重庆高中数学教研群 423966914 山羊数学 重庆高中数学教研群 938752755 导数定义
一、基础知识
1．导数的概念
(1)函数 y = f ( x) 在 x = x0 处的导数：函数 y = f ( x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim
x→0
y = lim f ( x0 +
x x→0
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故 lim f (1 + x) − f (1) = 3 ；
x→0
x
故选： C ．
变式
1．已知函数
f
(x)
在
x
=
x0
处可导，若
lim
x→0
f (x0 + 2
x) − x
f (x0 ) = 1 ，则 f (x0 ) = (
向，其大小 f ( x) 反映了变化的快慢， f ( x) 越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数 y = f ( x) 在 x = x0 处的导数 f ( x0 ) 的几何意义是在曲线
y = f ( x) 上点 P ( x0, y0 ) ❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s (t ) 对时间t 的导
f
(x0 )
→ 2 ，则
f (x0 ) = (
)
A．2
B． 1 2
C． −2
D． − 1 2
【解答】解：当 h → 0 时， f (x0 − h) − f (x0 ) → 2 ， h
则
f
(x0 )
=
h(x0 )
−
f (x0 h
−
h)
=
−2
，
故选： C ．
【答案】C
变式 4．若 y = f (x) 在 (−, +) 可导，且 lim f (a + 2 x) − f (a) = 1 ，则 f （a） = (
f ( x) = cos x
f ( x) = −sin x
f ( x) = ax (a 0, a 1)
f ( x) = ax ln a
f (x) = ex
f (x) = ex
f ( x) = loga x(a 0, a 1)
f ( x) = ln x
f (x) = 1
x ln a
f (x) = 2x + 3 f （2） + 1 ， x
令 x = 2 ，则 f （2） = 4 + 3 f （2） + 1 2
即 2 f （2） = − 9 ， 2
f （2） = − 9 ． 4
故答案为： − 9 4
变式 1．已知 f (x) = f (1) + 4x相应地，切线方程为 y − y0 = f ( x0 )( x − x0 ) ．
❷曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0, y0 ) 处的切线是指 P 为切点，斜率为 k = f ( x0 ) 的切线，
是唯一的一条切线.
(3)函数 f ( x) 的导函数：称函数 f ( x) = lim f ( x + x) − f ( x) 为 f ( x) 的导函数．
【答案】 34 9
【解答】解： f (x) = − f (1) + 4 ； x2
f （1） = − f （1） +4 ；
f （1） = 2 ；

f (x)
=
−
2 x2
+4；
f (3) = − 2 + 4 = 34 ．
9
9
故答案为： 34 ． 9
2.导数的几何意义
1.求切线方程（点在曲线上和点在曲线外）
)
x
A．4△ x + 2 △ x2 B． 4 + 2 △ x
C．△ x + 2
D． 4 + △ x
【答案】C
【解答】解：△ y = (1+ △ x)2 −1 = ( △ x)2 + 2 △ x ，
y =△x+2， x
故选： C ．
变式
3．设
f
(x) 是可导函数，当 h → 0 时，
f
( x0
− h) − h
t
2 −1
其导数 s(t) = 6t2 ，则 s （1） = 6 ，则在 t = 1 时的瞬时速度为 6m / s
故选： C ． 2.公式法求导数 (4)求下列函数的导数：
（1） f (x) = 1 x3 + 2x2 − 4x
3
（3） f ( x) = cos x − 2x
（5） f ( x) = x ln x
x→0
x
(4) f ( x) 是一个函数， f ( x0 ) 是函数 在 x0 处的函数值(常数)， f ( x0 ) = 0 .
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f ( x) = xn (n Q* )
f ( x) = n xn−1
f ( x) = sin x
f ( x) = cos x
(4) f (x) =
1 +1 x x2
(5) y = ln x +1
− x cos x − x sin x + sin x − cos x −1
(6) f (x) =
(x + sin x)2
3.复合函数求导 (1) y = 3 − 2x
（2） y = x ln (2x +1)
（3） y = e2x − e−x （4） y = sin 2x + cos2 x
例 1．曲线
f
(x)
=
3
−
x ex
，在点 (0,3) 处的切线方程为
．
【答案】 x + y − 3 = 0
【解答】解：由 f (x) = 3 − x ， ex
则
f
(x)
=
x −1 ex
，
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所以 f (0) = −1， 所以在点 (0,3) 处的切线方程为 y − 3 = −x ， 即 x+ y−3=0， 故答案为： x + y − 3 = 0 ． 变式 1.
【答案】 3x − y + 2 = 0 或 x − y − 2 = 0
（5） y = f 1 ； x
【答案】
（1） y = − 1 3− 2x
（2） f (x) = ln (2x +1) + 2x
2x +1
（3） f (x) = 2e2x + e−x （4） y = sin 2x + cos2 x
（5）
y
=
−
1 x2
f 1 ； x
即 2 f （a） = 1， 3
则 f （a） = 3 ， 2
故选： D ．
例 2．若函数 f (x) = x2 + x ，则函数 f (x) 从 x = −1 到 x = 2 的平均变化率为 ( )
A．0 【答案】B
B．2
C．3
D．6
【解答】解：根据题意，函数 f (x) = x2 + x ， f (−1) = 0 ， f （2） = 6 ，
)
A．2
B．1
C． 1 2
D．0
【答案】C
【解答】解：根据题意，若 lim f (x0 + 2 x→0
x) − x
f
(x0 )
=
2
lim
x→0
f
( x0
+2 2
x) − x
f
(x0 )
=
2 f (x0 )
=1，
则
f
(x0 )
=
1 2
，
故选： C ．
变式 2．在函数 y = x2 图象上取一点 (1,1) 及附近一点 (1 + △ x ，1 + △ y) ，则 y 为 (
二、常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：
(1)
1 x
1 = − x2
；
(2) (ln x ) = 1 ；
x
(3)

f
1
(x)

=
−

f f
(x) ( x)2
(
f
(x)

0)
；
(4) af ( x) bg ( x) = af ( x) bg( x) ．
lim s(1 + t) − s(1) = 9.8m / s ，则 9.8m / s 是该物体 (
)
t →0
t
A．从 0 s 到 1 s 这段时间的平均速度
B．从 1 s 到 (1+ △ t)s 这段时间的平均速度
C．在 t = 1 s 这一时刻的瞬时速度
D．在 t = △ t s 这一时刻的瞬时速度
（2） f ( x) = ex + ln x
（4） f ( x) = 2 x − 1 + 4 3
x
（6） f ( x) = x + cos x
x + sin x
【答案】
(1) f (x) = x2 + 4x − 4 ； (2) f ( x) = ex + 1 ；
x
(3) f ( x) = −sin x − 2x ln 2
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