一个不等式链的证明及其变式探究

童永奇 陕西省西安市临潼区马额中学 710609

水有源、题有根，茫茫题海，寻根悟法方是岸.

不等式链2lnlnabababab，成立的前提条件是0,0,abab，其中2ab

叫做,ab的算术平均数，ab叫做,ab的几何平均数，lnlnabab不妨叫做,ab的对数平均数.

一、不等式链的证明

（1）先证明结论：若0,0,abab，则2lnlnababab.①

不妨设0ab，则欲证2lnlnababab，即证2()lnlnababab，即证11ln21aababb.

设(1)attb，则即证11ln21ttt.

令函数11()ln,121tftttt，则因为22212(1)'()02(1)2(1)tfttttt，所以函数(t)f在(1,)上单调递增，所以(t)(1)0ff，即11ln21ttt.故得证.

（2）再证明结论：若0,0,abab，则lnlnababab. ②

不妨设0ab，则欲证lnlnababab，即证lnlnababab，即证1lnaabbab.

设(1)auub，则即证221lnuuu，即证12lnuuu.

令函数1g()2ln,1uuuuu，则因为22221(1)g'()10uuuuu，所以函数g()u在(1,)上单调递减，所以g()(1)0ug，即12lnuuu.故得证.

综上，由（1）、（2）可知，所给不等式链成立. 二、不等式链的变式探究

探究1：取12,axbx，则由①知：1212122lnlnxxxxxx.于是，可编制如下试题：已知120xx，求证：1212122()lnlnxxxxxx.

探究2：取12,axbx，则由②知：121212lnlnxxxxxx.于是，可编制如下试题：已知120xx，求证：121212lnlnxxxxxx.

探究3：取121,1axbx，则由①知：121212(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：1212121ln(1)ln(1)2xxxxxx.

探究4：取121,1axbx，则由②知：121212(1)(1)(1)(1)ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：121212121ln(1)ln(1)xxxxxxxx.

探究5：取121,1axbx，则由①知：121212(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：1212121ln(1)ln(1)2xxxxxx.

探究6：取121,1axbx，则由②知：121212(1)(1)(1)(1)ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：121212121ln(1)ln(1)xxxxxxxx. 探究7：取12,xxaebe（即设12ln,lnaxbx），则由①知：1212122xxxxeeeexx.于是，可编制如下试题：对任意12,xxR，且12xx，求证：1212122xxxxxxeeee.

探究8：取12,xxaebe（即设12ln,lnaxbx），则由②知：121212xxxxeeeexx.于是，可编制如下试题：对任意12,xxR，且12xx，求证：1212122xxxxeexxe.

温馨提示：上述变式探究问题均可参考前述不等式链的证明思路——转化、换元、构造、求导，加以具体证明.有兴趣的读者，请逐个证明之，必将大有收获，感悟许多！

【参考文献】肖斌，把“冰冷的美丽”变成“火热的思考” [J]，教学考试（高考数学），2014，（ 5 ）.