＊计算截面面积
(
O
红色部分即A(x0)
a
)
x0 b x
是区间[1( x0 ),2( x0 )]为底, 曲线 z f ( x0 , y)
为曲边的曲边梯形.
5
http://mooker.80.hk
z
z f ( x0, y)
z
z f (x, y)
A(x0)
yy
O 1( x0 ) 2( x0 )
y
证
设I


D
a( x) (x)
b( y)dxdy ( y)
y x
1
由区域关于直线y x的对称性得
O
I


D
a ( (
y) y)

b( x)dxdy (x)
1x
所以, 2I

(a

b)dxdy
a

b

I

1 (a 2

b)
D
24
http://mooker.80.hk
f ( x, y)dy) dx
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a 1 ( x)
a
1 ( x)
先对y后对x的二次积分(累次积分)
6
http://mooker.80.hk
(2) 积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y)
y
d
D
x 1( y)
c
3
http://mooker.80.hk
回忆：平行截面面积为已知的立体的体积
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
b
dV A( x)dx 立体体积 V a A(x)dx
此方法关键是求 A( x)
4
http://mooker.80.hk
凡遇如下形式积分:
sin xdx, sinx2dx, cosx2dx, ex2dx, x
y e x2dx, e xdx,
dx , 等等,一定要放在
ln x
后面积分.
14
http://mooker.80.hk
例
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序.
应的积分区域
1
y x
y x/2
区 域 可 表 示 为: 0 y 1, y2 x 2 y.
o 12 x
1
2y
I dy f ( x, y)dx.
0
y2
28
http://mooker.80.hk
D
1
1 x
0 dx0 ( x y xy)dy

1
0 [x(1
x)
1 (1 2
x)3]dx
7. 24
x y1 2x
21
http://mooker.80.hk
例 计算积分I | y x2 | d ,
y

其 中( )为 : 0 x 1,0 y 1. 1
题型（1）化二重积分为二次积分； （2）交换积分次序；
25
http://mooker.80.hk
作业
习题8-2(1) (77页) 3.(1) (3)(4) 4. 5. 6.(1) (2) 7.(2)(3)
26
http://mooker.80.hk
计算(学生练习）
1
1
(1) dy
1 x3dx
小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y x, y)dy［. X－型］
D
a
1 ( x )
D
f ( x, y)d
d
dy
c
2 ( y) 1 ( y )
f ( x, y)dx.［Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
x3 2

x 2
dx


x4 8

x2 4
2 1
9 8
1 x2 1 y x
11
http://mooker.80.hk
y
解法2： 先x后y
22
xyd 1 [y xydx]dy
2 y 1
·· y=x x=2
D

2
1

y

x2 2
2 dy y
2a
16
http://mooker.80.hk
例 交换积分次序：
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x x 2 y
y 2x x2 x 1 1 y2
O
1
2x
原式=
1
dy
立体的体积.
z
曲顶z R2 x2
解 V1 f ( x, y)d
D
R2 x2d
D
Rdx R2 x2 R2 x2dy 00
2 R3
3
V

8V1

16 3
R3
o y
x
y
o
y D
R
R2 x2
x
19
http://mooker.80.hk
例 求由下列曲面所围成的立体体积，
0
x
1 y2

2
1

2
y

y3 2
dy

y
2


y4 8
2 1
9 8
y x2
12
http://mooker.80.hk
例 计算 e x2dxdy, D是第一象限中由直线y x
D
和y x3围成区域.
解 yx

y

x3
(0,0)
, (1,1),
用二重积分的几何意义说明其计算法:
f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)的值等于以D为底,
以D曲面 z f ( x, y)为顶的曲顶柱体的体积.
应用计算“平
z
z f (x, y)
行截面面积为 已知的立体求 体积”的方法.
y
y 2(x)
A( x0 ) D
y 1(x)
0
0
解 积分区域如图
0 y1 DY : 0 x 1 y
原式
1
1 y
dy f ( x, y)dx .
0
0
y 1 x
15
http://mooker.80.hk
例 交换积分次序：2a dx 2ax f ( x, y)dy (a 0)
0
2ax x2
解y
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.
D
D
23
http://mooker.80.hk
例 设( x)为[0,1]上的正值连续函数,
证明：
D
a
( (
x) x)

b( y)dxdy ( y)

1 2
(a

b)
其中a, b为常数，D ( x, y) 0 x, y 1
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx
D
c
1 ( y)
7
http://mooker.80.hk
1.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时, 将D分成几部分，使每部分是X-型区域或 是Y-型区域.
2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以 用两个公式进行计算.
y
Ⅱ
y d
Ⅰ
Ⅲ
D
c
0
x
0a
x b
0
y
(2)
D
sin y
ydxdy,
D由y

答案：
2 (1) .
9
x , y x所围闭区域.
(2)1 sin1.
27
http://mooker.80.hk
练习
交换积分I
1
dx
x
2
1
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy次序.
0
x/2
1
x/2
y
解 由给出的积分画出相
8
http://mooker.80.hk
特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则

f ( x, y)d
b
d
a dxc
f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx
若f ( x, y) f1( x) f2( y)
则
bd
f1( x) f2( y)dxdy a ( c f1( x) f2( y)dy )dx
a
•(a,a)

a 0
f
( y)
x
a y
dy

a
(a y) f ( y)dy
0
O
a
0 (a x) f ( x)dx
a
x
0 y a,
y xa
证毕.
18
http://mooker.80.hk
例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分
别为 x2 y2 R2及 x2 z2 R2 . 求所围成的