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如果在使用过程中，发现有任何问题，请搜索微信订阅号：fifteen1617，联系客服，会有更大的惊喜等着您哦！使用本资源，您将得到非常完美的体验，感谢您的下载使用！~（共24套）北京课改版九年级上册（全册）按课时知识点汇总（零失误训练）19.1 比例线段基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆比例的基本性质 1.如果4a=5b,则=ba_______. 2.如果a ：b=1：5,且b=15,则a=______. 3.已知cbb a =,且a=2,c=9,则b=______. 4.若k zy x ===432,且2x －3y+z=6，则k=______,x=_____,y=______,z=______. 解析：由题意知,x=2k,y=3k,z=4k,代人2x －3y+z=6中得k=－6,进一步可求得x 、y 、z. 5.若(2－m)：m=m ：(1－m),则m=______. 6.若x ：y=2：3,y ：z=4：3,则x ：y ：z=______. 7.如果a ：b=4：3,且b 2=ac,那么b ：c=______.8.如果32=b a ,那么=+b ba ______. 9.如果57=+b b a ,那么=b a_______.10.已知：5===fed c b a ,且b+d －f=7,求a+c －e. ◆综合运用11.已知x:y:z=2:3:4,且x+y －z=121,求x 、y 、z 的值. 12.已知：3532=+b b a ,求b ba -的值. 13.已知：x ba c a cbc b a =+=+=+,求x 的值. 14.设实数a 、b 、c 使｜a －2b ｜+c b -3+(3a －2c)2=0,求a ：b ：c. 综合创新训练★登高望远 课外拓展◆创新应用15.如图19－1－2所示,在△ABC 和△BED 中,若35===BE AC BD BC ED AB ,且△ABC 与△BED 的周长之差为20 cm,则△ABC 的周长为多少厘米?16.如图19－1－3所示,联结A 、B 两城的高速公路,全长120千米,在AB 上有两个收费站C 、D,已知AC ：CB=1：5,AD ：DB=11：1,一辆小车从站C 到站D 行驶了43小时,问小车的速度是每小时多少千米?◆开放探索17.(2008·青岛)如图19－1－4所示,AB 、AC 表示两条相交的公路,现要在△BAC 的内部建一个物流中心,设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等且到公路交叉处A 点的距离为1000m.(1)若要以1：50 000的比例尺画设计图,求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； (2)在图中画出物流中心P 的位置.18.若b c c a b a --=,且,abc≠0,那么cb a 211=+成立吗?为什么?参考答案1答案：452答案：33答案：23± 解析：由比例的基本性质可得b 2=ac,将a=2,c=9,代入得b 2=2×9=18,所以23±=b .4答案：－6 －12 －18 －24 5答案：32 6答案：8：12：9 解析：因为2,3,4的最小公倍数是12,所以由已知条件可设x=8k,y=12k,z=9k,所以x ：y ：z=8k ：12k ：9k=8：12：9. 7答案：4：3 解析：由b 2=ac 可得cb b a =. 8答案：35解析：方法一：由题意可设a=2k,b=3k,代入求值；方法二：由合比性质求,由32=b a 可得35332=+=+b b a . 9答案：5210答案：解析：∵5===fe d c b a ,∴5=--==f e d c b a ,∴5=-+-+fd b ec a ,而b+d －f,=7,∴a+c －e=35.11答案：31,41,61===z y x 12答案：解析：由合比性质得335332-=-+b b b a ,即323=-b b a . ∴2=-bba . 13答案：解析：当a+b+c≠0时,2)(2=++++=+=+=+=cb ac b a b a c a c b c b a x ,当a+b+c=0时,有a+b=－c,代人比例式可得1-=-=+=cc c b a x ,∴x 的值为2或－1. 14答案：解析：由已知得a －2b=0,3b －c=0,3a －2c=0, ∴13,12==b c b a ,∴a:b:c=2:1:3. 15答案：解析：由已知可得35=++++DE BE BD AC BC AB ,可设△ABC 的周长为5k,则△BDE 的周长为3k,5k －3k=20,得k=10,∴△ABC 的周长为5k=5×10=50(cm).16答案：解析：由题意可设DB=k,则AD=11k,AC=2k,CB=10k,CD=AD －AC=9k,而AB=12k=120,得k=10,∴CD=90(千米),∴90÷43=120(千米/时). 17答案：解析：(1)1 000 m=100 000 cm,100 000÷50 000=2,所以物流中心到公路交叉处A 点的图上距离是2 cm ；(2)作∠BAC 的角平分线,以A 为端点在∠BAC 内部的平分线上截取AP=2 cm,则P 点即为所求. 18答案：解析：成立. ∵b c c a b a --=,∴b a b c b c a a =-+-+(等比性质), ∴b ac c a =-2,∴,12b a c a =-∴cab a 21=+, ∵abc ≠0,∴a ≠0两边同除以a 得ca b 211=+,故该等式成立.19.2 黄金分割基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆黄金分割的定义1.已知AB=10 cm,P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点,则PQ=________.2.已知线段AB=1,点P 是线段AB 的黄金分割点,则AP=________.3.已知线段AB=b,C 为其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)： (1)=BA AC _______;(2)=AC BC_______； (3)=BCAC_______;(4)AC －BC=________. 4.正常人的体温一般是37△左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适呢?有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则这个温度约为________.5.(2009·南京模拟)顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,在△A=36°的△ABC 中,AB=AC,BD 是∠ABC 的角平分线,交AC 于D,若AC=4 cm,则BC=___________.6.若S 是线段PQ 的黄金分割点,且PS>SQ,则( ) A.SQ 2=PS·PQ B.PS 2=SQ·PQ C.PQ PSPS •=22D.22PQ PS PS SQ +•= 7.已知M 是线段AB 的黄金分割点,且AM>BM.(1)写出线段AB 、AM 、BM 之间的比例式. (2)如果AB=12 cm,求AM 、BM 的长.8.如图19－2－4所示,线段AB 长10cm,点C 是线段AB 的黄金分割点,AC>BC,设以AC 为边的正方形ACDE 的面积为S 1,以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为S 2,试比较S 1和S 2的大小.◆黄金分割点的作图9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB 为已知线段,以AB 为边作正方形ABCD ；取AD 的中点E,联结EB ；延长DA 至F,使EF=EB ；以线段AF 为边作正方形AFGH,点H 就是AB 的黄金分割点.任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说出这种作法的道理吗?10.求作已知线段AB 的黄金分割点.(不写作法) 综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少?12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用. ◆开放探索13.若一个矩形的短边与长边的比值为215-(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD 为一边作正方形AEFD.(2)探究：(1)中的四边形EBCF 是不是黄金矩形?若是,请说明理由;若不是,也给予说明. (3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).参考答案1答案：)25(10-cm2答案：215-或253- 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个.3答案：(1)215-(2)215-(3)215+(4)b )25(- 4答案：23△5答案：)15(2-cm 解析：∵等腰△ABC 为黄金三角形,∴ACBC为黄金比. ∴AC BC 215-=,∴)15(2-=BC cm.6答案：B 7答案：(1)AMBMAB AM = (2))656(-=AM cm,)5618(-=BM cm 8答案：)53(5021-==S S cm 29答案：解析：设AB=2,那么在Rt △BAE 中,5122222=+=+=AE AB BE .于是EF=BE=5,AH=AF=BE －AE=15-,BH=AB －AH=53-.因此,AHBHAB AH =,点H 是线段AB 的黄金分割点.10答案：略11答案：解析：由于点B 、C 都是线段AD 的黄金分割点,于是有：53)15(2,152152-=--=-=-=-=-⨯==AC AD BD AD AB AC BD , ∴452)53()15(-=---=-=AB AC BC . ∴阴影部分的周长为20510-.12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处,显得最和谐；当矩形的宽与长的比约为0.618时显得美观；拍照时,常把主要景物放在画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时,奏出来的音调最悦耳；优选法中的“0.618法”足黄金分割的重要应用等等. 13答案：解析：(1)如图所示.(2)四边形EBCF 是黄金矩形,因为EF=AE=AB 215-,AB BE 253-=,则EF BE 215-=,所以四边形EBCF 是黄金矩形.(3)在黄金矩形中以短边为边长作一个正方形,另一部分仍为黄金矩形.19.3 平行线分三角形两边成比例基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆平行线分线段成比例定理 1.如图19－3－6所示,在△ABC 中,35,==AC AB EC AC BE AB ,DE//AC,则AB ：BD=_______.2.如图19－3－7所示,在△ABC 中,DE//AB,DF//BC,若32=AC AD ,AB=9,BC=6,则BEDF 的周长等于______.3.在△ABC 中,BE 、CD 是△ABC 的中线,它们交于点O,则=CO DO ______,=BEOE_______. 4.如图19－3－8所示,在△ABC 中,AE ：BE=1：3,BD ：DC=2：1,AD 与CE 交于点F,则FDAFFC EF +的值为______.5.(2008·福州)如图19－3－9所示,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若DE=5,则BC 的长是______.6.如图19－3－10所示,已知AE=ED=DC,FE△MD△BC,FD 的延长线交BC 的延长线于点N,则BNEF 的值是( ) A.21 B.31 C.41 D.517.在梯形ABCD 中,AD△BC,对角线AC,BD 交于点O,点E 是CA 延长线上一点,且OC 2=OA·OE,已知AD ：BC=2：3,则DC ：BE 的值是多少? 8.如图19－3－11所示,在△ABC 中,DE△BC,且32=DB AD ,BC=12 cm,求DE 的长.9.在△ABC 中,AD 是角平分线,DE△AC 交AB 于点E,已知AB=12,AC=8,求DE 的长. 10.如图19－3－12所示,H 为ABCD 中AD 边上的一点,且DH AH 21=,AC 和BH 交于点K,则KCAK的值是多少?综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用11.如图19－3－13所示,在△ABC 中,AB=12,点E 在AC 上,点D 在AB 上,若AE=6,EC=4,且ECAEDB AD =.(1)求AD 的长. (2)试问ACECAB DB =能成立吗?请说明理由. ◆开放探索12.如图19－3－14所示,△ABC 中,AC=BC,F 为底边AB 上的一点,nmAF BF =(m,n>0).取CF 的中点D,联结AD 并延长交BC 于点E.(1)求ECBE 的值；(2)如果BE=2EC,那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系?请说明理由. (3)层点能否为BC 中点?如果能,求出相应的nm的值；如果不能,请说明理由. 13.已知：如图19－3－15①所示,AB△BD,CD△BD,垂足分别为B 、D,AD 、BC 交于E,EF△BD 于F,我们可以证明EFCD AB 111=+成立(不必证明),若将图中垂直改为斜交,如图19－3－15②所示,AB△CD,AD 、BC 交于点E,EF△AB 交BD 于F,则： (1)EFCD AB 111=+还成立吗?为什么? (2)请找出S △ABD ,S △BDC ,S △BED 之间的关系式,并说明理由.参考答案1答案：8：5 解析：由EC ACBE AB =可得,35==EC BE AC AB 而AD BD EC BE =,所以35=AD BD ,所以53=BD AD ,由合比性质得：553+=+BD BD AD ,即58=BD AB . 2答案：14 解析：329===AF AB AF AC AD ,得AF=6,所以BF=DE=3.而326===AC AD FD BC FD ,得FD=BE=4,所以BEDF 的周长为2(3+4)=14.3答案：2131 4答案：23解析：过点E 作BC 的平行线. 5答案：10 解析：由题意知：DE//BC,∴215===BC BC DE AB AD ,所以BC=10. 6答案：C 解析：∵FE//BC,AE=ED=DC,∴31==AC AE BC EF ,∴BC=3EF.∵FE//CN,∴∠EFD=∠N.又∠EDF=∠CDN,ED=DC,∴△EFD ≌△CND,∴CN=EF,∴413=+=+=EF EF EF CN BC EF BN EF . 7答案：解析：∵AD//BC,∴OA ：OC=AD ：BC=2：3,∴设OA=2k,OC=3k.∵OC 2=DA·OE, ∴k OE 29=.∵OD ：OB=AD ：BC=2：3,且OC ：OE=3k ：k 29=2：3,∴BE//DC,∴DC:BE=2:3. 8答案：解析：∵DE//BC,∴AB AD BC DE =.∵32=DB AD ,∴232+=+AD BD AD ,即52=AB AD , ∴52=BC DE ,∴5245212=⨯=DE (cm). 9答案：解析：根据已知条件可求得DE=AE.又AC DEAB BE =,因此81212DE DE =-,从而求得DE=524. 10答案：解析：∵,21DH AH =∴31=AD AH .∵AH//BC,∴31===AD AH BC AH KC AK . 11答案：解析：(1)由EC AE DB AD =,可得DE//BC,从而AC AE AB AD =,即10612=AD ,可得,536=AD . (2)成立,由536=AD ,AB=12,得524=DB ,于是52=AB DB .又52104==AC CE ,故ACEC AB DB =.或由EC AE DB AD =,得DE//BC,从而ACECAB DB =. 12答案：解析：(1)过点C 作CG△AB 交AE 的延长线于点G,DF DC AF CG =,CGBAEC BE =, ∴11+=+=+==nmAF BF AF AF BF CG AB CE BE . (2)∵BE=2CE,∴21=+=nmCE BE ,∴m=n,∴BF=AF.又AC=BC,∴CF ⊥AB.∴直线CF 垂直平分AB. (3)不能,因为若E 为BC 的中点,而D 又为CF 的中点,则DE//AB,这与已知条件ED 和BF 相交矛盾,所以E 点不能为BC 的中点. 13答案：解析:(1)EF CD AB 111=+还成立.因为AB//EF//CD,所以BDBF CD EF BD DF AB EF ==,,所以1=+=+BD DF BF CD EF AB EF ,两边同除以EF 得,EF CD AB 111=+. (2)BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+111.理由：如图,过A 、E 、C 三点分别作AH ⊥BD,EM ⊥BD,CN ⊥BD,垂足分别为H 、M 、N,因为,21,21,21BD EM S BD CN S BD AH S BED BCD ABD •=•=•=∆∆∆ 由已知得,111EMCN AH =+ ∴BD EM BD CN BD AH •=•+•211211211即BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+111.19.4 相似多边形基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆相似多边形1.我们知道所有的正三角形相似,所有的正方形都相似,那么所有的正五边形也相似吗?答：________.再想一想,所有的正六边形的关系?由以上猜想你可以得到一个一般性的结论为_______. 2.在两个相似五边形中,一个五边形的边长分别为1,2,3,4,5,另一个五边形的最大边长为15,则它的最短边长为________.3.如图19－4－8所示,将一个矩形纸片ABCD 沿边AD 和BC 的中点连线EF 对折,要使矩形AEFB 与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应为________.4.下列多边形中一定相似的为( )A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形5.观察图19－4－9中的三个矩形,其中相似的是( )A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.三个矩形都不相似6.已知：如图19－4－10,梯形ABCD中,AD△BC,EF△BC,EF将梯形ABCD分成两个相似梯形AEFD 和EBCF,若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.7.矩形ABCD的长与宽之比为3：2,矩形A′B′C′D′的长与宽之比也为3：2,这两个矩形相似吗?说说你的理由.◆相似三角形8.已知△ABC～△A′B′C′,若AB=5 cm,A′B′=8 cm,AC=4 cm,B′C′=6 cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比为_______,A′C′=_______,BC=_______.9.如图19－4－11所示,△ABC中,DE△BC,BE与DC相交于点D,则图中相似三角形共有_______对.10.(2008·金华)如图19－4－12所示,小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜后由A点发出的光线经平面镜BD反射后刚好射到古城墙CD的顶点C处,已知AB△BD,CD△BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是( )A.6 mB.8 mC.18 mD.24 m11.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.112.△ABC的三边长分别是2、10、2,△A′B′C′的两边长分别为1和5,如果△ABC～△A′B′C′,那么△A′B'C′的第三条边的长度等于( ) A.22B.2C.2D.22 13.已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.14.已知△ABC 中,△C=90°,AC=BC,△A′B′C′中,△C′=90°,A′C′=B′C′,△ABC 与△A′B′C′相似吗?为什么? 综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用15.(2008·安徽)如图19－4－13所示,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2)求BP ：PQ ：QR. ◆开放探索16.如图19－4－14所示,已知矩形ABCD,AB=6 cm,BC=8 cm,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,且AE=DF=4 cm,两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动.猜想当M 、N 运动多长时间时,矩形CFNM 与矩形AEFD 相似?写出你的猜想过程,并与同学交流.参考答案1答案：相似 边数相同的正多边形都相似 2答案：3 解析：1515x,得x=3. 3答案：1:2 解析：设原矩形的长AD=x,宽CD=y,E 、F 分别为AD 、BC 的中点,由已知条件可得：x y y x=2,即,222x y =∴2x y =, ∴1:2:=y x ,即AD:CD=1:2.4答案：C5答案：B 解析：∵都为矩形,所以对应角显然都相等,又75.035.02=,所以由定义可判断甲、丙两个矩形相似.6答案：解析：∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴BCEFEF AD =,∴EF 2=AD·BC=3×4=12, ∴3212==EF .∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴AE ：EB=AD ：EF=2:332:3=.7答案：解析：相似.在矩形ABCD 中,设长为3a,宽为2a ；在矩形A′B′C′D′中,设长为3b,宽为2b,因此两矩形的对应边之比均为a:b,即对应边成比例.又因为矩形的每个角都是直角,因此对应角相等,故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似. 8答案：8：5532 4159答案：2 解析：△ADE~△ABC,△DOE~△COB. 10答案：B 解析：Rt △ABP~Rt △CDP ,所以DPBP CD AB =,即128.12.1=CD ,解得CD=8 m.11答案：C12答案：B 解析：设第三边长为x,则x251012==,得2=x . 13答案：解析：设△ABC 的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以∠C=90°.又因为△ABC~△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,212613''''C''====B A AB C A AC B BC .又因为BC=5,AC=12,所以B′C′=10,A′C′=24,所以S=21A′C′×B′C′=21×24×10=120. 14答案：解析：相似.∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.设AC=k>0, 则k k k AB 222=+=.同理可证：∠A′=∠B′=45°,A′B′='2k ,(设A′C′=k′). ∴∠C=∠C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∴''22B''k kk k A AB ==，'''''k k C B BC C A AC ==，∴''''''C B BC C A AC B A AB ==， ∴△ABC ～△A'B'C'.15答案：解析：(1)△BCP ～△BER ，△PCQ ～△PAB ，△PCQ ～△RDQ ，△PAB ～△RDQ. (2)因为四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，所以BC=AD=CE ，AC ∥DE ，所以PB=PR ，21=RE PC ，又因为PC ∥DR ，易得△PCQ ～△RDQ ，因为点R 是DE 的中点，所以DR=RE ，所以21===RE PC DR PC QR PQ ，所以QR=2PQ. 又因为BP=PR=PQ+QR=3PQ ，所以BP ：PQ ：QR=3：1：2. 16答案：解析：①当M 、N 运动21s ，矩形CFNM 与矩形ADFE 相似. ②当M 、N 运动2s 时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似.19.5 相似三角形的判定基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆相似三角形的判定1.(2008·哈尔滨)已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE=3,联结BE 与对角线AC 相交于点M,则AMMC的值是______. 2.如图19－5－4所示,E 是平行四边形ABCD 的一边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F,图中共有______对相似三角形,按对应顶点写出图中的相似三角形____________________.3.如图19－5－5所示,已知△ABC 中,AB=AC,△A=36°,BD 平分△ABC,则BD=_______=_______.4.如图19－5－6所示,△l=△2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_______.5.如图19－5－7所示,△ACD 和△ABC 具备下列哪个条件时,它们相似( ) A.BC ABCD AC = B.ACBC AD CD = C.CB 2=AD ·BD D.AC 2=AD ·AB 6.用—个放大镜看一个直角三角形,该直角三角形的边长放大到原来的5倍后,下列结论正确的是( )A.每个内角是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.面积是原来的5倍D.两条直角边的比值是原来的5倍7.下列条件能判别△ABC ～△DEF 的是( )A.AB=4 cm,AC=3.2 cm,DE=2 cm,DF=1.6 cm,△B=△E=50°B.AB=6 cm,BC=9 cm,AC=7.5 cm,DE=8 cm,EF=12 cm.DF=10 cmC.△A=△D=70°,△B=50°,△E=60°D.△B=△E=90°,EFBCDF AB = 8.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条,如图19－5－8所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=30 cm,AB=50 cm,依次裁下宽为1 cm 的纸条a 1、a 2、a 3、…,若使裁得的矩形纸条长度不小于 5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成矩形纸条的条数为( )A.24B.25C.26D.279.已知,如图19－5－9,Rt△△ABC 和Rt△A′B′C′中△C=△C′=90°,''''C A ACB A AB =.△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由.10.如图19－5－10所示,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△1=△2,△3=△4,指出图中哪些三角形相似,并说明理由.11.如图19－5－11所示,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP~△PDB?(2)当△ACP～△PDB时,求△APB.12.如图19－5－12所示,在△ABC中,AH是BC边上的高,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,DG 交AH于点I,则图中相似的三角形共有多少对?分别表示出来.13.如果两个三角形中有两边和其中一边上的高对应成比例,则这两个三角形相似吗?综合创新训练◆登高望远课外拓展◆创新训练14.已知：如图19－5－13,在平面直角坐标系中,矩形AOBC有两个顶点的坐标分别是A(0,6),C(8,6),x轴的正半轴上有一动点E(E与B不重合),作直线AE交对角线OC于D,或AE与BC相交于点F.当点E 在O 、B 间运动到某些位置时,作直线AE 后,图中会出现相似不全等的三角形,请你把这个相似三角形写出来：_______；当E 点运动到B 点的右边时,请你写出此时图中三对相似而不全等的三角形：__________________.15.如图19－5－14所示,在△ABC 中,AB=8 am,BC=16 cm,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4 cm/s 的速度移动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,经过几秒钟△PBQ 与原△ABC 相似?16.一个圆柱形油桶,半径为1米,高为1.5米,用一根2米长的木棒从桶盖小口斜插桶内,另一端在小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,试求： (1)油面的高度是多少?(2)桶内有油多少升?(1立方分米=1升,π取3.14,取后结果精确到1升) ◆开放探索17.如图19－5－15,在△ABC 中,△C=90°,P 为AB 上一点且点不与点A 重合.过点P 作PE△AB 交AC 边于E,点E 不与点C 重合.若AB=10,AC=8,设AP 的长为x,四边形PECB 的周长为y,试用x 的代数式表示y.参考答案1答案：2或32解析：当点E 在线段AD 上时，如图(1)，因为AB ∥CD ，所以△ABE ～△DFE.所以ED AEDF AB =，故DF=6.又因为△AMB ～△CMF ，所以2612===AB CF AM MC .当点E 在线段AD 的延长线上时，如图(2)，容易得到△BCM ～△EAM ， ∴32366=+==AE BC AM MC .2答案：3 △EAF ～△EBC ，△EAF ～△CDF ，△EBC ～△CDF 3答案：BC AD4答案：∠B=∠D ，或∠C=∠AED ，或AD ：AB=AE ：AC 解析：本题实质就是构造使△ADE 与△ABC 相似的条件. 5答案：D 解析：由AC 2=AD ·AB可得ACABAD AC =.又∠A=∠A ，所以△ACD ～△ABC. 6答案：B7答案：B 解析：因为43===DF AC EF BC DE AB ，三边对应成比例，所以两三角形相似. 8答案：C 解析：设第n 条的长度恰好为5cm ，且该矩形纸条与AC 的交点为P 点，与AB 的交点为Q 点，则PQ=5cm ，设AP=x cm ，则△APQ ～△ACB,得BCPQ AC AP =，即40530=x ，解得：x=3.75，∴CP=30－x=26.25.∵矩形宽为1 cm ，取整数，可知矩形纸条为26条.9答案：解析：相似，理由如下：∵''''C A AC B A AB =,∴''''C A B A AC AB =，两边平方，得2222''''C A B A AC AB =，所以222222''''''C A C A B A AC AC AB -=-，由勾股定理得2222C'A'''C B AC BC =，因为AC BC ，''''C A C B 均为正数，则C'A'''C B AC BC =，即''''C A ACC B BC =，而∠C=∠C ′=90°，故Rt △ABC ～Rt △A'B'C'. 10答案：解析：(1)△ABO ～△DCO ，因为∠1=∠2，∠AOB=∠DOC ，所以△ABO ～△DCO. (2)△AOD ～△BOC ，由(1)知△ABO ～△DCO ，则COBODO AO =.又因为∠AOD=∠BOC ，所以△AOD ～△BOC.(3)△ACD ～△BCE ，由(2)知△AOD ～△BOC ，则∠DAO=∠CBO ，又因为∠3=∠4，所以△ACD ～△BCE.(4)△ABC ～△DEC ，因为∠3=∠4，所以∠3+∠ECO=∠4+∠ECO ，即∠BCA=∠ECD.又因为∠1=∠2，所以△ABC ～△DEC.11答案：解析：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴PC=CD=PD ，∠PCD=∠PDC=60°，即∠PCA=∠PDB=120°，∴只要满足BD PCPD AC =，就有△ACP ～△PDB ，∴关系式为BDCD CD AC =或CD 2=AC ·BD.(2)∵△ACP ～△PDB ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B.又∵∠PDC=∠1+∠B=60°，∴∠1+∠2=60°，∴∠APB=∠1+∠2+∠CPD=60°+60°=120° 12答案：解析：7对，分别是△ADG ～△ABC ，△BDE ～△BAH ，△ADI ～△ABH ，△ADI ～△DBE ，△AIG ～△AHC ，△AIG ～△GFE ，△GFC ～△AHC. 13答案：解析：(1)当△ABC 和△A ′B ′C ′都是锐角三角形时，可得△ABC ～△A ′B ′C ′，如图①.(2)当两个三角形都是直角三角形时，也可得△ABC ～△A'B'C'.(3)当两个三角形都是钝角三角形时，如图②，可得△ABC ～△A'B'C'. (4)当△ABC 为锐角三角形，△A ′B ′C ′为钝角三角形.虽然两个三角形有两边和其中一边上的高对应成比例，但两个三角形不相似.如图③.14答案：△ADC ～△EDO △ADC ～△EDO ，△AOD ～△FCD ，△BEF ～△OEA ，△AFC ～△EAO 等等15答案：解析：分两种情况，设经过x s △PBQ 与原△ABC 相似. (1)△BPQ ～△BAC ，则BC BQ BA BP =，即164828tt =-得t=2s ； (2)△BQP ～△BAC ，则BC BPBA BQ =，即162884t t -=得t=0.8s. ∴经过0.8s 或2s 时，△PBQ 与原△ABC 相似.16答案：(1)0.6米 (2)1 884升17答案：解析：∵PE ⊥AB ，∠C=90°，∴∠EPA=∠C=90°.又∵∠A 为公共角，∴△AEP~△ABC ，∴BCEPAC AP AB AE ==.又∵∠C=90°,AB=10，AC=8，可知BC=6.∴6810PE x AE ==，∴x PE 43=，x AE 45=，x EC 458-=，BP=10－x ，∴242310645843+-=-++-+=x x x x y , ∴2423+-=x y . 设点E 与点C 重合，有CP ⊥AB.又∠ACB=90°，∴CA 2=AP ·AB ，即82=10AP ，解之，得532=AP ，故由P 点与A 点不重合，点E 与点C 不重合知x 的取值范围是0<x<532. ∴y 与x 之间的关系式为:)5320(2423<<+-=x x y .19.6 相似三角形的性质基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆相似三角形的有关性质1.在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm,那么这次复印的放缩比例是______,这个多边形的面积放大为原来的______倍.2.两个相似多边形的面积比为5：4,则它们的周长比为______.3.(2008·杭州)如图19－6－3所示,在Rt△ABC 中,△ACB 为直角,CD△AB 于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形：_______和________；并写出它们的面积比：______.4.两个相似三角形的相似比为2：3,它们的周长的差是25,则较大三角形的周长为______.5.如图19－6－4所示,如果菱形BEFD 内接于△ABC,且AB=18,AC=BC=12,那么菱形的周长是______.6.在设计图上,某城市中心有一个矩形广场,设计图的比例尺为1：10 000.图上矩形与实际矩形相似吗?______.如果相似,它们的相似比为_____,图上距离与实际距离的周长比等于______,面积比为______.7.若两个相似三角形对应高的比为5：12,则对应中线的比为______.8.如图19－6－5所示,为同一三角形的甲、乙两张地图上,比例尺分别为l：200和1：500,则甲地图与乙地图的相似比为______,面积比为______.9.如图19－6－6所示,△ABC中,DE△FG△BC.(1)若AD=DF=FB,求S1：S2：S3；(2)若S1：S2：S3=1：8：27,求AD：DF：FB.综合创新训练◆登高望远课外拓展◆创新应用10.一块直角三角形木板的一条直角边AB的长为1.5米,面积为1.5米2,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,甲、乙两位同学的加工方法分别如图19－6－7所示,请你用所学的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计,计算结果中的分数可保留).◆开放探索11.操作：如图19－6－8所示,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角尺的直角顶点与点P 重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在的直线交于点E探究：(1)观察操作结果,哪一个三角形与△BPC 相似?并证明你的结论.(2)当点P 位于CD 的中点时,你找到的三角形与△BPC 的周长比是多少?参考答案1答案：400％ 162答案：2:5 解析：因为相似多边形的面积比等于相似比的平方，所以相似比为2:5，而相似比等于对应周长的比，因此它们的周长比为2:5.3答案：△BCD △CAD 9：16(本题答案不唯一) 4答案：75 解析：由题意可设小三角形的周长为2k ，则大三角形的周长为3k ，则3k －2k=25，解得k=25，∴3k=3×25=75.5答案：28.8 解析：设菱形的边长为x ，因为DF ∥BC ，所以△ADF~△ABC ，所以BCDFAB AD =即121818xx =-，解得x=7.2，∴4x=4×7.2=28.8. 6答案：相似 1：10 000 1：10 000 1：108 7答案：5：128答案：5：2 25：49答案：解析：∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC. (1)AD=DF=FB ，∴AD:AF ：AB=1：2：3， ∴S △ADE :S △AFG :S △ABC =1：4：9.令S △ADE =k ，则S △AFG =4k ，S △ABC =9k. ∴S 1=k ，S 2=S △AFG －S △ADE =4k －k=3k ， S 3=S △ABC －S △AFG =9k －4k=5k ， ∴S 1：S 2：S 3=1：3：5.(2)∵S 1：S 2：S 3=1：8：27，∴可设S 1=k ，则S 2=8k ，S 3=27k ，∴S △ADE =S 1=k ，S △AFG =S 1+S 2=9k ， S △ABC =S 1+S 2+S 3=36k ，∴S △ADE ：S △AFG ：S △ABC =1：9：36， ∴AD ：AF ：AB=1：3：6， ∴AD ：DF ：FB ：1：2：3.10答案：解析：由AB=1.5米，S △ABC =1.5米2得BC=2米.设甲加工的桌面边长为x 米. ∵DE ∥AB ，∴Rt △CDE~Rt △CBA ， ∴ABDE CB CD =,即5.122xx =-解得x=76. 设乙加工的桌面边长为y 米，过点B 作Rt △ABC 斜边AC 上的高BH ，交DE 于P ，交AC 于H.由AB=l.5米，BC=2米，S △ABC =1.5米2得AC=2.5米，BH=1.2米.∵DE ∥AC ，∴Rt △BDE ∽Rt △BAC ，∴ACDEBH BP =，即5.22.12.1y y =-，解得3730=y .因为373076>，即x>y ，x 2>y 2, 所以甲同学的加工方法符合要求.11答案：解析:由放置方法决定了两种结果.(1)当一条直角边与AD 交于点E 时，△PDE ∽△BCP ，如图①；当另一条直角边与BC 的延长线交于点E 时，△PCE ∽△BCP 或△BPE ∽△BCP ，如图②.(2)当点P 位于CD 的中点时，情况①，△PDE ∽△BCP ，PD ：BC=1：2，∴△PDE 与△BCP 的周长比是1：2；情况②，同样得△PCE 与△BCP 的周长比是1：2；因25=BC BP ，可得△BPE 与△BCP 的周长比是2:5.19.7 应用举例基础能力训练★回归教材注重基础◆相似三角形的应用1.如图19－7－4所示,阳光通过窗口照到室内地面上,形成2.7米宽的亮区,已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=8.7米,窗口AB=1.8米,则窗口底边离地面的高BC的长度为______米.2.如图19－7－5所示,AB为斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距离墙1.6米,梯上的点D距墙1.4米,BD的长为0.55米,则梯子长______米.3.有同一个地块的甲、乙两张地图, 比例尺分别为1：3 000和1：5 000,则甲地图和乙地图的相似比是______.4.张华同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1米的竹竿影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物.影子不能全落在地面上,有一部分影子落在墙上,如图19－7－6所示,他先测得墙上的影高1.2米,又测得地面部分的影长为2.7米,求此树高是多少米?5.小明用这样的方法来测量建筑物的高度：如图19－7－7所示,在地面上放一面镜子,他刚好能从镜中看到建筑物的顶端,他的眼睛离地面1.25米,如果小明离镜子的距离是1.50米,与建筑物的距离是181.50米.那么此建筑物的高是多少米?6.如图19－7－8所示,设在小孔口O前24 cm处有一支长18.6 cm的蜡烛AB,经小孔成像,在小孔口后面10 cm的屏幕上所成像A′B′的长是多少?7.如图19－7－9所示,长方形小区ABCD的长和宽之比为AB：AD=4：3,小区四面正中各有一个门,出北门20米的E处有一座雕塑,出南门30米到F处,再向西走3 500米到G处,正好看到E处的雕塑.求小区的而积.综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用8.在公路的一侧有A、B两个村庄,它们都有垂直于公路的小路,长度分别是48米和30米,设两条小路相距130米,现在公路边建一个供水站C,把水送到A、B两个村庄去,且使供水管最短.(1)在图19－7－10中找出供水站的位置C.(2)求出点C到点E的距离.9.如图19－7－11,把一个三角形余料加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,且PN=2PQ.若这块三角形的余料的边BC=12 cm,高AD=8 cm,求这个矩形零件的长和宽各是多少?◆开放探索10.(2008·陕西)数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角板、小平面镜,请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是：______；(2)请画出测量示意图；(3)设树高AB 的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.参考答案1答案：4 解析：设BC=x 米，联结AB ，则Rt △BCD ∽Rt △ACE ，所以，EC DCAC BC =，即7.87.27.88.1-=+x x ，解得x=4，即BC=4米.2答案：4.40 解析：∵DE ∥DC ，设AD=x ，则6.14.155.0=+x x ，求出AD ，即可求AB.3答案：5：34答案：解析：过点C 作CE ∥AD ，交AB 于E. 由题意得，四边形AECD 为平行四边形.所以AE=CD=1.2米，根据同一时刻物高与影长成正比，所以9.01=BC BE ，因为BC=2.7米，所以BE=3米，所以AB=BE+AE=3+1.2=4.2(米)，所以树高是4.2米 5答案：150米6答案：解析：设A'B ′=x ，显然，△OAB ∽△OA'B ′，根据相似三角形对应高的比等于相似比可知：x6.181024=，解得x=7.75，即所成像A ′B ′的长为7.75 cm. 7答案：解析：由题意知可设矩形的长AB=4k,则AD=3k ，△AME ∽△GFE ，∴EFMEGF AM =，即k k 3502050032+=,得33501-=k (舍去)，k 2=100，∴4k=400，3k=300. ∴S 矩形ABCD =AB ·AD=400×300=120 000(米2).。