解 积分区域:
y
y 2 x x 2 y
y 2 x x2 x 1 1 y2
O
1
2
2
x
原式= dy
0
1

2 y
1 1 y
f ( x , y )dx
17
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例 求证
0
a
dx f ( y )dy (a x ) f ( x )dx ( a 0)
y y
d
x 1 ( y )
d
x 1 ( y )
［Y－型］
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)
c
O
x
c
O
x
2 ( y ) 在区间 [c , d ] 上连续. 其中函数 1 ( y )、
f ( x , y )d ( ( y ) f ( x , y )dx ) dy c D
a y
0
a
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
a
0 y a, y xa
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证毕.
例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分 2 2 2 别为 x y R 及 x 2 z 2 R 2 . 求所围成的 立体的体积.
1
d
2 ( y)
先对x后对y的二次积分 也即
f ( x , y )d dy c ( y) D
d
1
2 ( y )
f ( x , y )dx
7
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1.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时, 将D分成几部分，使每部分是X-型区域或 是Y-型区域. 2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以 用两个公式进行计算.
定限要注意的问题： 1.上限>下限. 2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数. 3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限). 4.二重积分的结果应为常数.
10
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例 计算 xyd
D
其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.
解法1： 先y后x
用二重积分的几何意义说明其计算法:
f ( x , y )d ( f ( x , y ) 0) 的值等于 以D为底,
以曲面 z f ( x , y )为顶的曲顶柱体的体积. z f ( x, y) z 应用计算“平 行截面面积为 y 2 ( x) A( x0 ) 已知的立体求 y D 体积”的方法. y 1 ( x )

y 1
( 1 )
( 2 )
y x2
其 中( )为 : 0 x 1,0 y 1.
解
I
(y x
1
2
)d ( x y )d
2
o
1 x
2
4 1 11 . 15 10 30
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补充轮换对称性结论:
D D
2
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(2)如果积分区域为： a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
y
y 2 ( x)
D
y 1 ( x)
［X－型］
y
y 2 ( x)
D
y 1 ( x)
x
O
a
b
O
a
b
x
其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续.
第二节 二重积分的计算法
计算二重积分的方法: 二重积分 累次积分(即两次定积分).
1
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一、利用直角坐标系计算二重积分
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D， 则面积元素为 d dxdy 故二重积分可写为
y
D
o x
f ( x, y )d f ( x, y)dxdy
24
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由区域关于直线 y x的对称性得O a ( y ) b ( x ) I dxdy ( y) ( x) D
1
x
小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
D
D
b
a
dx
2 ( x )
1 ( x )
所求体积V ( x y xy )d
D
ห้องสมุดไป่ตู้
o
2
x
dx
0
1
1
1 x
0
( x y xy )dy
7 1 3 [ x(1 x ) (1 x ) ]dx . 0 2 24
21
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例
计算积分 I | y x 2 | d ,
y
x
xyd [ xydy]dx
D 1 1
2
y=x




2
1
2
1
x x x x 9 1 x 2 2 2 dx 8 4 8 1 y x 1
3 4 2
11
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y x 2 dx 1
D ( x, y ) 0 x, y 1 其中a, b为常数，
y
1


y x
a ( x ) b ( y ) 证 设I dxdy ( x) ( y) D
1 所以, 2 I ( a b )dxdy a b I (a b) 2 D
＊ 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) 是区间 [1 ( x0 ), 2 ( x0 )]为底, 曲线 z f ( x0 , y ) 为曲边的曲边梯形.
O
D
a
x0 b x
5
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z
z f ( x0 , y )
A(x0)
z
y 2 ( x)
y y
a
f ( x , y )dx
f1 ( x ) f 2 ( y )dxdy ( c D
f1 ( x )dx
a b
f1 ( x ) f 2 ( y )dy )dx

d
c
f 2 ( y )dy
即等于两个定积分的乘积.
9
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二重积分是化为两次定积分来计算的，关键 是确定积分限.
例 求由下列曲面所围成的立体体积， z x y , z xy , x y 1, x 0, y 0.
解 曲面围成的立体如图.
20
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所围立体在 xoy 面上的投影是
y
2
0 x y 1, x y xy,
x y 1
2
x
·x=2 · y=1
0
x
1x 2
2
解法2： 先x后y
xyd [
D 1
2
2 y
xydx ]dy
y 2 y 1 0
y=x
··
x=2 x


2 1
2
1
x y 2 dy y
2
2
1 y 2


y3 2y dy 2
2 y4 9 y 8 8 1
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
0
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
16
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例 交换积分次序：
0 dx 0
1
2 x x2
f ( x , y )dy dx
1
2
2 x
0
f ( x , y )dy
2
y x2
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例
计算 e dxdy , D是第一象限中由直线y x
x2 D
和y x 3围成区域. 解 y x (0,0) , (1,1), 3 y x 0 x1 DX : 3 x y x
(1,1)
y x
3.(1) (3)(4)
O
z f ( x, y)
A( x0 )
D
O
1 ( x0 )
1
2 ( x0 )
2 ( x0 )
0
y 1 ( x )
x0
b
a
2 ( x ) 1 ( x )
x
A( x0 ) ( x ) f ( x0 , y )dy
b
D b 2 ( x )
A( x )
b
f ( x , y )dy
V f ( x , y )d A( x )dx
a
(
a
1 ( x )
f ( x , y )dy ) dx

a
dx
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy
6
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先对y后对x的二次积分(累次积分)
(2) 积分区域为： c y d , 1 ( y ) x 2 ( y )
y