2007年10月
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
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5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,

xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )



exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,

ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
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伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
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x 1 (n)
0
-1 0 20 40 60
1
x 2 (n)
x2 (n) cos(n /10 / 2)
0
-1 0 20 40 60
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陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
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第二章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的基本概念及定义
自然界变化的过程可以分为确知性过程和随机过程两大类
自 然 界 变 化 过 程

确知 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定
的函数，具有确定的变化规律。
•当t可变，ω固定时， X(t) 是一个确定的时间函数；
•当t可变，ω可变时， X(t) 是一个随机过程；
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例、 设随机振幅信号
X (t ) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，
求 t 0,
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态
取值是离散的
X (t )
连续状态 取值是连续的
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状态 连续型随机过程 连续随机序列 连续 连续
时刻 连续 离散
离散型随机过程
离散随机序列
离散
离散
连续
离散
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注
如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，1）所组成的样本空间
如果在二个不同时刻 t1 ， t 2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1 , x 2 }是一个二维随机变量
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fX x, 2 ( x) 0
X 2 0 0
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2.2 随机过程的分类和举例 1、按参数集和状态分类 离散参数 参数 分类 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
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贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1 ， 2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
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设
P{ xn 1 }= p （第 n 次抛掷出现正面的概率） P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 x i 、 xk ( i k 时)是相互独立的随机变量。
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
X (n) A cos(0n )
设{ X (t ),t T }是随机过程，则当t固定时，X (t ) 定 义 是一个随机变量，称之为{ X (t ),t T }在t时刻的状 2 态。随机变量X (t )(t固定,t T )所有可能的取值构成 的集合，称为随机过程的状态空间，记为S。
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接收机噪声
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t1
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电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数
一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t[0，24]。
研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t=1，2，… 随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2 , 时的概率密度。 3 0 2 0
解、 由X(0)=Y可知 f X ( x,0)
1 2
e
x2 2
2 1 X 3 2Y 0
由上可得：
2 f X ( x, ) f Y ( y) J 3 0
y 2 x
J 2
2 2 2 x 2 f X ( x, ) e 3 0
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•按概率分布分类
高斯随机过程
瑞利随机过程 对数正态随机过程
•按统计特性分类
平稳随机过程 非平稳随机过程
•按样本函数形式分类
确定随机过程 不确定随机过程
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在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时 间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随 机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来
随机 过程
每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观 测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。
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实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
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F (ti1 , ti2 ,
tin ; xi1 , xi2 ,
相容性
设m n,则 F (t1 , t2 , , tm ; x1 , x2 , F (t1 , t2 ,
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, xm ) , tn ; x1, x2 , , xm , , , )
, tm , tm1 ,
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对于每一个 0 ， X (t ) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t ) 的变化“过程” 。
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随机过程X(t,ω)四种不同情况下的意义：
•当t固定，ω固定时，X(t) 是一个确定值； •当t固定，ω可变时， X(t) 是一个随机变量；
说明1
参数集T在实际问题中，常常指的是时间参 数，但有时也用其它物理量作为参数集。
说明2 因为
随机过程{ X (t ) ， t T }是一个二元函数
对于每一个固定的时刻 t 0 T ，X (t0 ) 是一个随机变量，
并称作随机过程 X (t ) 在 t t 0 时的一个状态，
它反映了 X (t ) 的“随机”性；
随机过程n维特征函数的定义
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 , tn T，X (t1 ), X (t2 ), tn ; x1 , x2 ,

, X (tn )是n个随机变量，称 un X (tn ))]} un X (tn ))] xn ) , n, j 1
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1、随机过程的定义
定义1 设（, F , P）为一概率空间，T 是一个实的参数集，
定义在和T 上的二元函数X (，t )，如果对于任意固定 的t T，X ( ,t )是（, F , P）上的随机变量，则称： { X ( ,t ), , t T } 为该概率空间上的随机过程，简记为{ X (t ),t T }。