第八章结构的动力学模型修正§8.1 概述随着科学技术的进步，人们对工程结构设计的要求越来越高，因此在进行结构静、动力分析时，要求反映结构力学特征的模型正确可靠，就成为顺理成章的事，结构建模问题因而显得越来越重要。

对结构振动分析而言，一个良好的数学模型是保证固有特性和振动响应计算、载荷预计、稳定性分析等得到可靠结果的前提。

上一世纪中期发展起来的有限元素法，为结构动力学建模提供了一个有力的手段。

但由于各种原因，根据结构的力学模型用有限元素法建立的数学模型，常常不能准确反映实际结构的动力学特征。

虽然在后来随着振动测试技术、信号处理技术的发展，使得以参数识别技术为基础的试验模态方法获得了大的发展，但由于参数识别也是以参数模型存在为前提条件，如果参数模型本身不能反映结构的本质与特征，则再好的数学识别技术也不能提高结构模型的精度。

而且由参数识别得到的模态数据，往往远少于建模的需要。

结构的动力学建模仍然有许多需要解决的问题。

要得到一个与实际结构动力学特性符合较好的模型，可以从两个途径来解决这个问题：一个途径是用理论分析（如有限元素法）建立模型，再用实测数据进行模型修正，称为结构动态修改或动力学模型修正；另一个途径是仅用测试数据，以参数模型为依据求得物理坐标下表征结构动态特性的质量、刚度、阻尼矩阵，即所谓物理参数识别问题。

因此，结构动力学模型修正的工程含义可以从两方面来阐述：（1）计算模型的动力学模型修正。

对于实际结构运用有限元法建立的数学模型，由于它不能准确反映实际结构的动态特性，需用实测数据进行修正，以获得能用于计算的数学模型。

（2）结构的动力学修改。

结构动力学修改的正问题是指：对已有结构做了局部修改后，在原结构模态参数已知的情况下，用快速简易的方法获得改动后结构的模态参数。

即所谓结构重分析问题。

结构动力学修正的反问题是指：已知的原结构模态参数不符合要求，在对结构模态参数的要求已给定的情况下，对结构进行修改，使改动后的结构模态参数符合要求。

如果将结构视为一个系统，则结构动力学模型修正的实质是：根据系统某些动态特性的要求（对计算模型的动力学模型修正就是实测数据），对已有系统进行有约束有目标的修改。

从原理上看，这是一个有约束的结构优化设计问题。

由于具体工程结构千差万别，结构动力学模型修正的具体方法也就各不相同。

§8.2 结构动力学模型修正的若干问题本章所讨论的结构动力学模型修正问题，其对象是模态密度不高且已经用有限元方法离散后的结构。

因此，当结构的刚度矩阵、质量矩阵等的元素有微小变化时，结构的固有频率、振型等也发生微小的变化。

当模态密集或有重频时，上述结论就不再成立了。

1． 灵敏度分析灵敏度的定义有两种：“因变量的变化”除以“自变量的变化”；“因变量的相对变化”除以“自变量的相对变化”。

为了便于比较各个参数对动力学特性的影响，本章采用后一种定义。

对于有限元模型，结构的可修改参数体现在模型的物理参数中，易于用数学方法计算出动态特性对修改参数的灵敏度。

由复模态理论知，结构的质量矩阵][M 、刚度矩阵][K 和阻尼矩阵][C 的元素都是实数，而其动态特性则是复数。

当然对于无阻尼系统的动态特性是实数，故可设函数),,(21 x x y y =R x i ∈（实数域），C y ∈（复数域） （8－1）则灵敏度定义为：)0,0(ln ln //lim)/(0≠≠∂∂=∂∂⋅=∆∆=→∆y x x yx y y x x x y y x y i i ii i i x i i η （8－2）由于y 为复数，故η也是复数，大小由其模决定，灵敏度的倒数称为稳定度。

灵敏度具有如下性质：（1） 设∏==ni i x y u 1)(，则 ∑∑===∂∂=∂∂=ni i n i i x y x y x u x u 11)/()(l n )(l n )(l n )(l n )/(ηη （8－3）（2） 设)(/1x y u =， 则)/()/(x y x u ηη-= （8－4） （3） 若a ，b 为常数， 则)/()/()/(x y bx y x ay ηηη== （8－5） （4） 设)(y u u =，)(x y y =， 则)/()/()/(x y y u x u ηηη⋅= （8－6） （5） 设)(x y u m =，其中m 为非零的有理数，则 )/()/(x y m x u ηη⋅= （8－7）（6） 若∑==ni i x y u 1)(，),2,1(0n i y =≥，且)/(max m ax x y i ηη=及)/(min m in x y i ηη=，由：u yx y x y x y u x x y u x x u u x x u i ni i i n i i n i i ∑∑∑=====∂∂=∂∂⋅=111)/()/()/(ηηη所以有：∑∑∑===≤≤ni i i n i i i ni i i u yx y u y x y u y x y 1max 11min )/()/()/(ηηη即： m a x m i n ηηη≤≤ （8－8）上述灵敏度定义和性质可以用于振动系统灵敏度分析，得到特征值变化与特征向量、质量矩阵及刚度矩阵变化间的关系。

§8.3 实模态参数的灵敏度无阻尼振动系统的特征方程为：}0{}]){[]([2=-i i M K φω （8－9）假定固有振型已经对质量归一化，记动态修改参数为j b ，将式（8－9）两端对j b 求偏导，并用到T i T i M K }0{])[]([}{2=-ωφ （8－10）}0{}{])[]([}){][][2][(22=∂∂-+∂∂-∂∂-∂∂ji i i j i j i i j b M K b M b M K b φωφωωω （8－11） 两端乘以T i }{φ，并利用（8－10）得到：}0{2}){][][(}{2=∂∂-∂∂-∂∂ji i i j i j T i b b M K b ωωφωφ （8－12） 故得到：}){][][(}{212i ji j T i i j i b M b K b φωφωω∂∂-∂∂=∂∂ （8－13） 根据展开定理：}{}{1k nk ijk j i a b φφ∑==∂∂ （8－14） 其中，ijk a 为常数。

代入（8－11）两边前乘T k }{φ，得到：}0{)(}){][][(}{222=-+∂∂-∂∂ijk i k i ji j T k a b M K b ωωφωφ （8－15） 故有：)(}){][][(}{1222k i b M b K a i ji j T k k i ijk ≠∂∂-∂∂-=φωφωω （8－16） 根据正交性1}]{[}{=i T i M φφ （8－17）两边对j b 求偏导，并将（8－14）代入得到：0}{][}{}{][}{21=∂∂+∑=i jTi nk k ijk Ti b M a M φφφφ （8－18） 当k i =时，有}{][}{21i jT i ijk b M a φφ∂∂-= （8－19）根据灵敏度定义及（8－13）、（8－14）式，得到:),2,1,()/(}){][][(}{2)/(122n r i ab b b b b M b K b b b b nk krijk irjj ir ir j j ir i j i j T i i j j i i j j i ==∂∂=∂∂-∂∂=∂∂=∑=φφφφφηφωφωωωωη （8－20）§8.4 粘性阻尼系统的复模态参数灵敏度粘性阻尼系统的运动方程}{}]{[}]{[}]{[f x k x c xm =++ （8－21） 相应的特征方程为：}0{}]{[}]{[}]{[2=++ψψλψλk c m （8－22）当阻尼矩阵不满足（7－1）的条件时，对方程（8－22）要用复模态理论来处理，根据（7－10）（7－14）（7－18），于是特征值问题写为：}0{}]){[][(=ψ+i i K M λ （8－23）两端对j b 求偏导，得：}0{}{])[][(}){][][][(=∂ψ∂++ψ∂∂+∂∂+∂∂ji i i j j i j i b K M b K b M M b λλλ （8－24） 左乘T i }{ψ，并利用复模态的正交性，得到：}){][][][(}{2i jj i j i T i j i b k b c b m b ψλλψλ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂ （8－25） 由展开定理，∑=ψ=∂ψ∂nk k ijk j i a b 21}{}{ （8－26） 代入（8－24）并前乘T k }{ψ得到：)(}){][][][(}{1}){][][(}{12k i b k b c b m b K b M a i jj i j i T i i k i jj i T k i k ijk ≠∂∂+∂∂+∂∂-=ψ∂∂+∂∂ψ-=ψλλψλλλλλ （8－27）对1}]{[}{=ψψi T i M 的两端对j b 求偏导，并引用（7－31）可得：}){][][2(}{21i jj i T i ijk b c b m a ψλψ∂∂+∂∂-= （8－28）在复模态情况下，可设：21i i i i i i i j j ζωωζβαλ-±-=±= （8－29）其中，22/i i i i i i βαωωαζ+=-=令：)1/1(22i ji i i i j i j i i i j i i i jib b j b b je d b ζζζωζωωζωζλ-∂∂--∂∂±∂∂-∂∂-=±=∂∂ （8－30）从而ii i i jii i i i i i jid e b d e b ζζωωζζζζ--=∂∂-+--=∂∂2221/)1(1 （8－31）从而，根据上述公式得到：),2,1,(/)/(/)1()/(/)1(1)/(21222n r i a b b d e b b d e b b irkr nk ijk j j ir i i i i i j j i i i i i i i i j j i =ψψ=ψ--=-+--=∑=ηωζζωηζωζζζζη （8－32）§8.5 频响函数及频域响应的灵敏度根据（6－121）式得到系统在拉氏域的运动方程为：)}({)}(]{[)}(]{[)}(]{[2s F s X k s X c s s X m s =++ （8－33）记][][][)]([2k c s m s s Z ++=（8－34）令ωj s =，传递函数为：121])[][]([)]([)]([--+-==c j m k Z H ωωωω （8－35）从而有：)]([)]([)]([)]([ωωωωH b Z H b H jT j ∂∂-=∂∂ （8－36） 当)]([ωH 为对称阵时，n j n s r H b Z H b H s jT r j rs ,2,1,2,1,}{)]([}{==∂∂-=∂∂ω （8－37）如果j b 是刚阵中的元素，ij j k b =，则：][)]([ij ije k Z =∂∂ω （8－38） ][ij e 表示仅第i 行第j 列元素为1，其它元素均为零的方阵。