压缩感知重构算法之正交匹配追踪(OMP)
前面经过几篇的基础铺垫，本篇给出正交匹配追踪(OMP)算法的MATLAB函数代码，并且给出单次测试例程代码、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码。
0、符号说明如下：
压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M<
(1) y为观测所得向量，大小为M×1
(2)x为原信号，大小为N×1
(3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示
(4)Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N
(5)Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N
(6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N
上式中，一般有K<
1、OMP重构算法流程：
2、正交匹配追踪(OMP)MATLAB代码(CS_OMP.m)
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1. function [ theta ] = CS_OMP( y,A,t )
2. %CS_OMP Summary of this function goes here
3. %Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-04-18
4. % Detailed explanation goes here
5. % y = Phi * x
6. % x = Psi * theta
7. % y = Phi*Psi * theta
8. % 令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
9. % 现在已知y和A，求theta
10. [y_rows,y_columns] = size(y);
11. if y_rows
12. y = y';%y should be a column vector
13. end
14. [M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵
15. theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)
16. At = zeros(M,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列
17. Pos_theta = zeros(1,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列序号
18. r_n = y;%初始化残差(residual)为y
19. for ii=1:t%迭代t次，t为输入参数 20. product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积
21. [val,pos] = max(abs(product));%找到最大内积绝对值，即与残差最相关的列
22. At(:,ii) = A(:,pos);%存储这一列
23. Pos_theta(ii) = pos;%存储这一列的序号
24. A(:,pos) = zeros(M,1);%清零A的这一列，其实此行可以不要，因为它与残差正交
25. %y=At(:,1:ii)*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)
26. theta_ls = (At(:,1:ii)'*At(:,1:ii))^(-1)*At(:,1:ii)'*y;%最小二乘解
27. %At(:,1:ii)*theta_ls是y在At(:,1:ii)列空间上的正交投影
28. r_n = y - At(:,1:ii)*theta_ls;%更新残差
29. end
30. theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta
31. end
3、OMP单次重构测试代码(CS_Reconstuction_Test.m)
代码中，直接构造一个K稀疏的信号，所以稀疏矩阵为单位阵。
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1. %压缩感知重构算法测试
2. clear all;close all;clc;
3. M = 64;%观测值个数
4. N = 256;%信号x的长度
5. K = 10;%信号x的稀疏度
6. Index_K = randperm(N);
7. x = zeros(N,1);
8. x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
9. Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
10. Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
11. A = Phi * Psi;%传感矩阵
12. y = Phi * x;%得到观测向量y
13. %% 恢复重构信号x
14. tic
15. theta = CS_OMP(y,A,K);
16. x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
17. toc
18. %% 绘图
19. figure;
20. plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
21. hold on;
22. plot(x,'r');%绘出原信号x
23. hold off;
24. legend('Recovery','Original')
25. fprintf('\n恢复残差：');
26. norm(x_r-x)%恢复残差 运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）
1）图：
2）Command Windows
Elapsed time is 0.849710 seconds.
恢复残差：
ans =
5.5020e-015
4、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码
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1. %压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_MtoPercentage.m
2. % 绘制参考文献中的Fig.1
3. % 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert
4. % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
5. % Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,
6. % DECEMBER 2007.
7. % Elapsed time is 1171.606254 seconds.(@20150418night)
8. clear all;close all;clc;
9. %% 参数配置初始化
10. CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数
11. N = 256;%信号x的长度 12. Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
13. K_set = [4,12,20,28,36];%信号x的稀疏度集合
14. Percentage = zeros(length(K_set),N);%存储恢复成功概率
15. %% 主循环，遍历每组(K,M,N)
16. tic
17. for kk = 1:length(K_set)
18. K = K_set(kk);%本次稀疏度
19. M_set = K:5:N;%M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了
20. PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率
21. for mm = 1:length(M_set)
22. M = M_set(mm);%本次观测值个数
23. P = 0;
24. for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次
25. Index_K = randperm(N);
26. x = zeros(N,1);
27. x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
28. Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
29. A = Phi * Psi;%传感矩阵
30. y = Phi * x;%得到观测向量y
31. theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta
32. x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
33. if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
34. P = P + 1;
35. end
36. end
37. PercentageK(mm) = P/CNT*100;%计算恢复概率
38. end
39. Percentage(kk,1:length(M_set)) = PercentageK;
40. end
41. toc
42. save MtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来
43. %% 绘图
44. S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
45. figure;
46. for kk = 1:length(K_set)
47. K = K_set(kk);
48. M_set = K:5:N;
49. L_Mset = length(M_set);
50. plot(M_set,Percentage(kk,1:L_Mset),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
51. hold on;
52. end
53. hold off;
54. xlim([0 256]);