积分运算的常用方法Warren K引言： 本学期课程的一大重点在于重积分的运算、利用重积分解决实际问题的微元法以及线面积分及其应用。

这里根据自己学习的一些心得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结一些积分运算的常用方法。

一、 二重积分 （1）、化为累次积分 公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰==bax y x y dcy x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f )(2)(1)(2)(1)(),(),(),(例1:计算⎰⎰)(s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域.解 将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得855])2[(5.02142212)(2=-+==⎰⎰⎰⎰⎰--+dy y y y xydx dyxyds y s y 如果用直线 把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。

先对y 后对x 积分得⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=4121)(xx x xs xydy dx xydy dx xyds由上式可以得出同样的结果，但这种方法显然要麻烦一些。

从这也可以看到，计算二重积分时，选取适当的积分顺序是一个值得注意的问题。

如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的麻烦，而且可能导致积分无法算出。

（2）、化为极坐标若积分域（S ）与被积函数f(x,y)用极坐标表示更为简便，则应考虑将其化为极坐标的二重积分来计算。

为此，建立极坐标系，令极点与xOy 直角坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。

利用直角坐标与极坐标的转换公式),20,0(sin ,cos πϕρϕρϕρ≤≤+∞≤≤==y x将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为).sin ,cos (),(ϕρϕρf y x f =接下来就是把面积微元由极坐标表示出来，.ϕρρ∆∆≈∆s从而⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαϕρϕρρρϕρϕρϕϕρρϕρϕρ)()(21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f ss=⎰⎰ba d f d )()(21)sin ,cos (ρϕρϕϕρϕρϕρρ例2：)0()(41022222>+-=⎰⎰-+--a dy y x a dx I ax a a x解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算.a d a d I a 222404sin 2022-=-=⎰⎰--πρρρθπθ（3）、曲线坐标下二重积分的计算法 1.正则变换 二重积分⎰⎰)(),(s ds y x f作变换.)(),()(),(),,(),,(22R s v u R s y x y x v v y x u u ⊆'∈⊂∈==若以下三个条件满足,则称上变换为一正则变换. a 、函数));((,)1(σC v u ∈b 、Jacobi 行列式);(),(,0),(),(σ∈∀≠=∂∂y x v u v u y x v u yyx x c 、此变换将域)(σ一一对应地映射为).(σ'2.x0y 坐标系下的二重积分与uOv 坐标系下二重积分之间的关系为σσσσ'∂∂=⎰⎰⎰⎰'d v u y x v u y v u x f d y x f ),(),()],(),,([),()( 例3：求⎰⎰-=σσd x y I )(，其中)(σ是由直线53,973,3,1+-=+-=-=+=xy x y x y x y 所围成的区域。

解：作变换;43),(),(1),(),(,31,.-=∂∂=∂∂+=-=y x v u v u y x x y v x y u于是，由变换公式得：3384343),(),()]4343()4341[(59713)(-===∂∂+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-'udu dv udvdududv v u y x v u v u I σσ二、 三重积分（1）、先单后重或先重后单⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==aby x z y x z Vdz d z y x f d dz z y x f dV z y x f z ]),,([]),,([),,()()(),(),(21σσσσ（2）、曲线坐标下三重积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰'∂∂=)()(|),,(),,(|)],,().,,(),,,([),,(V V dudvdww v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f （3）、柱面坐标下三重积分的计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)()(),sin ,cos (),,(V V dz d d z f dV z y x f ϕρρϕρϕρ（4）、极坐标下三重积分的计算.sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,()(2)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V V d drd rr r r f dV z y x f ϕθθθϕθϕθ ||例4：计算三重积分};41,|),,{()(,)(22222)(22≤++≤+≥=+⎰⎰⎰z y x y x z z y x V dV y x z V 解：用球坐标，原式=πθθθθϕππ4863sin sin cos 202122240=⋅⋅⎰⎰⎰dr r r r d d 例5：)(,1)(22V yx dV V ⎰⎰⎰++ 由1,222==+z z y x 所围成， 解：利用柱坐标， 原式=).222(ln 1101220ππρρρϕρπ+-=+⎰⎰⎰dz d d 例6：证明：抛物面122++=y x z 上任一点处的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积恒为一常数值。

解：122++=y x z 上过)1)(,,(202000000y x z z y x P ++=处的切平面方程为 .122202000y x y y x x z --++=则切平面与抛物面22y x z +=所围立体体积为πρρρϕσσπ23)1(]1)()[(1)()(2010220201)()(122202020202200022=+=+-+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-+-≤-+---+++y y x x y y x x y x y y x x y x d d d y y x x dzd V与0P 无关的常数其中ϕρϕρsin ,cos 00+=+=y y x x ，则ρϕρ=∂∂),(),(y x 三、 含参变量的积分和反常积分（1）、求导与积分可交换顺序。

条件：)(),(D C f D C f y ∈∈ 则⎰=ab dx y x f y F ),()(在[c,d]上有连续的导数，且求导与积分可交换顺序，即⎰⎰∂∂=='b a badx y y x f dx y x f dy d y F .),(),()( （2）、积分顺序交换性 若),(D C f ∈则⎰=ba dx y x f y F ),()(在[c,d]上可积，⎰=dcdy y x f x G ),()(在[a.b]上可积，且⎰⎰⎰⎰=b adcd cbadx dy y x f dy dx y x f )),(()),(( ||例7：计算积分⎰>-1)0,(,ln b a dx xx x ab 解：这个积分难以直接求解，需要利用积分顺序交换性来求，由于.11ln ln ln 101010ab dx x dy dy x dx dx x x x dy x xx x y b a b a y ab b a y ab ++===-⇒=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、 第一型线面积分（1）、第一型线积分计算公式设有一简单的光滑空间曲线（C ），其参数方程为)()(),().(βα≤≤===t t z z t y y t x x若函数f(x,y,z)在（C ）上连续，则⎰⎰++=βαdt t z t y t xt z t y t x f ds z y x f C )()()()](),(),([),,()( （2）、第一型面积分计算公式 设有一曲面（S ）3R ∈，其参数方程为2)(),()),,(),,(),,((),(R v u v u z v u y v u x v u r r ⊆∈==σ若函数r(u,v)在)(σ上连续可导，且0≠⨯v u r r 则d u d vr r v u z v u y v u x f dS z y x f v uS⎰⎰⎰⎰⨯=)()],(),,(),,([),,(σ若（S ）方程为)(),(),,(σ∈=y x y x z z ，则也可写成⎰⎰⎰⎰++=)(22)(.1)],(,,[),,(σdxdy z z y x z y x f dS z y x f y x S ||例8：计算⎰⎰++)(2)124(s y x ds,其中是(S)平面在第一卦限的部分. 解:;9);4816,,(),,(=⨯--=y x r r y x y x z y x r原式=19ln 89)124(9240220-=++⎰⎰-xy x dydx例9：设曲面是上半球面4222=++z y x ，其面密度为z ，求曲面的质量。

解：π82422==⎰⎰⎰⎰≤+y x sdxdy zdS五、 第二型线面积分（1）、第二型线积分的计算⎰⎰++=⋅)()(),,(),,(),,()(C C dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ds M A其中⎰⎰⎰⎰⎰⎰===αβαβαβdt t zt z t y t x R dz z y x P dt t y t z t y t x Q dy z y x Q dt t xt z t y t x P dx z y x P C C C )()](),(),([),,()()](),(),([),,(,)()](),(),([),,()()()( （2）、第二型面积分的计算⎰⎰⎰⎰Λ+Λ+Λ=⋅)()(),,(),,(),,()(S S dy dx z y x R dz dz z y x Q dz dy z y x P dS M A（3）、利用Green,Stokes,Gauss 公式。

|| 例10：计算第二型曲面积分⎰⎰∑Λ++-Λ++Λ+=dy dx z y x dx dz z y dz dy z x I )(4)1(sin )1(cos 2222其中∑是下半球面221y x z ---=的上侧解：原式=042)(4)41(132012222=-=+-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ωρρϕππd d dxdyy xdv y x六、 巧妙利用对称性简化积分运算例11：计算⎰⎰∑++ds xz yz xy )(，其中∑为锥面22y x z +=被圆柱面ax y x 222=+所截下的部分。

(a>0)分析 由于曲面∑关于zOx 坐标面对称，而(xy+yz)是y 的奇函数，则0)(=+⎰⎰∑dz yz xy解：由22y x z +=知.21122222222σσσd d yx y y x x d z z ds yx=++++=++= 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+=-∑Da a d d d y x x zxds 422cos 2032221564cos 22ππϕρϕρϕσ 例12：计算二重积分：⎰⎰+D d b y ax σ)(2222其中}|),{(222R y x y x D ≤+=解：利用对称性：若积分域D 关于直线y=x 对称，则⎰⎰⎰⎰=DDd x y f d y x f σσ),(),(，本题中的D 关于y=x 对称，则⎰⎰⎰⎰+=+D D d b x a y d b y a x σσ)()(22222222 从而有⎰⎰+D d b y ax σ)(2222=).11(4)11(21])()([2132420032222222222ba R d db a d b x a y d b y a x R D D +=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰πρρϕσσπ例13：,)]cos(1[44⎰⎰++=Dd y x x y I σ其中D 由直线y=x,y=1,x=-1围成。