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2、马尔柯夫链
数学中，时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔柯夫 链（或马氏链）。 马尔柯夫链是与马尔柯夫过程紧密相关的一个概念。 马尔柯夫链，指出事物系统的状态由过去转变到现在，再由 现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔柯夫 链的动态系统将来是什么状态，取什么值， 只与现在的状 态、取值有关，而与它以前的状态、取值无关。因此，运用
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C-K方程也可写成矩阵形式：
P
( u v )
P P
(u)
(v)
利用C-K方程我们容易确定n步转移概率。在上式中令 u=1，v=n-1，得递推关系：
P
从而可得
(n)
P P
(1)
( n 1)
PP
( n 1)
P( n ) Pn
就是说，对齐次马氏链而言，n步转移概率矩阵是一步 转移概率矩阵的n次方。
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例8.1.1
某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1 000个 用户(或购货点)，假设在研究期间无新用户加入也无老用 户退出，只有用户的转移。 已知2002年5月份有500户是甲厂的顾客，400户是乙厂的顾
客，100户是丙厂的顾客。6月份：甲厂有400户原来的顾
P (m, m k ) 1,
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j 1
ij
i 1, 2,
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当转移概率 Pij (m, m k ) 只与i，j及时间间距k有关时，即
P ij (m, m k )P ij (k ) 时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链 X n , n 0 是齐次的或时齐的。 本章只限于讨论齐次马氏链！！！
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从而
3 7 1 p21 5 2 p31 7 p11
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
0 3 5 5 7
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第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p (Nk2)
为k步转移概率矩阵。 k步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的 性质：
(k ) 0 pij 1, N (k ) p ij 1, j 1
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i , j 1, 2, i 1, 2,
,N ,N
（8.1.6）
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马尔柯夫链只需要最近或现在的动态资料便可预测将来。
马尔柯夫预测法，就是应用马尔柯夫链来预测市场未来变化 状态。
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定义8.1.1 设随机时间序列 X n , n 0 满足如下条件：
(1)每个随机变量Xn只取非负整数值。 (2)对任意的非负整数 0 t1 t2
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3、多步转移概率的确定
(n) (n) 为了确定齐次马氏链的n步转移概率 P ，首先介绍 P ij ij 所满足的基本方程。
设 X n , n T 是一齐次马氏链，则对任意的 u, v T ，有
P
( u v ) ij
P P , i, j 1,2,
k 1 (u) (v ) ik kj
E1, E2 , Er , Ei ; E j ，当
tr m m k 及
P( X t1 E1, X t2 E2 ,..., X m Ei ) 0
时，有
(8.1.1)
P( X mk E j | X t1 E1, X t 2 E2 ,..., X m Ei ) P( X mk E j | X m Ei )
P( X mk E j | X m Ei ) P ij (m, m k )
（8.1.3）
为马氏链在时刻m处于状态Ei的条件下，在时刻m+k转移到状 态Ej的状态转移概率。 由于链在时刻m从任何一个状态Ei出发，到另一个时刻m+k， 必然转移到 诸状态中的某一个，所以 E1 , E2 ,
客，上月的顾客有50户转乙厂，50户转丙厂；乙厂有300 户原来的顾客，上月的顾客有20户转甲厂，80户转丙厂；
丙厂有80户原来的顾客，上月的顾客有10户转甲厂，10
户转乙厂。 试计算其状态转移概率。
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解：由题意得6月份顾客转移表8.1.1。
由表8.1.1可知，6月份有430户是甲厂顾客；360户是乙厂的 顾客；210户是丙厂的顾客。于是：
0 pij 1, N pij 1, j 1
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i , j 1, 2, i 1, 2,
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,N ,N
（8.1.5）
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定义8.1.4
称
(k ) p11 (k ) p 21 (k ) pN 1 (k ) p12 (k ) p22 k) p1(N (k ) p2 (k ) N P (k ) p NN
定义8.1.2 称
(k ) P ij (m) P( X mk E j | X m Ei )
(8.1.4)
为k步转移概率。 特别地，当k=1时，P( X m1 E j | X m Ei ) 称为一步转 移概率，记为
P ij P ij (m) P( X m1 E j | X m Ei )
第八章
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4
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马尔柯夫预测法
马尔柯夫链简介 商品销售状态预测 市场占有率预测 期望利润预测
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§8.1 马尔柯夫链简介
一、马尔柯夫预测法含义
马尔柯夫是俄国著名的数学家。马尔柯夫预测法（Markov Forecasting Model）是以马尔柯夫的名字命名的一种特殊 的市场预测方法。
– 第一步，划分预测对象(系统)所出现的状态。从预测目的出发，并 考虑决策者的需要适当划分系统所处的状态。 – 第二步，计算初始概率。在实际问题中，分析历史资料所得的状态 概率称为初始概率。 ►设有N个状态E1，E2，…，EN。观测了M个时期，其中状态 Ei(i=1，2，…，N)出现了Mi次。于是 fi M i M 就是Ei出现的 频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
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P (2)
0.49 0.25 0.26 P 2 0.49 0.26 0.25 0.48 0.21 0.31
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§8.2 商品销售状态预测
马尔柯夫链预测方法的最简单类型，是预测下一期最可能
出现的状态。可按以下步骤来完成：
max{ pi1, pi 2 , , piN } pij
时，可以预测下一步系统将转向状态Ej。
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例8.2.1 某商店在最近20个月的商品销售量统计记录见
表8.2.1。试预测第21个月的商品销售状态。
解：第一步，划分状态。按盈利状况将销售状态划分以下几种：
f ij
并令 f p ij ij
M ij
Mi
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时，2，…，N)的可能性。按最大概率原则，
这里选择 ( pi1, pi 2 ,
, piN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
fi pi (i 1,2,
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, N)
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– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态 Ei E j (由Ei转移到Ej)的频率
fij f ( E j Ei )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
(1)销售量<60千件，属滞销。
(2)60千件≤销售量≤100千件，属一般。
(3)销售量>100千件，属畅销。
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第二步，计算初始概率pi。 滞销状态的为M1=7 一般状态的为M2=5
M11 3 M 21 1
M 31 2
M12 4
M13 0 M 23 3
80 0.2 400
80 0.8 100
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2、状态转移概率矩阵 定义8.1.3 称
p11 p 21 pN 1 p12 p22 pN 2 p1 N p2 N P (1) P pNN
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
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例8.1.2 某经济系统有三种状态E1，E2，E3(比如畅销、
一般、滞销)。系统状态转移情况见表8.1.2。试求系统的2 步转移概率矩阵。
解：按照与例8.1.1相同的步骤可得一步状态转移概率矩阵
0.50 0.167 0.333 P 0.444 0.222 0.334 0.4 0.1 0.50
M 33 5
0 7 3 p23 5 p13
5 p33 7
M 22 1
M 32 0
4 7 1 p22 5 p12 0 p32 7
畅销状态的为M3=8
所以：p1=7/20 p2=5/20 p3=8/20 第三步，计算状态转移概率 矩阵。在计算转移概率时， 最后一个数据不参加计算， 因为它究竟转到哪个状态尚 不清楚。可得：