19 向量的坐标形式
【高考要求】：平面向量的坐标表示(B)
【教学目标】：了解平面向量的基本定理及其意义．
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件（对线段定比分点坐标公式不作要求）．
【教学重难点】：用坐标表示的平面向量共线的条件
【知识复习与自学质疑】
【问题】
1．平面向量的基本定理内容是什么？
2．向量坐标的概念是什么？
3．平面向量的加法、减法、数乘的坐标运算是什么？
4．平面向量的数量积的概念是什么？什么是两个向量的夹角？平面向量数量积的几何意义是什么？
【练习】
1．已知(1,3)A -和(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，则a = ． 2．设点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，点P 满足()AP AB AC R λλ=+∈ ．当λ= 时，点P 在第一、三象 限角平分线上；当λ∈ 时，点P 在第四象限．
3．已知向量(1,1),(1a b == ，则向量,a b 的夹角为 ． 4．设(,3),(2,1)a x b ==- ，若,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 5．已知(3,1),(1,2)a b =-=- ，若(2)()a b a kb -+⊥+ ，则实数k = ．
【例题精讲】
向量的坐标运算
例1．已知向量x -=+===2,2),1,(),2,1(，根据下列情形求x ：（1）//； (2) ⊥．
例2．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-= ． （1）求32a b c +- ； （2）求满足a mb nc =+ 的实数,m n ； （3）若()//(2)a kc b a +- ，求实数k ； （4）设(,)d x y = 满足()//(),1d c a b d c -+-= ，求d ．
求向量的夹角
例3．已知)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ． (1)若1-=⋅，求)4sin(πα+
的值；
(2)点O 13=+其中),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角．
例4．已知)2,12(),3,2(-+=+-=m m m m ，且a 与b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．
向量坐标运算的运用
例5．已知向量(1,2),(2,1),,a b k t ==- 为正实数，向量21(1),x a t b y ka b t =++=-+ ． （1）若x y ⊥ ，求k 的最小值； （2）是否存在,k t ，使//x y ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【矫正反馈】 1．已知(1,2),(,1)a b x == ，若2a b + 与2a b - 平行，则x = ． 2．已知(3,5),(1,2),(5,25)a b c ==-=- ，若用,a b 来表示c ，则c = ．
3．已知(3,0),(,5)a b k == ，,a b 的夹角是34π，则k 的值为 ． 4．已知向量(1,1),(2,3)a b ==- ，若2ka b - 与a 垂直，则实数k = ．
5．已知向量(cos ,sin ),1)a b θθ==- ，则2a b - 的最大值为 ．
6．若向量(,2),(3,2)a x x b x ==- ，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 7．设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=-- ，若//p q ，则
角C 的大小为 ． 8．已知坐标平面内(1,5),(7,1),(1,2),OA OB OM P === 是直线OM 上一个动点，当OP = 时， ⋅取最小值，此时COS APB ∠= ．
四、【迁移应用】 9．在△ABC 中，(2,1),(3,2),(3,1),A B C BC ---边上的高为AD ，则AD 的坐标 ．
10．若11),(,22
a b =-= ，且存在实数,k t ，使得2(3),x a t b y ka tb =+-=-+ ，且,x y ⊥ 试求2
k t t
+的最小值．
例2、已知(1,2),(2,)a b n ==- ，,a b 的夹角是045． （1）求b ； （2）若c 与b 同向，且c a - 与a 垂直，求c ．
1、已知o 为坐标原点，)6,4(),2,0(B A ，t t 21+=．
（1）求点M 在第二或第三象限的充要条件；
（2）求证：当11=t 时，不论2t 为何实数A,B,M 三点都共线；
（3）若21a t =，求当⊥且ABM ∆的面积为12时a 的值．
2、已知向量1212,43a e e b e e =-=+ ，其中12(1,0),(0,1)e e == ． （1）试计算a b ⋅ 及a b + 的值； （2）求向量a 与b 的夹角大小．。