２），则ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα
的最小值为
（ ）（Ａ）２７６４． （Ｂ）３５槡２．
（Ｃ）１．（Ｄ）５６槡３．
本文首先给出问题的多种解法，然后对问题作引申推广．
一、一题多解
解法１ ∵α∈（０，π２），
∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，∴ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３α
ｓｉｎα
＝ｓｉｎαｃｏｓα（１－ｃｏｓ２α）＋ｃｏｓαｓｉｎα（１－ｓｉｎ２α
）
＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα－ｓｉｎ ２α
≥２－１＝１．等号成立当且仅当α＝
π
４．
因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．
解法２ ∵α
∈
（０，π２），
∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由柯西不等式得
（ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎαｃｏｓα）（ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα）
＝［（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２＋（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２］·
［（ｓｉｎ３αｃｏｓ槡α）２＋（ｃｏｓ３αｓｉｎ槡α）２］
≥（ｓｉｎαｃｏｓ槡α
·
ｓｉｎ３α
ｃｏｓ槡
α＋
ｓｉｎαｃｏｓ槡α
·
ｃｏｓ３α
ｓｉｎ槡
α）
２
＝（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）２＝１，∴ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα≥１ｓｉｎ ２α≥１．等号成立当且仅当α＝
π
４．
因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．
解法３ ∵α
∈
（０，π２），
∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｓｉｎ３α
ｃｏｓα
＋ｃｏｓ２α
≥３３（ｓｉｎ３αｃｏｓα）２ｃｏｓ２槡α＝３ｓｉｎ２α
，
ｃｏｓ３αｓｉｎα＋ｃｏｓ３α
ｓｉｎα
＋ｓｉｎ２α
≥３３（ｃｏｓ３αｓｉｎα）２ｓｉｎ２槡α＝３ｃｏｓ２α
，
将上面二式相加，整理得ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３α
ｓｉｎα
≥１．
等号成立当且仅当α＝
π
４．
因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．
二、引申推广对问题作引申推广，可得如下命题．
命题１
设α∈（０，π２），则ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋２αｓｉｎｎα的
最小值为１．
证明
∵α∈（０，π２），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，
由均值不等式，得ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｓｉｎｎ＋２
α
ｃｏｓｎα
＋ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２α＋…＋ｃｏｓ２烉烇烋α
ｎ个
≥（ｎ＋２）ｎ＋２（ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα）２ｃｏｓ２ｎ槡α，即２ｓｉｎｎ＋２
α
ｃｏｓｎα
＋ｎｃｏｓ２α≥（ｎ＋２）ｓｉｎ２α
，
６５数学通讯———２０１２年第４期（上半月）
·课外园地·同理２ｃｏｓｎ＋２
α
ｓｉｎｎα
＋ｎｓｉｎ２α≥（ｎ＋２）ｃｏｓ２α
，
将上面两式相加，整理得：ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋２
α
ｓｉｎｎα
≥１．
等号成立当且仅当α＝
π
４．
因此，ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋２αｓｉｎｎα的最小值为１．
命题２ 已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ２＋ｙ２＝ｍ２，
则
ｘ３ｙ＋ｙ３ｘ的最小值是ｍ２
．
证明
∵ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ２＋ｙ２＝ｍ２，
由均值
不等式，得
ｘ３ｙ＋ｘ３ｙ＋ｙ２≥３３（ｘ３ｙ）２ｙ槡２＝３ｘ２，
ｙ３ｘ＋ｙ３ｘ＋ｘ２≥３３（ｙ３ｘ）２ ｘ槡２＝３ｙ２，
将上面两式相加，整理得：ｘ３ｙ＋ｙ３ｘ≥ｍ２，等号
成立当且仅当ｘ＝ｙ
．
因此，ｘ３ｙ＋ｙ３ｘ的最小值是ｍ２
．
命题３
已知
ｘ
１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，且ｘ２１＋ｘ２２
＋…＋ｘ２ｎ＝ｍ２，则ｘ３１ｘ２＋ｘ３２ｘ３＋…＋ｘ３ｎ－１ｘｎ＋ｘ３ｎ
ｘ１
的最
小值是ｍ２
．
证明 ∵ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，且ｘ２１＋ｘ２２＋…
＋ｘ２ｎ＝ｍ２，由均值不等式，得
ｘ３１ｘ２＋ｘ３１ｘ２＋ｘ２２≥３３（ｘ３１
ｘ２
）２ ｘ槡２２＝３ｘ２１，
同理，ｘ３２ｘ３＋ｘ３２ｘ３＋ｘ２３≥３３（ｘ３２
ｘ３
）２ ｘ槡２３＝３ｘ２２，
……，ｘ３ｎｘ１＋ｘ３ｎｘ１＋ｘ２１≥３３（ｘ３ｎ
ｘ１
）２ ｘ槡２１＝３ｘ２ｎ，
将上面的ｎ个不等式相加，整理得ｘ３１ｘ２＋ｘ３２ｘ３＋…＋ｘ３ｎ－１ｘｎ＋ｘ３ｎ
ｘ１
≥ｍ２，
等号成立当且仅当ｘ
１＝ｘ２＝…＝ｘ
ｎ．
因此，ｘ３１ｘ２＋ｘ３２ｘ３＋…＋ｘ３ｎ－１ｘｎ＋ｘ３ｎｘ１的最小值是ｍ２
．
命题４ 已知ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，
且
ｘ２１＋ｘ２
２
＋…＋ｘ２ｎ＝ｍ２，则ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２２ｘｎ３＋…＋ｘｎ＋２ｎ－１ｘｎｎ＋ｘｎ＋２
ｎ
ｘｎ１
的最小值是ｍ２
．
证明 ∵ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，且ｘ２１＋ｘ２２＋…
＋ｘ２ｎ＝ｍ２，由均值不等式，得
ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２
１
ｘｎ２
＋ｘ２２＋…＋ｘ烉烇烋２
２
ｎ个
≥（ｎ＋２）ｎ＋２（ｘｎ＋２１ｘｎ２）２（ｘ２２）槡ｎ
＝（ｎ＋２）ｘ２１，即２ｘｎ＋２
１
ｘｎ２
＋ｎｘ２２≥（ｎ＋２）ｘ２１，
同理，２ｘｎ＋２
２
ｘｎ３
＋ｎｘ２３≥（ｎ＋２）ｘ２２，
……，２ｘｎ＋２
ｎ
ｘｎ１
＋ｎｘ２１≥（ｎ＋２）ｘ２ｎ，
将上面ｎ个不等式相加，整理得ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２２ｘｎ３＋…＋ｘｎ＋２ｎ－１ｘｎｎ＋ｘｎ＋２
ｎ
ｘｎ１
≥ｍ２，
等号成立当且仅当ｘ
１＝ｘ２＝…＝ｘ
ｎ．
因此，ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２２ｘｎ３＋…＋ｘｎ＋２ｎ－１ｘｎｎ＋ｘｎ＋２ｎｘｎ１的最小值是ｍ２
．
（收稿日期：２０１１－１０－０８）
７５·课外园地·
数学通讯———２０１２年第４期（上半月
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