两个猜想不等式的证明宋 庆（南昌大学附中，江西 330047）文[1]提出了四个猜想不等式：2221222a b c a b c ++≥+++；（1） 2221111124124124a a b b c c ++≥-+-+-+；（2） 2221222b c aa b c ++≥+++；（3） 22211113232322a b b c c a ++≤++++++。

（4）其中，,,a b c 是正实数,且满足1abc =。

文[1]、[2]分别证明了不等式（1）、（2）。

本文旨在证明不等式（3）、（4）证明文末，笔者给出猜想 若,a b 为满足21a b +=的正数，则23263aba b +≥--＋2.213aba b +≥--参考文献[1] 宋庆.从一个简单的不等式命题说开去. 中学数学研究，2010(4)[2] 张 . 一个不等式猜想的肯定性证明与推广. 中学数学研究, 2011(1)[3] 张 .一个不等式猜想的解决.中学数学研究， 2011(4)[4] 宋庆. 一个新的代数不等式的发现. 中学数学研究, 2007(7)[5] 宋庆.几个有趣的双边不等式.数学通讯， 2001(20)[6] 宋庆.一组三角不等式的简单证明.数学通报， 1997(7)[7] 宋庆.三个新发现的三角不等式.中学数学教学参考，1995(11)[8] 宋庆.Hayashi 不等式的推广.中学数学教学参考，1994(9)[9] 宋庆.一个三角不等式的加强 湖南数学通讯， 1989(4)（本文刊载于《中学数学研究》2010年第4期）数学是可以在纸上思考出来的，但这种思考方式的根本，必须要从观察开始才行。

《走向IMO －数学奥林匹克试题集锦》（.华东师大出版社，2005）有：命题 若,a b 为正实数, 则 22111(1)(1)1a b ab+≥+++. 但肯寻诗便有诗，灵犀一点是吾师。

夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。

笔者在文[1]中给出了以下简洁证明： ()(1)a b ab ++因为 222(1)(1)(1)b a a b b a =++-≥+， 故21(1)()(1)b a a b ab ≥+++，同理21(1)()(1)a b a b ab ≥+++，两式相加，便知原不等式成立。

天下难事，必做于易，必做于细。

但把简单的东西做好是一件不容易的事。

众所周知，看的结果常常依赖于你怎么去看。

你能不能观察眼前的现象，取决于运用什么样的理论。

理论决定你到底能够观察到什么。

用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来，这就更不是一件容易的事。

由命题，可得2005年IMO 中国国家集训队测试题，即定理1 设,,,a b c d 是正实数，且满足d 1abc =, 求证：222211111(1)(1)(1)(1d)a b c +++≥++++. 证明： 因为22111(1)(1)1a b ab +≥+++，22111(1)(1)1c d cd +≥+++，所以 22221111(1)(1)(1)(1d)a b c +++++++11111111ab ab cd ab ab ≥+=+=++++。

独创性是把旧的、很早就已知的或者人人都视而不见的事物当作新事物观察，它不在于生造出一些悖于常理的新词，而在于巧妙使用旧词。

旧词足以表达一切，旧词对行家来说已经足够了。

四个字母成双，三个字母怎么办呢？文[1]巧妙地解决了这个问题。

定理2 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =，求证：2221113(1)(1)(1)4a b c ++≥+++。

证明： 因22111(1)(1)1a b ab +≥+++，故要证原不等式,只要21131(1)4ab c +≥++ 2131(1)4c c c ⇔+≥++24(1)43(1)c c c ⇔++≥+2(1)0c ⇔-≥。

原不等式成立。

许多重要不等式的发现是由任意实数的平方非负得出来的。

另外，在数学上一项很简单的发现可能会产生一些新的思想和有用的结论。

手把青秧插满田，低头便见水中天。

心底清净方为道，后退原来是向前。

弱化定理2，笔者得到定理3 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：2323231113a a a b b b c c c++≥-+-+-+。

证明： 因为222432(1)4(1)46410a a a a a a a a +≥-+⇔-+-+≥4(1)0a ⇔-≥，所以23222114(1)(1)a a a a a a a =≥-+-++， 从而（注意到2221abc =），323232111a a a b b b c c c++-+-+-+ 42222221113(1)(1)(1)a b c ⎡⎤≥++≥⎢⎥+++⎣⎦。

因此,原不等式成立。

特殊化与一般化构成了数学解题过程的基础。

在探究问题时，特殊化往往比一般化起着更为重要的作用。

其实，人类的智慧不外乎用在两个方面，或者把简单的事情弄复杂，或者把复杂的事情弄简单。

成功者并没有在做与众不同的事，只不过做事的方式与众不同而已。

强化定理2，笔者有定理4 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：22211111(1)(1)(1)1a b c a b c+++≥++++++。

证明： 因1－a 、1－b 、1－c 必有两个同为非负数或非正数，故不妨设 （1－a ）（1－b ）≥0. 由命题知，要证原不等式,只要证211111(1)1ab c a b c ++≥+++++21111(1)1c c c a b c⇔++≥+++++ 22111(1)1c c c a b c ++⇔+≥++++211(1)c a b c c ⇔≥++++212()c c c c a b c ⇔++≥+++1ab a b ⇔+≥+⇔（1－a ）（1－b ）≥0,原不等式成立。

一个新想法是旧成分的新组合。

在数学中，美更多的在清晰中或在它被证明的简洁性之中。

中国人的哲学智慧在于知止；大学问的最高境界是止于至善。

不难知道111111a b c +++++与32不可比较。

关上一扇门，打开一扇窗。

在探索中，笔者意外获得下述定理5 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：2223333(1)(1)(1)a b c a b c +++++≥+++. 证明：由命题得，222222(1)(1)(1)a b c +++++ 222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦≥111111bc ca ab +++++111a b c a b c=+++++， 于是222333(1)(1)(1)a b c a b c ++++++++111111a b c =+++++222222(1)(1)(1)a b c ++++++ 111111a b c ≥+++++111a b c a b c++++++＝3。

所以，原不等式成立。

数学需要演绎推理，但从科学发现的角度来说，更需要合情推理。

许多数学成果的发现，先是通过实验、观察、估算、类比、不完全归纳、联想、想象、直觉猜测等合情推理的方式提出假说，然后经过演绎推理的论证才得出来的。

合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土。

由定理5的证明，笔者又想到 定理6 已知x 、y 、z 为正实数, 求证：222y z x x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭12x y z x y y z z x ⎛⎫≥++ ⎪+++⎝⎭. 证明：令,,,x y z a b c y z x===则,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 于是 2222y z x x y y z z x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝222222(1)(1)(1)a b c +++++ ≥111111bc ca ab +++++111111y z x x y z=+++++x y z x y y z z x+++++=。

人的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物或者与它相接近的事物开始进行的，之后，便追寻与它关联的事物，进而产生联想。

对定理2、5分别作定理6中类似的代换，可以得到（证明从略）定理7 已知x 、y 、z 为正实数, 求证：22234y z x x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2222223333()()()x y y z z x x y y z z x +++++≥+++。

追求卓越就是用不寻常的办法做寻常事。

生活的智慧之一在于对不必要的枝节的删节。

类似定理4，我们尚有定理8 已知,,a b c 是非负实数，且满足1bc ca ab ++=求证：11113b c c a a b a b c+++≥+++++. 证明：不妨设0,a b c ≥≥≥则103bc ≤≤.于是，2-5130.bc bc >-≥而且我们注意到a b c ++≥，因此，11152b c c a a b ++≥+++ []2()()()()()()5()()()c a a b a b b c b c c a b c c a a b ⇔++++++++≥+++[]22()2()5()()a b c bc ca ab a b c bc ca ab abc ⇔+++++≥++++-22(2)3()560a b c a b c abc ⇔++-++++-≥3()560a b c abc ⇐+++-≥(35)3()60bc a b c ⇔+++-≥1(35)3()60bc bc b c b c-⇔+++-≥+23()6()(35)(1)0b c b c bc bc ⇔+-+++-≥23(1)(25)0b c bc bc ⇔+-+-≥， 所以11152b c c a a b ++≥+++（注：此不等式即2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题；《中等数学》2009（8）上刊载了一个繁冗的证明。

）≤2a b c ++≤时， 1111b c c a a b a b c ++++++++512a b c ≥+++51322≥+=； 2a b c ++>时，1111b c c a a b a b c++++++++ ()()11a b c b c a bc ca b c c a b c c a a b a b c ++=++++++++++++ (1)11()()c ab a b b c c a a b a b c +=+++++++++2(1)111c ab a b c a b a b c+=++++++++ 11a b c a b a b c ≥+++++++1134424a b a b c a b c a b a b c ++++⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 31124a b c +≥+++23224c c ->++。