§2.4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0
3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或
a a a ⋅=||
4︒ cos θ =
|
|||b a b
a ⋅ ；5︒|a ⋅
b | ≤ |a ||b |
5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a
数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.
C
设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2
2112212
21j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式
一、 设),(y x a =，则2
2
2
||y x a +=或22||y x a +=
.
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么
221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)
二、 向量垂直的判定
设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x 三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
co s θ =
|
|||b a b
a ⋅⋅2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=
四、 讲解范例：
五、 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x . 解：设x = (t ， s )，
由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349
s t s t b x a x ⎩⎨
⎧-==⇒3
2s t ∴x = (2， -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）
有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．
记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
2
2
=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝
4
π
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.
解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+272323272941002522112
2
y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27
(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)2
3,27(-
例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，
求k 值.
解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3-
当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =
3
11 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2
13
3± 六、 课堂练习：
1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２
－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83
2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)5
3,54( B .)54,53(或)5
4,53(-- C.)54,5
3(-或)53,54(-
D.)54,53(-或)5
4,53(-
4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .
5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-
2
1
)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .。