预备知识1.事件域定义 设Ω为一基本事件空间，F 为Ω的某些子集所组成的集合类。

如果F 满足： （1）Ω∈F ；（2）若A ∈F ，则对立事件A ∈F ；（3）若,=1,2,n A n ∈F ，则可列并=1n n A ∞∈F .则F 是一个σ代数（或称σ域），称为事件域。

F 中的元素称为事件。

2.可测空间定义 在概率论中，二元组(),ΩF称为概率可测空间，这里“可测”是指F是一个事件域，即F 中的元素都是有概率可言的事件。

3. 有限维乘积可测空间定义 设(),,1i i i n Ω≤≤F 是n 个可测空间，像通常一样，(){}1=,,:,1n i i i n ωωωΩ∈Ω≤≤称为1,,n ΩΩ乘积空间，记为1=1==n i n i Ω⨯ΩΩ⨯⨯Ω。

对i i A ⊂Ω，1i n ≤≤，集合(){}1A=,,:,1n i i A i n ωωω∈≤≤称为乘积空间Ω中的矩形集，记为1=1A==A n i n i A A ⨯⨯⨯。

特别地，当每个i i A ∈F 时，1=1A==A ni n i A A ⨯⨯⨯称为可测矩形。

C 表示=1=n i i Ω⨯Ω中的可测矩形全体，即{}1=A :,i=1,,n n i i A A ⨯⨯∈C F ，则C 是一个半域，()=σC F （由C 生成的σ域，即包含C 的最小σ域）称为乘积σ域， 记为1=1==ni n i ⨯⨯⨯F F F F ，又称(),ΩF 为可测空间()()11,,,,n n ΩΩF F 的乘积可测空间，记为()()()()11=1,=,=,,ni i n n i Ω⨯ΩΩ⨯⨯ΩF F F F4. 无限维乘积可测空间定义 设(){},,J αααΩ∈F 是一族可测空间，则(){}=,J :,J αααωαωαΩ∈∈Ω∈称为(),J ααΩ∈乘积空间，记为=JJαααα∈∈Ω⨯Ω=Ω∏。

若I 是J 的有限子集，对,A I ααα∈∈F ，集合(){}B=,J :,,,J i A I ααααωαωαωα∈∈∈∈Ω∈称为乘积空间Ω中的有限维基底可测矩形柱集，=IA A αα∈⨯称为B 的底。

C 表示Ω中的有限维基底可测矩形柱集全体，则C 是一个半域，()=σC F （由C 生成的σ域，即包含C 的最小σ域）称为{}J αα∈，F 的乘积σ域，记为=JJαααα∈∈⨯=∏F F F 。

又称(),ΩF 为 (){},,J αααΩ∈F 的乘积可测空间，记为()()(),=,,JJαααααα∈∈Ω⨯Ω=Ω∏F F F 。

在统计中，主要用到{}=1,2,J 的情形,此时,记为1=11===iin i i ∞∞=ΩΩ⨯ΩΩ⨯⨯Ω⨯∏,1=11===iin i i ∞∞=⨯⨯⨯⨯∏F F F F F ,()()()()()11=11,=,=,=,,i i i i n n i i ∞∞=ΩΩ⨯ΩΩ⨯⨯Ω⨯∏FF F F F 。

5.概率空间定义 设Ω为一基本事件空间，F 为Ω的某些子集组成的一个σ代数（σ域），称为事件域。

如果定义在F 上的一个实值集函数()P A 满足： （1）非负性，即若A ∈F ，则()0P A ≥； （2）正则性，即()=1P Ω；（3）可列可加性（σ可加性），即若,=1,2,n A n ∈F ，且互不相容，则有()+=1=1=n n n n P A P A ∞∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 则称集函数()P A 为可测空间(),ΩF上的一个概率测度，简称为概率。

对任一事件A ∈F ，概率测度值()P A 称为事件A 的概率。

称三元组(),,P ΩF 为概率空间（或称概率场）。

（在一般测度论中，若将（2）改成()0P φ=，则称P 为测度，(),,P ΩF 称为测度空间；若P 是测度，且()P Ω<∞，则称P 为有限测度；若P 是测度，且存在n A ∈F ，1n ≥，使1n n A ∞==Ω，(),1n P A n <∞∀≥，则称P 为σ有限测度）下面举几个例子说明如何建立概率空间。

例1抛掷一枚硬币，观察正反面出现的情况。

0ω表示“出现正面”这一基本结果（事件），1ω表示“出现反面”这一基本结果（事件），则基本事件空间{}01=,ωωΩ，令{}0=A ω，{}1=A ω则{}=,,,A A φΩF 是一个事件域。

对给定的实数p （0<<1p ），在F 上定义 ()=P A p ，()=1-P A p ，()=0P φ，()=1P Ω，则这样定义的P 是一个概率（这个概率称贝努里（Bernoulli ）概率），(),,P ΩF 是一个概率空间（称为贝努里（Bernoulli ）概率空间）。

若1=2p ，则表示硬币质量分布是匀称的。

若定义()()()===0P A P A P φ，()=1P Ω，则这样定义的P 也是一个概率，(),,P ΩF 也是一个概率空间。

这个概率空间没有实际意义。

例2 从某工厂的某种产品中随机抽出n 件，观察其中的合格品个数。

用k ω表示“抽出的n 件中恰好有k 件合格品”的事件，令{}=0,1,,n Z n 及{}=:k n k Z ωΩ∈，{}=:,k n A k Z ωΛ∈ΛΛ⊂， {}=:Z n A ΛΛ⊂F ，则F 是Ω的一切子集所形成的集类，它是一个σ代数（σ域）。

再令()()-=1-,n kk n k n P A p p Z k Λ∈Λ⎛⎫Λ⊂ ⎪⎝⎭∑，其中p 满足0<<1p 。

则P 是F 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为二项概率），于是我们建立了一个概率空间(),,P ΩF （称为二项概率空间）。

例3 观察某电话交换台在时间间隔[,+a a t ）内收到用户的呼叫次数。

用k ω表示“电话交换台在时间间隔[,+a a t ）内恰好收到用户的k 次呼叫”的事件，令{}+=0,1,2,Z 及{}+=:k k Z ωΩ∈，{}+=:,k A k Z ωΛ∈ΛΛ⊂， {}+=:Z A ΛΛ⊂F ，则F 是Ω的一切子集所形成的积类，它是一个σ代数（σ域）。

再令()()-=,!kk n k t P A e Z k λλΛ∈ΛΛ⊂∑，其中>0λ。

则P 是F 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为泊松（Poisson ）概率），于是我们建立了一个概率空间(),,P ΩF （称为泊松（Poisson ）概率空间）。

例4 设,a b R ∈，<a b ，在有限区间[],a b 上任取一点观测其坐标。

属于[],a b 中的点看成基本事件，即[]=,a b Ω，令[][],=,Ra b a b B B ，其中R B 是R 中的Borel 子集组成的σ代数。

则[],a b B 是Ω中的一切Borel 子集所形成的积类，它是一个σ代数（σ域）。

再令()()()[],1==,A --a b AA P A dx b a b a μμ∈⎰B ， 其中μ是直线R 上的Lebesgue 测度。

则P 是[],a b B 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而P 是概率（这个概率称为均匀概率），于是我们建立了一个概率空间[](),,,P a b ΩB （称为均匀概率空间）。

在此概率空间中，若a c d b ≤≤≤，则()()[]()()()-c,d =c,d =(c,d]=[c,d)=-d cP P P P b a。

若A 是[],a b 中的有限子集或可列子集，则()=0P A 。

例5 设()=-,+R ∞∞是实直线，属于R 中的点看成基本事件，即()==-,+R Ω∞∞，令RB 是R 中的Borel 子集组成的σ代数，定义()()()2--2=,x a R P A dx A τμ∈⎰B 其中μ是直线R 上的Lebesgue 测度，a R ∈，>0τ是常数。

则可证明这样定义的P 是R B 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为正态概率，或高斯（Gaussian ）概率），于是我们建立了一个概率空间(),,P R ΩB （称为正态概率空间，或高斯（Gaussian ）概率空间）。

在这个概率空间中，若,a b R ∈，且<a b ，则()()[]()()()()2--2,=,=(,]=[,)=x a baP a b P a b P a b P a b dx τ。

若A 是R 中的有限子集或可列子集，则()=0P A 。

例6 考虑一个n 次独立试验序列，在第k 次试验中可能出现r 个基本结果()()1,,r k kωω。

令()ks k ω表示第k 次试验出现的结果。

这个试验的基本事件空间为 ()()(){}11=,,:=1,,;=1,,n ssn k s r k n ωωΩ，它是由nr 个基本结果组成。

取{}=:A A ⊂ΩF 是由Ω的一切子集组成的σ域。

对给定的实 数>0,=1,,s p s r ，且1+=1r p p ，令()()()()111,,=,n s s n ns s A P A p p A ωω∈∈∑F则P 是F 上的概率（称为多项概率）。

(),,P ΩF 是一个概率空间（称为多项概率空间）。

若()()(){}11=,,n s s nA ωω是基本事件，则()1=n s s P A pp ，且11=1=1=1n n rrs s s s pp ∑∑。

在此例中，如果考虑的是一个n 次独立重复试验，每次试验中可能出现r 个结果()()1,,r ωω，用()ks k ω在第k 次试验中出现结果()ks ω，=1,,;=1,,k s r k n ，则是此例的一个特殊，可建立相同的概率空间。

6.有限维（独立）乘积概率空间定义 设(),,,1i i i P i nΩ≤≤F 是n 个概率空间，则在乘积可测空间()()11,,n n Ω=Ω⨯⨯Ω⨯⨯F F F 上存在唯一概率测度P ，满足()()()()1111==P ,nn i i n n i i i P A A P A A P A A =⨯⨯∈∏F ,称P 为概率测度1,,n P P 的（独立）乘积概率测度，记为1=n P P P ⨯⨯。

称()()111,,=,,n n n P P P ΩΩ⨯⨯Ω⨯⨯⨯⨯F F F 为(),,,1i i i P i n Ω≤≤F 的（独立）乘积概率空间，或直积概率空间。

7.无限维（独立）乘积概率空间可数无限维（独立）乘积概率空间：定义 设(),,,1,2,i i i P i Ω=F 是一列概率空间，则在乘积可测空间()=1=1,,i i i i ∞∞⎛⎫Ω=⨯Ω⨯ ⎪⎝⎭F F 上存在唯一概率测度P ，满足:对任意正整数n ，有 ()()()11111==P ,,1,,nn i i i n n i i i n i P A A P A A P A A i n ∞=+=⎛⎫⨯⨯⨯Ω∈= ⎪⎝⎭∏∏F称P 为概率测度,1,2i P i =的（独立）乘积概率测度，记为1211==P =i ii i P P P P ∞∞==⨯⨯⨯∏，称()=1=11,,,,P i i i i i i P ∞∞∞=⎛⎫Ω=⨯Ω⨯⨯ ⎪⎝⎭F F 为概率空间(),,,1,2,i i i P i Ω=F 的（独立）乘积概率空间，或直积概率空间。