洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 学号 1322060006 编号 201522060006 分类 理工

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 成人教育本科生毕业论文

Adult Education Bachelor’s Thesis

论文题目 多项式理论在初等数学中的应用 作者姓名 郭莉娜

指导教师 所在院系 数学科学学院

专业名称 数学与应用数学

完成时间 2015年3月20日 多项式理论在初等数学中的应用 潇 洒（指导教师：张永新） （洛阳师范学院 数学科学学系 河南 洛阳 435002）

摘 要：多项式理论是高等代数的主要内容之一，它与初等数学有着密切的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题。本文将从因式分解、一元高次方程、多项式的恒等、证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学中的应用，并给出了若干应用方法，彻底解决了一元多项式的理论问题，促使师范专业的学生了解到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等代数之间的联系，加强学生对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的教师提供帮助。 关键词:因式分解 一元高次方程 多项式的恒等 艾森斯坦判断法

洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文

1 多项式理论在初等数学中的应用 多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都常遇见它.但因为高等代数与初等数学在研究对象、方法上出现了不同，加之它的抽象性，造成许多数学专业的大学生认为，“教中学用不上高等代数”，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视.那么如何运用高等代数来指导中学数学便成了值得探讨的问题. 本文将运用高等代数中的多项式理论方面的知识来处理初等数学中的一些遗留问题.通过一些实例，使师范院校的学生充分了解到高等代数对初等数学的指导作用.

1 判断能否分解因式 多项式的因式分解是指在给定的数域F上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如多项式22x在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘

积，但这个多项式在实数域上可约，因为)2)(2(22xxx. 因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过5次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨.

1.1 待定系数法 按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数. 例1 判断43281xxx在有理数域上能否分解因式.

解 令43()281fxxxx，因为(1)0f，所以()fx无一次因式.若一个整系洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 2 数)0(nn多项式()fx在有理数域上可约，那么()fx总可以分解成次数都小于n的两个整数系数多项式的乘积.则可设22()(1)(1)fxxmxxnx，其中nm,为整数.即43432281()()1xxxxmnxmnxnmx

比较等式两端的对应项系数，得20?8mnmnnm①②③

由②知 0m或0n，若0m，则2n 但8202mn；若0n，

则2m，但82mn ，所以()fx不可约.即()fx在有理数域上不能分解因式.

1.2 艾森斯坦判断法

定理1]1[ （艾森斯坦判断法）设01()nnfxaaxax是一个整系数多项式.若是能够找到一个素数p使 （i) 最高次项系数na不能被p整除； (ii) 其余各项的系数都能被p整除； （iii) 常数项0a不能被2p整除， 那么多项式)(xf在有理数域上不可约. 例2[1] 判断2nx在有理数域上能否分解因式.

解 令()2nfxx，易找到素数2p，满足上述条件，21，2|2 ，222，故()fx在有理数域上不可约.即2nx在有理数域上不能分解因式. 艾森斯坦判断法不是对于所有整系数多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数p不一定存在.若是对于某一多项式)(xf找不到这样的素数p，那么)(xf可能在有理数域上可约，也可能不可约.例如，对于多项式232xx与21x来说，都找不到 洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 3 一个满足判断法的条件素数p，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不可约.虽然有时对于某一多项式)(xf来说， 艾森斯坦判断法不能直接应用，但是我们可以把()fx适当变形后，就可以应用这个判断法，例如21x，令1xy 得2()22gyyy

，因为21，2|2，222，所以21x在有理数域上不可约.

以上通过待定系数法和艾森斯坦判断法，我们就可以知道多项式能否分解因式.

2 分解因式 在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便、特殊，如提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题.

2.1 综合除法 综合除法用以寻找所给整系数多项式()fx的一次因式，()fx有因式xa的充要条件是()0fa，a就是()fx的一个根.当a是有理数时，可用综合除法试除予以确定.这种方法的依据是：如果整系数多项式

0111)(axaxaxaxfnnnn

有因式qxp（p，q是互质的整数）则p一定是na的约数，q一定是0a的约数. 具体做法是：

（1）先写出整系数多项式()fx的首项系数na和常数项0a的所有因数，然后以n

a

的因数为分母，0a的因数为分子，做出所有可能的既约分数（包括整数），如果()fx有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是()fx可能的试除数. 洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 4 （2）从上述既约分数中合理地选择试除数.首先，1与 -1永远在有理数jipq中出现，计算f（1）.若f（1）=0，则1是()fx的有理根.若有理数(1)是()fx的

有理根，则只需对那些使商(1)1f与(1)1f都是整数的jipq来进行试除.（假定(1)f都不等于零，否则可以用(1)x或(1)x除()fx而考虑所得的商式.） （3）选好试除数后，即用综合除法试除. 例3 在有理数域上分解多项式326+1514xxx. 解 这个多项式的最高次项系数1的因数是1，常数项14的因数是1,2,7,14.所以可能的有理根是1,2,7,14.我们算出，(1)4,(1)36ff.所

以都不是()fx的根.另一方面，由于44444,,,121717114114都不是整数，所以2,7,14都不是()fx的根.但44,1212都是整数，所以有理数2在试验之列，

应用综合除法 2 | 1 6 15 14 2 8 14 1 4 7 0 所以2是()fx的一个根，同时我们得到2()(2)(47)fxxxx.容易看出，2不是()fx的一个重根.从而2()(2)(47)fxxxx

应用综合除法分解多项式可以使解题思路清晰，解题过程简洁，不易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上.如果多项式需要试除的因子过多，则每个因子都要进行一次相应的综合除法，这就给计算增加了困难.

2.2 待定系数法 用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件，判定原式分解后形成的因式乘积的形式，然后再列方程（组）确定待定系数的值. 洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 5 例4 在有理数域上分解多项式4353xxx. 解 先用综合除法，可能的试除数是1，3，试除结果都被排除，因此原式在有理数域上没有一次因式.假定原式含有x的二次因式，设 432243253()()()()()xxxxmxkxnxlxmnxkmnlxmlnkxkl

比较等式两端对应项的系数，得方程组1053mnmnklmlnkkl①②③④ 上面④的,kl同是原式常数项3的因数，因此k和l的值可能有下面四组. 13kl

或13kl或 31kl或31kl

将13kl代入③式 得 35mn ⑤ 将①、⑤联立，解得31,22mn. 但是31,,1,322mnkl不满足②式,因此不是方程的解. 将13kl代入③，得35mn ⑥ 将①、⑥联立，解得1,2mn. 并且1,2,1,3mnkl满足②，因此是方程组的解.

所以432253123xxxxxxx 待定系数法比较简单，也容易理解，但会涉及到解多个方程组，计算量往往会加大.只有在分解因式前先观察最高次项系数与常数项系数，再找出多项式的所有有理根，才能有效降低待定系数法的难度.

2.3 分离重因式法

设()0,()ofxfx有典型分解式