统计学
STA(第TI7S版TI)C性S 质F1
( n1 ,
n2 )
F
1 (n2 ,
. n1 )
性质的证明 因为F ~ F (n1, n2 ), 所以
P
1 F
1
F1
(n1
,
n2
)
1
P
1 F
1
F1
(n1
,
n2
)
1 P{F F1 (n1, n2 )} 1 (1 )
由于 1 F
样本均值的抽样分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数
学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
=10
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
= 50 X
总体分布
x 50
x
抽样分布
6 - 25
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
3. 令 Y z 2 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ 2 (1)
4. 当总体 X ~ N(, 2 ) ，从中抽取容量为n的样本，则
n
(xi x)2
6 - 10
i 1
2
~ 2 (n 1)
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统计学
STATISTICS (第7版)
2分布
(性质和特点)
STATISTICS (第7版)
t 分布
1. 戈 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于 正态分布
1. 分布的变量值始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不
对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
3. 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由
度)
4. 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量 ， U~2(n1) ， V~2(n2), 则 U+V 这 一 随 机 变 量 服 从自由度为n1+n2的2分布
统计学
STATISTICS (第7版)
中心极限定理
(central limit theorem)
从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的
样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均 值为μ、方差为σ2/n的正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 37
/
2 1
S22
/
2 2
F(n1 1, n2 1)
6 - 33
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统计学 样本均值的抽样分布与总体分布的关
STATISTICS
系
(第7版)
总体分布
正态分布
正态分布
6 - 35
非正态分布
大样本
小样本
正态分布 非正态分布
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统例计6.2学:设从一个均值为10、标准差为0.6的总体中随
(1)P(x 9.9) P( x 10 9.9 10 ) P(z 1) 1 P(z 1) 0.1587 0.6 36 0.6 36
(2)P(x 9.9) P( x 10 9.9 10 ) P(z 1) P(z 1) 0.8413 0.6 36 0.6 36
解二：P(x 9.9) 1 P(x 9.9) 1 0.1587 0.8413
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数
3. 统计量是统计推断的基础
6 -5
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STATISTICS (第7版)
常用统计量
6 -6
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统计学
STATISTICS 6.2 由正态分布导出的几个重要分布
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V 为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相
互独立，则称FF为服U从n自1 由度n1和n2的F分布，记为 V n2
6 - 18
F ~ F (n1, n2 )
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STATISTICS (第7版)
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
6 -8
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STATISTICS (第7版)
2 分布
6 -9
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6 - 11
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STATISTICS (第7版)
n=1
2分布
(图示)
n=4 n=10 n=20
6 - 12
不同容量样本的抽样分作布者：贾俊平，中国人民大学统计学院2
统计学
STATISTICS (第7版)
t 分布
6 - 13
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统计学
6 - 26
x
x
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STATISTICS (第7版)
中心极限定理
6 - 27
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STATISTICS (第7版)
x 的分布趋 于正态分布 的过程
中心极限定理
(central limit theorem)
6 - 28
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STATISTICS (第7版)
一、一个正态总体的情况
设总体 X ~ N (, 2 ) 定理1 X N (, 2 / n) 证明
样本为 X1, X2, , Xn
1 n
X n i1 Xi
S 2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
S
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
U X N (0,1) / n
性质. F分布的数学期望为:
若n2>2 即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
F 分布的上侧分位数 F (n1 , n2 ) : P{F F (n1, n2 )}
其值可通过查附表获得,如
F0.025 (8,7) 4.90, F0.05 (30,15) 2.25 .
6 - 19
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统计学
STATISTICS
第6章
统计量及其抽样分布
(第7版)
6 -1
作者：中国人民大学统计学院
贾俊平
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS
第6章
统计量及其抽样分布
(第7版)
6.1 统计量 6.2 由正态分布导出的几个重要分布 6.3 样本均值的分布与中心极限定理
6 -2
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
(第7版)
6.2.1 抽样分布
6.2.2 2分布
6.2.2 t 分布 6.2.3 F 分布
6 -7
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统计学
STATISTICS (第7版)
抽样分布
(sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
统计学
STATISTICS (第7版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
6 -3
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统计学
STATISTICS (第7版)
6.1 统计量
~
F (n2 , n1 ),
所以 F (n2 , n1 )
1 F1- (n1 , n2 )
例如
F0.95 (12,9)
1 F0.05(9, 12)
1 2.8
0.357
6 - 20
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统计学
STATISTICS (第7版)
F分布
(图示)
不同自由度的F分布
（1,10)
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统计学
STATISTICS (第7版)
样本均值的抽样分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本均 值的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种理论概率分布
3. 推断总体均值的理论基础
6 - 24
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统计学
STATISTICS (第7版)
统计学
STAT定IST理ICS4
(第7版)
U
( X Y ) (1
2 1
/
n1
2 2
/
2 )
n2
N (0,1)
定理5
若更设
2 1
=
2 2
,
则
T
(X
Y
)
(1 Q
2
)
t
(n1