人教版初中数学图形的相似图文解析
一、选择题
1．如图RtABCV中，90ABC，4AB，3BC，D为BC上一动点，DEBC，当BDCE时，BE的长为（ ）．
A．52 B．125 C．5158 D．3418
【答案】D
【解析】
【分析】
利用90ABC，DEBC得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解,,BDDE再利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：90,ABCQDEBC，
//,DEBA
,CEDCAB:
,CECDEDCACBAB
90,4,3,ABCABBCQ
5,AC
设,BDx Q BDCE，
,3,BDCExCDx
3,534xxED
3155,xx
15,8x
158,54ED
3,2ED
Q DEBC， 2222153341()().828BEDBDE
故选D．
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键．
2．如图，四边形ABCD内接于Oe，AB为直径，ADCD，过点D作DEAB于点E，连接AC交DE于点F.若3sin5CAB，5DF，则AB的长为( )
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BD，如图，先利用圆周角定理证明ADEDAC得到5FDFA，再根据正弦的定义计算出3EF，则4AE，8DE，接着证明ADEDBE∽，利用相似比得到16BE，所以20AB．
【详解】
解：连接BD，如图，
ABQ为直径，
90ADBACB，
ADCDQ， DACDCA，
而DCAABD，
DACABD，
DEAB∵⊥，
90ABDBDE，
而90ADEBDE，
ABDADE，
ADEDAC，
5FDFA，
在RtAEF中，3sin5EFCABAFQ，
3EF，
22534AE，538DE，
ADEDBEQ，AEDBED，
ADEDBE∽，
::DEBEAEDE，即8:4:8BE，
16BE，
41620AB．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
3．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx、2yx的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ）
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BEOEOFAF；设B为（a，1a），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a，OF=b，AF=2b，进而得到222ab，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值，即可解决问题．
【详解】
解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，
则△BEO∽△OFA，
∴BEOEOFAF，
设点B为（a，1a），A为（b，2b），
则OE=-a，EB=1a，OF=b，AF=2b，
可代入比例式求得222ab，即222ab，
根据勾股定理可得：OB=22221OEEBaa，OA=22224OFAFbb，
∴tan∠OAB=2222222212244baOBabOAbbbb=222214()24bbbb=22
∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A．2244xy B．2244xy C．2288xy D．2288xy
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝12AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝GECE＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出GECECEFE，得出y＝2FE，求出y2＝24FE，得出24y＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CD＝12AB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝12CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，
∴tan∠ACD＝GECE＝tanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
∴△CEG∽△FEC，
∴GECE＝CEFE，
∴y＝2FE， ∴y2＝24FE，
∴24y＝FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴24y＝x2﹣4，
∴24y+4＝x2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，BEEC，将DCE沿DE对折至DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．给出以下结论：①DAGDFG；②2BGAG；③EBFDEG:；④23BFCBEFSS．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，可判断①的正误；设正方形ABCD的边长为a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，根据勾股定理得到x＝13a，得到BG＝2AG，故②正确；根据已知条件得到△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，于是得到△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，根据三角形的面积公式得到S△BFC＝2S△BEF．故④错误．
【详解】
解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
ADDFDGDG＝＝，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
设正方形ABCD的边长为a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，
∵BE＝EC，
∴EF＝CE＝BE＝12a
∴GE=12a+x
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13
∴BG＝2AG，
故②正确；
∵BE＝EF，
∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，
∴△EBF与△DEG不相似，
故③错误；
连接CF，
∵BE＝CE，
∴BE＝12BC，
∴S△BFC＝2S△BEF．
故④错误， 综上可知正确的结论的是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．
6．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.
【详解】
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ACADABAC，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．ADDEDBBC B．BFEFBCAB C．AEECFCDE D．EFBFABBC
【答案】C
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF∽△CAB，可判定B错误；由△ADE～△EFC，可判定C正确；由△CEF∽△CAB，可判定D错误.
【详解】
解：如图所示：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEADADBCABDB，
∴答案A错舍去；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
CFEFBCABBBFC
∴答案B舍去
∵∠ADE＝∠B，∠CFE＝∠B，
∴∠ADE＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠C，
∴△ADE～△EFC，
∴AEDEECFC，C正确；
又∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，∠CFE＝∠B，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFCEFCBFABACBCBC，
∴答案D错舍去；
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
8．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．