基于大功率LED准直透镜的研究设计常见的大功率LED二次透镜的剖面一般具有如下结构：其作用是通过曲面1的折射和曲面2的全反射改变LED发出的光线方向以实现配光的重新分布。

本文主要通过理论计算分析适用于准直透镜的曲面设计。

以下将曲面1和曲面2，分开讨论，讨论前需假设他们具有一个共同的分界角A，这样从LED发出的光线必然能被曲面1折射或曲面2全反射。

第一部分：首先讨论中间的准直透镜部分：如下图所示，取透镜中心为Y轴，径向为决定TIR 透镜的中心准直透镜的参数主要为：r n A max,所以可以把这三个参数当做已知参数，进而推导出y 与x 的关系，然后拟合成非球面曲线，那么就可以得到中心准直透镜的非球面系数。

具体推导如下：(a) 先求出Pn+1点所在光线方程：由坐标图，我们可以知道，Pn+1点所在光线所在的直线的斜率为1k ，其中1cot k A =，那么其光线方程为1cot y A x =⋅ (1)(b) 再求Pn 点所在切线方程：设Pn 点所在切线切线的斜率2k ，且为过点Pn (Xn ,Yn)，因此应该具有如下形式： Yn Xn x k y +-⋅=)(22由于角D 与角C 的和为90°，那么Pn 所在切线斜率2cot tan k D C ==， 这样只需求出C 既可。

由折射定律sin sin B n C =，则角arcsin(sin )B n C =⋅ 于是问题转换为求角度B 。

这可以通过光线的斜率1k 和Pn 所在法线的斜率231k k -=求出。

由两直线夹角公式:111cot 132tan tan 1cot 113112tan k A k k k C B k A k k k C ++-===+⋅-- 于是有:1cot tan tan[arcsin(sin )]cot 1tan A C n C A C+⋅=- 经过进一步的计算，便可以解得：212121212)1(*1k k n k k n k -+-+=于是得Pn 点所在切线方程：Yn Xn x k y +-⋅=)(22 (2)可以近似认为Pn 的邻点Pn+1也在该切线上。

(c) 求曲线方程离散解，拟合得到中心透镜的非球面系数：解方程组（1）（2），假设取A max =40°，将P0[r , r cotA]作为初值(X o ,Yo)代入，可得关于X 与Y 的方程组。

x k y ⋅=11 (3)22()cot y k x r r A =⋅-+ (4)解方程组（3）、（4）可得P1（X1，Y1）再次将P1（X1,Y1）坐标作为P0，然后我们依次递减A 的角度，这边每次递减为1°直到角A 为0°，所以这样第二次取A=39°代入（1）、（2）可得新的方程组x k y ⋅=11 (5)1)1()(12Y X x k F y +-⋅= (6)同理，解方程（5）、（6）可得P2（X2,Y2）以此类推，从Amax 递减到0°，可以求得一系列P 点坐标。

将离散的点，用MATLAB 多项式拟合成非球面的曲线方程，便可以得到非球面系数。

第二部分：全反射曲面的一个切面如下图所示，取透镜中心为Y 轴，径向为X 轴，为简化问题，将LED 简化为原点处的点光源，图中的光线发生全反射现象。

决定全反射部分的透镜参数为r 、R 、n 、Amin(即等同于中心准直透镜的Amax)，可以把这几个参数当做已知参数，进而推导出y 与x 的关系，然后拟合成非球面曲线，那么就可以得到透镜的全反射部分的非球面系数。

具体推导如下：(a)先求Pn 点所在切线方程，由坐标图可以知道它的斜率为()tan f x D '=由于(90C)2180D ︒-+=︒，所以90()tan 2C f x ︒+⎛⎫'= ⎪⎝⎭由折射定律：sin sin cos n C B A ==， 得cos arcsin()A C n=，那么过该点的直线方程斜率： cos 90arcsin tan 2A n k ⎛⎫⎛⎫︒+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭将Pn(Xn,Yn)坐标代入，则过Pn 的切线满足方程：cos 90arcsin tan ()2n n A n y x X Y ⎛⎫⎛⎫︒+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎝⎭……………………..（1） 可以近似认为Pn 的邻点Pn+1也在该切线上。

(b)再求Pn+1点所在光线方程，由坐标图很容易得到其所在的直线方程为tan ()cot y C x r r A =⋅-+其中cos tan tan[arcsin()]A C n = 即Pn+1点所在光线方程: cos tan[arcsin()]()cot A y x r r A n=-+……. .(2)在坐标图中，我们是假设光发生全反射，但是还没有考虑是否遵循全反射定律，所以我们必须进一步来验证。

验证如下：由全反射定律可以知，要发生全反射，则入射角E 必须大于全反射临界角。

既是必须满足1tan tan[arcsin()]E n ≥,由于tanE=k ，所以只要1tan[arcsin()]k n≥ 于是有： cos 90arcsin 1arcsin()2A n n⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭≥ 由上面式，可以知道1arcsin()n 只要小于等于cos 90arcsin 2A n ⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭的最小值便可，而当A=90°时，cos 90arcsin 2A n ⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭可以取得最小值为45°，既是1arcsin()45n≤︒， 则414.12=≥n 可以全反射，这对于制造TIR 透镜常用的PMMA 和PC 材料可以实现。

因此该曲线对于任意的光线初始入射角a 都能发生全反射，设计时仅需考虑透镜结构高度上的要求。

（c ）求曲线方程离散解,拟合得到全反射部分透镜的非球面系数解方程组（1）（2），将P0坐标作为Pn ，取A=90°代入，可得关于X 与Y 的方程组。

0)(290cos arcsin 90tan +-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒=R x n y ………………..……….（3） ︒+-︒=90cot ))](90cos (tan[arcsin r r x ny …………………..………..（4) 解方程组（3）、（4）可得P1（X1，Y1）再次将P1（X1,Y1）坐标作为P0，然后我们依次递减A 的角度，这边每次递减为1°取A=89°代入（1）、（2）可得新的方程组1)1(289cos arcsin 90tan Y X x n y +-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒=……………………...（5） ︒+-︒=89cot ))](89cos (tan[arcsin r r x ny ……………………….......（6） 同理，解方程（5）、（6）可得P2（X2,Y2）以此类推，一直递减到Amin 可以求得一系列P 点坐标。

将离散的点，用MATLAB 拟合成非球面方程，便可以得到非球面系数。

程序如下：% By Ruibin 08-9-25% Instruction ：This program help design LED collimating lens , feedback aspheric parameters and several chief dimensions.clear all;clc% The Frist Step: Define independent parametersr=3.25; %选择开孔半径R=4.25; %定义曲面底部半径d=1; %设置透镜前方平板高度n=1.4935; %定义材料折射率dividing_angle=24; %定义Core 与TIR 的分界角min_angle=1; %设置计算精度N=4; %设定拟合非球面系数阶数% The Second Step ：Caculate induced variableangles_Core=(dividing_angle:-min_angle:0);angles_TIR=(90:-min_angle:dividing_angle); num_Core=length(angles_Core);num_TIR=length(angles_TIR);for i=1:(num_Core)a_Core(i)=(angles_Core(i)*pi/180);k1(i)=cot(a_Core(i));k2(i)=(k1(i)+(n^2*k1(i)^2+n^2)^(1/2))/(n^2*k1(i)^2-1.*k1(i)^2+n^2); endk1(num_Core)=999;k2(num_Core)=0;for i=1:num_TIRa_TIR(i)=(angles_TIR(i)*pi/180);k3(i)=tan((pi/2+asin(cos(a_TIR(i))/n))/2);k4(i)=tan(asin(cos(a_TIR(i))/n));endX0_TIR=R;X0_Core=r;Y0_TIR=0;Y0_Core=r*cot(a_Core(1));% The Third Step:Solve functionsfor i=1:num_Core %Solve the curve of Core syms x;f1=k1(i)*x;f2=k2(i)*(x-X0_Core)+Y0_Core;f=f1-f2;x=double(solve(f));y=k1(i)*x;X0_Core=x;Y0_Core=y;Px_Core(i)=X0_Core;Py_Core(i)=Y0_Core;endfor i=1:num_TIR %Solve the curve of TIR syms x;f1=k3(i)*(x-X0_TIR)+Y0_TIR;f2=k4(i)*(x-r)+r*cot(a_TIR(i));f=f1-f2;x=double(solve(f));y=k3(i)*(x-X0_TIR)+Y0_TIR;X0_TIR=x;Y0_TIR=y;Px_TIR(i)=X0_TIR;Py_TIR(i)=Y0_TIR;end% The furth Step:Fitting the curveP_Core=polyfit(Px_Core,Py_Core,4);P_TIR=polyfit(Px_TIR,Py_TIR,4);% The fifth Step:Feedback chief dimensions of the lens and Create it %Feedback dimensions of the whole lensresult='透镜尺寸如下：'Diameter_of_lens=2*Px_TIR(num_TIR)Thickness_of_lens=Py_TIR(num_TIR)+dDiameter_of_Core=2*rThickness_of_front_pannel=dBottom_thickness=R-rLowest_Core=P_Core(5)%Feedback dimensions of Lens part TIRresult='TIR系数如下：'Thickness=Py_TIR(num_TIR)-P_TIR(5)+dAperture=Px_TIR(num_TIR)Obstruction=rPosition=P_TIR(5)format short e;Aspheric=[P_TIR(4) P_TIR(3) P_TIR(2) P_TIR(1)]format short;%DDE ConnectionTP_COMMAND = ddeinit('TracePro','Scheme');%Create TIRcmd =['(define TIR (insert:lens-element "PLASTIC" "pmma" (list 0 0 7.0306e-002 1.2580e-001 -2.5732e-003 -2.5281e-006) 18.6774 (list 0 0)(list "cir" 13.6051 0 0 0)(list "cir"3.25 0 0 0)))'];ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(entity:move TIR 0 0 -2.3712)'];ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(property:apply-name TIR "TIR")'];ddeexec(TP_COMMAND,cmd);%Feedback dimensions of Lens part TIRresult='Core系数如下：'Thickness=Py_TIR(num_TIR)-P_Core(5)+dAperture=rObstruction='None'Position=P_Core(5)format short e;Aspheric=[P_Core(4) P_Core(3) P_Core(2) P_Core(1)]format short;%Create Corecmd =['(define Core (insert:lens-element "PLASTIC" "pmma" (list 0 0 -2.6211e-002 1.9124e-001 -1.7949e-002 2.8016e-004) 10.3569 (list 0 0)(list "cir" 3.2500 0 0 0)))']; ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(entity:move Core 0 0 5.9493)'];ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(property:apply-name Core "Core")'];ddeexec(TP_COMMAND,cmd);%Create Lenscmd =['(define Unite (bool:unite TIR Core))'];ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(define block (insert:block 100 100 100))']; ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(entity:move block 0 0 -50)'];ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(define Lens (bool:subtract Unite block))']; ddeexec(TP_COMMAND,cmd);cmd =['(property:apply-name Lens "Lens")']; ddeexec(TP_COMMAND,cmd);%Close the DDE connectionddeterm(TP_COMMAND);。