1 / 17

几何不等式

东北师大附中 卢秀军

一、基础知识

1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。

2．证明几何不等式常用方法

（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：

（1）适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；

（2）利用重要的几何不等式及代数不等式；

（3）当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.

（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：

（1）三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；

（2）边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.

（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：

（1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；

（2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识.

3．几个著名代数不等式

在几何不等式的证明中，常常需要一些著名的代数不等式——柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等.

4．几个著名的几何不等式

（1）托勒密定理的推广：

在凸四边形ABCD中，一定有：BDACBCADCDAB，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.

证明1：取点E，使ACDABECADBAE，

则ABE∽ACD 2 / 17

∴CDBEACAB，ADAEACAB

∴BEACCDAB （1）

又DAEBAC

∴ABC∽AED

∴ADACDEBC

∴DEACADBC

∴BDACDEBEACDEACBEACADBCCDAB)(

上式等号成立当且仅当E在对角线BD上.此时ACDABD，从而四边形内接于圆.

证明2：复数法

设A、B、C、D对应的复数分别是1z、2z、3z、4z

用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0zzzzzzzzzzzz

则12341423|()()||()()|ABCDADBCzzzzzzzz

12341423|()()()()|zzzzzzzz

2431|()()|zzzzACBD

（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),xyzRABCkkZ，

求证：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222

等号成立的充要条件是：BzCyxcoscos及BzCysinsin.

证明：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222

)cos(2)coscos(2222CByzzyxCyBzx

222)sinsin()coscos()coscos(2CyBzCyBzxCyBzx

0)sinsin()coscos(22CyBzCyBzx

当且仅当BzCyxcoscos且BzCysinsin时取等号

（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos—Mordell）不等式：

在ABC内部任取点P，,AdBd,Cd分别表示由点P到顶点CBA,,之间的距离，cbaddd,,分别表示由点P到边ABCABC,,的距离，

则)(2cbaCBAdddddd

证明1：

过P作直线XY分别交ACAB,于YX,，使ABCAYX

则AYX∽ABC 3 / 17

YXPCBAPFEDCBA∴BCABXYAYBCACXYAX,

又∵AbcAXYdXYdAYdAXS212121

∴bcAdXYAYdXYAXd

即bcAdBCABdBCACd

同理：acBdACABdACBCd

abCdABACdABBCd

∴)(2cbaCBAdddddd

证明2：FAEP,,,四点共圆

则AdAEFsin

在EFP中，由余弦定理得

)cos(2222CBddddEFbcbc

22)sinsin()coscos(CdBdCdBdbcbc

2)sinsin(CdBdbc

∴CdBdEFbcsinsin

∴bcAdACdABdsinsinsinsin

同理acBdBCdBAdsinsinsinsin

acCdCBdCAdsinsinsinsin

∴)(2cbaCBAdddddd

证明3：设CPABPCAPB,,

则cos2222BABAddddAB

cos2222CBCBddddBC

cos2222ACACddddCA

又sin2121CBadddBC 4 / 17

∴)cos1(2)(sincos2sin222CBCBCBCBCBCBaddddddddddddd

2cos212sin22sin)cos1(2sin2CBCBCBCBCBdddddddddd

即2cos21CBaddd

同理2cos21ACbddd

2cos21BAcddd

)2cos2cos2cos(21BAACCBcbaddddddddd

)(21CBAddd（嵌入不等式）

证明四：

设2,2,2BPCCPAAPB，且

设它们的内角平分线长分别是abcwww、、，且aabbccwdwdwd、、

只要证更强的结论

2()ABCabcdddwww

112()()22BCBCBCaBCddddaddawdd

222(2)BCBCBCBCddddadddd

又222cos22BCBCddadd，即2222cos2BCBCddadd

∴22(1cos2)coscosBCBCaBCBCBCddddwdddddd

同理cosbACwdd，coscABwdd

∵

∴由嵌入不等式得

2()2(coscoscos)abcBCACABABCwwwddddddddd

（4）外森比克不等式： 5 / 17

设ABC的边长和面积分别为cba,,和S，则Scba34222，当且仅当ABC为正三角形时等号成立.

证明方法很多，证明略

5．费尔马(Fermat)问题：在ABC中，使PCPBPA为最小的平面上的P点称为费尔马点.当120BAC时，A点为费尔马点；当ABC中任一内角都小于120时，则与三边张角为120的P点为费尔马点.

例题

例1 已知ABC，设I是它的内心，CBA,,的内角平分线分别交其对边于///,,CBA，求证：27841///CCBBAACIBIAI.

证明：令cABbCAaBC,,

由角平分线定理，易得cbabCAcBAIAIA///

∴cbcbaIAAA/

∴cbacbAAIA/

易得121cbacbcbcbcb

∴)1,21(/cbacbAAIA

同理)1,21(/cbacaBBIB

)1,21(/cbabaCCIC

则2/////CCICBBIBAAIA

处理（1）

令3/2/1/21,21,21tCCICtBBIBtAAIA，

则21),1,21(,,321321tttttt

∴2783)21()21()21()21)(21)(21(3321321tttttt 6 / 17

SRQPCBA∴41)(21)(4181)21)(21)(21(321133221321321ttttttttttttttt

∴27841///CCBBAACIBIAI

处理（2）令zCCICyBBIBxAAIA///,,，

则2zyx，且1,,(,1)2xyz

∴278)3(3zyxxyz

21113139(2)(2)()[()]22222416xyzxxzzzzzzz

又112z（2139[()]2416z在区间端点取到最小值）

∴221391391[()][(1)]241624164xyzz

处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换

令mkcknbnma,,

)(22)(22)(22///knmknmknmknmknmknmCCBBAACIBIAI

41)(8))(()()(333knmmnkknmnkmkmnknmknm

说明：

证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：

（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）

)0,,(,,,zyxxzczybyxa，反之，若三个正数cba,,可以表示为上述形式，则cba,,一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用zyx,,表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于zyx,,的代数不等式

例2 设P是ABC内的一个点，SRQ,,分别是CBA,,与P的连线与对边的交点（如图），求证：ABCQRSSS41.（QRS是塞瓦三角形）

分析：利用补集思想

证明ABCCQRBSQASRSSSS43

证明1：令RACRQCBQSBAS,,，