
a 实长
β
b
B
a (b) (c)
f d
e
ED:DF = ed:df = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″
检验点C、F、I、L是否在直线AB、DE、GH、JK上
a’ d’
g’ (h’) i’
j’ l’
c’
b’
f’
X
e’ b a
c dfe
k’
O
h
i g
j
l
k
点C在直线AB上
点I不在直线GH上
点F在直线DE上
2.2 直线的投影
教学目标：
1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系 2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系 3、熟练运用直角三角形法解决作图问题 4、熟练运用直角投影定理解决作图问题
教学重点：
1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理
教学难点：
1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理
=Δ ZAB
【例题】已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的 点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。
b
L
AB
c a X b
BC=L
zA-zB
ab
a
c
【例题】已知直线AB的V面投影，且AB=40mm， 求AB的H面投影。
b′
△YAB
a′
a
量取△YAB
b
【例题】已知直线AB的V投影，且β=30° 求AB的H投影。
β
△YAB
b′
a′
a
量取△YAB
b
【例题】已知直线AB的V投影，且α=30°， 求AB的H投影。
b′
60° Δ zAB
直线AB真长
a′
α
a
b
直线的H投影长 以直线的H投影长 为半径，作圆弧
2.2.3.2
已知直线的真长和倾角求解有关的定位 和度量问题
【例题】如图所示：已知直线CD的两面投影，求CD对投影面 V、W的倾角，并在CD上取点T，T与C的真实距离为10mm ， 作点T的两面投影。
a”
c a d b
两面投影均平行的直线空间不一定平行
判断两直线是否平行的方法
1、第三面投影是否平行？ 2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？ 3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？
s’
s
s’
(2)两直线相交
d’ d’
b’
k’ a’ B K C D a’
b’
k’
x
c’
A c
o
b d
a c k
d b
(3)两直线交叉
d’ 1’(2’) a’ b’ d’
X
c’
2 2 1
A
a
B D O
b
1’(2’) a’
b’
X
c’ 2 b d
O
C 1
c
d
a c
1
两直线交叉的投影特性：
既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线 相交的投影特性，均属于两直线交叉.
yW
yH
直线投影的特点（三性）
1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。
2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于 投影面）时，其在该面的投影积聚为一点。 3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上 的投影长度小于真实长度。
A A B B A B
a H
b
a(b)
H H
s
k b
方法一，利用从属性
方法二，利用定比性
【例题】已知点C在线段AB上，求点C
V
b c a X A a c B X O b c
的正面投影。
bc ca c〞
0
b〞
a
a c
a〞
b
b
2.2.3
2.2.3.1
求直线的真长及其对投影面的倾角
求直线的真长及其对投影面的倾角
求解一般位置线段的实长及倾角 是求解画法几何综合题时经常遇到的 基本问题之一，也是工程上遇到的问 题。而用直角三角形法求解实长、倾 角又最为方便、简捷。求实长或可采 用辅助平面法。
b’ 0 a(b)
b” YW
YH
（1）正面投影⊥OX ；平行于Z轴
（2）侧面投影⊥OYW;平行于Z轴
（3）水平投影积聚成一点。
（2）正垂线
Z Z V a’ (b’) b” W 0 A a H Y a” X a’ (b’) 0 b a YH YW b” a”
B
X b
（1）水平投影⊥OX ,平行于YH轴; （2）侧面投影⊥OZ ,平行于YW轴;
a
b
（a）直线的真实性
(b)直线的积聚性
（c）直线的收缩性
2.2.1.2
与投影面成各种位置状态的直线
直线与投影面的位置关系有三种：
平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线） 正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与其余两投影面倾斜
c′
d′ b′ X O
c″
k″ b″ YW
a c
d
b YH
C 点 在 直 线 A B 上
D 点 不 在 直 线 AB 上
方法二：定比性
a′ c′
d′
b′
X
O
a c
d b
c0
d0
C 点 在 直 线 A B 上
D 点 不 在 直 线 AB 上
b0
【例题】试在直线AB上确定一点C，使 AC:CB=2:3，求C点的两面投影。
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1、
一般位置直线的投影特性
（1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜； （2）其三面投影都小于空间直线的实长，也不反映直线 与投影面的倾角。
Z
b′ b′ A b” a′ a′ X 0 b a” YW Z b”
X a
B
b
0 a” Y a
YH
一般位置直线与投影面的倾角 一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该 投影面的倾角。对H面的倾角记为“a”；对V面的 倾角记为“β” ；对W面的倾角记为“ ”。
两直线平行的判定：
若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。
一般根据两面投影便能判断两直线是否平行： 两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行 当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的 投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错。
b’ d’ a’ c’ c” d” b”
【例题】如图所示，求直线AB的真长及其对 投影面H、V的倾角 、
方法一：
△y=ab
a′
△z

a0

X
b′
O
a
b
方法二：
a′
Z

a″
AB真长

b′ X
b″ YW
a