２０１２年９月　第３６卷第５期　安徽大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ　２０１２　ＶｏＩ＿３６　Ｎｏ．５　

Ｔ－－ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｐｌｉｔ－－ｓｔｅｐ　

ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｅｌａｙ　ｂａｃｋｗａｒｄ　Ｅｕｌｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＷＡＮＧ　Ｑｉ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０００６，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔ—ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｐｌｉｔ－ｓｔｅｐ　ｂａｃｋｗａｒｄ　Ｅｕｌｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗａｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｆｏｒ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　

ｄｅｌａｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｍｕｈｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ　ｎｏｉｓｅ．Ｂｙ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，　

ｗｈｉｃｈ　ｗａｓ　ｔｈｅ　ｏｕｔｃｏｍｅ　ｏｆ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ　ｄｒｉｖｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｔｏ　ａ　

ｔｅｓｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｔ－ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｐｌｉｔ－ｓｔｅｐ　ｂａｃｋｗａｒｄ　Ｅｕｌｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ　

ｗｅｒｅ　ｇｉｖｅｎ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｄｅｌａｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｅｕｌｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ；　

Ｔ—ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｄｒｉｖｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　

ＣＬＣ　ｎｕｍｂｅｒ：０２４１．８１　Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ｃｏｄｅ：Ａ　Ａｒｔｉｃｌｅ　ＩＤ：１０００—２１６２（２０１２）０５—００２６—０５　

随机延迟微分方程分裂向后欧拉方法的Ｔ一稳定性　

王　琦　

（广东工业大学应用数学学院，广东广州５１０００６）　

摘要：研究带有乘性噪声的线性随机延迟微分方程分裂向后欧拉方法的Ｔ一稳定性，将带有特定驱动过程的数值方　法应用于试验方程，通过对所得到的差分格式的分析，得到分裂向后欧拉方法Ｔ一稳定的充分条件．　关键词：随机微分方程；延迟微分方程；欧拉方法；Ｔ一稳定性；驱动过程　

０　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　

Ｉｎ　ａ　ｖａｒｉｅｔｙ　ｏｆ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ａｒｅａｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，ｂｉｏｌｏｇｙ，ｍｅｄｉｃｉｎｅ，ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｅｌａｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ＳＤＤＥｓ）ｐｌａｙ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｒｏｌｅ．Ｔｈｅ　ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ＳＤＤＥｓ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　Ｍａｏ［　，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ＳＤＤＥｓ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　Ｌｉｕ　ａｎｄ　Ｘｉａ［　．　Ｉｎ　ｇｅｎｅｒａｌ，ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｃａｎ　ｈａｒｄｌｙ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｆｏｒ　ＳＤＤＥｓ．Ｔｈｕｓ，ｉｔ　ｉｓ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｔｏ　ｄｅｖｅｌｏｐ　

Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔｅ：２０１１—１１—０７　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍ：Ｓｕｐｐｏａｅｄ　ｂｙ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（１　１２０１０８４，５　１００８０８４）　Ａｕｔｈｏｒ’Ｓ　ｂｒｉｅｆ：ＷＡＮＧ　Ｑｉ（１９７８一），ｍａｌｅ，ｂｏｒｎ　ｉｎ　Ｍｉｎｇｓｈｕｉ　ｏｆ　Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，ａｓｓｏｃｉａｔｅ　ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｐｈ．Ｄ．　引文格式：王琦．随机延迟微分方程分裂向后欧拉方法的Ｔ一稳定性（英文）［Ｊ］．安徽大学学报：自然科学版，２０１２，３６　

（５）：２６—３０．

　第５期　王琦：随机延迟微分方程分裂向后欧拉方法的Ｔ－稳定性（英文）　２７　

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｃｈｅｍｅｓ．Ａｍｏｎｇ　ｔｈｅｓｅ　

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｉｓ　ａ　ｖｅｒｙ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ａｎｄ　ｈｏｔ　ｔｏｐｉｃ．Ｍｏｓｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｏｒ　

ＳＤＤＥｓ　ａｒｅ　ｆｏｃｕｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍｅａｎ—ｓｑｕａｒｅ（ＭＳ）ｓｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ　ＭＳ—ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍｉｌｓｔｅｉｎ　ｍｅｔｈｏｄ　

ｆｏｒ　ＳＤＤＥｓ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　Ｗａｎｇ　ａｎｄ　Ｚｈａｎｇ　引．Ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　ＭＳ—ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉ—ｉｍｐｌｉｃｉｔ　Ｅｕｌｅｒ　

ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａ　ｌｉｎｅａｒ　ＳＤＤＥｓ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｂｙ　Ｌｉｕ　ｅｔ　ａ１．Ｌ４］Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　ＭＳ—ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉ—ｉｍｐｌｉｃｉｔ　

Ｅｕｌｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｌｉｎｅａｒ　Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｅｌａｙ　ｉｎｔｅｇｒｏ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ＳＤＩＤＥｓ）ａｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　Ｄｉｎｇ　ｅｔ　ａ１．　

Ｗｅ　ｎｏｔｅ　ｔｈａｔ　ｆｅｗ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｆｏｕｎｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ　ｔｈａｔ　ｉｎｖｏｌｖｅ　Ｔ—ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｅｘｃｅｐｔ　

ｆｏｒ　Ｒｅｆｓ．［６—７］Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｐａｐｅｒ　ｗｉｌｌ　ｆｏｃｕｓ　ｏｎ　ｓｕｃｈ　ｔｏｐｉｃ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ　ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　

ｍａｄｅ．　

Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　Ｔ—ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｐｌｉｔ—ｓｔｅｐ　ｂａｃｋｗａｒｄ　Ｅｕｌｅｒ（ＳＳＢＥ）ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａ　ｓｃａｌａｒ　

ｔｅｓｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　

ｄｘ（ｔ）＝［ａｘ（ｔ）＋ｂｘ（ｔ一　）］ｄ　＋［ｃｘ（ｔ）＋ｄｘ（ｔ—Ｊｒ）］ｄＷ（ｔ）　（１）　

ｏｎ　ｔ≥０　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｄａｔａ　（ｔ）＝　（ｔ），ｔ∈［一　，０］．Ｗｈｅｒｅ　ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ，　＞０　ｉｓ　ａ　ｆｉｘｅｄ　ｄｅｌａｙ，　

Ｗ（ｔ）ｉｓ　ａ　ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｔａｎｄａｒｄ　Ｗｉｅｎｅｒ　ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｎｏｗ．ｗｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｌｅｍｍａ　ｗｈｉｃｈ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　

ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｓｅｃｔｉｏｎ．　

Ｌｅｍｍａ　１　Ｉｆ　ｔｈｅ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ａ，ｂ，ｃ，ｄ　ｓａｔｉｓｆｙ　

。＜一Ｉ　６　Ｉ—　１（Ｉ　ｃ　Ｉ＋ｌ　ｄ　Ｉ）　，　（２）　

ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ（１）ｉｓ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃａｌｌｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ，ｔｈａｔ　ｉｓ，Ｐ｛ｌｉｍｘ（￡，　）＝０｝＝１　ｆｏｒ　ｔ—＋∞　ａｌｌ　．　

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ　３．２　ｉｎ　Ｒｅｆ．［８］，ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｌｅｍｍａ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ．　

１　ＳＳＢＥ　ｍｅｔｈｏｄ　

Ｈｉｇｈａｍ　ｅｔ　ａ１．［　］ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｔｈｅ　ＳＳＢＥ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

（ＳＯＤＥｓ）ｆｉｒｓｔｌｙ．Ｉｎ　Ｒｅｆ．［１０］，ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒｓ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｔｈｅ　ＳＳＢＥ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｐｏｉｓｓｏｎ　ｊｕｍｐｓ．Ｔａｎ　ａｎｄ　Ｗａｎｇ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＳＳＢＥ　ｍｅｔｈｏｄ　

ｆｏｒ　ｌｉｎｅａｒ　ＳＤＩＤＥｓ．　

Ｗｅ　ｄｅｆｉｎｅ　ａ　ｍｅｓｈ　ｗｉｔｈ　ａ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｓｔｅｐｓｉｚｅ　ｈ　ｏｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　

ｍｈ（ｍ∈Ｚ　）．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ＳＳＢＥ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　

ａｎｄ　ｗｈｅｎ　≥０　［０，Ｔ］ａｎｄ　ｈ＝　Ⅳ，ｔ　＝ｎｈ．Ｗｅ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ｒ＝　

（１）ｂｙ　Ｘ　＝　（ｋｈ）ｗｈｅｎ　ｋ＝一ｍ，一ｍ＋１，…，０　

『Ｘｋ　＝Ｘ　＋ｈ（ａＸ［＋ｂＸ　一　＋１），　

ＬＸ…＝Ｘｋ　十（ｃＸｋ　＋ｄＸｋ一　＋１）ａ　，　ｗｈｅｒｅＸ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆｘ（ｔ　）ｗｉｔｈ　ｔ＾＝ｋｈ，ｔｈｅ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔｓ△　：＝Ｗ（ｔ　）一　

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｎ（０，ｈ）一ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｉｆ　１一ｈａ≠０．ｗｅ　ｃａｎ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　

｛　，ｋ≥０｝ａｎｄ｛Ｘ　，ｋ≥１｝ｂｙ（３）．Ｗｅ　ｓｅｔ　（ｋ）＝　（￡一　）ｆｏｒ　ｋ∈｛０，１，…，ｍ｝．　

２　Ｔ－ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　（３）　

Ｗ（ｔ　）ａｒｅ　

ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ　

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　１　Ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｔｅｓｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（１）ｉｓ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃａｌｌｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ．　

Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｃｈｅｍｅ　ｅｑｕｉｐｐｅｄ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ　ｄｒｉｖｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　Ｔ—ｓｔａｂｌｅ　ｉｆ　ｌｉｍ　Ｉ　Ｘ　Ｉ＝０　ｈｏｌｄｓ　ｆｏｒ　

ｔｈｅ　ｄｒｉｖｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ．　

Ｔｈｅ　ｓｏ　ｃａｌｌｅｄ　ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ　ｄｒｉｖｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｓ　ｔｏ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ａ　ｂｙ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ　

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ。ｗｅ　ｔｒｅａｔ　ｔｈｅ　ＳＳＢＥ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｔｈｅ　ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ　

△　ｉｓ　ｔａｋｅｎ　ａｓ　√　ｗｈｏｓｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　Ｐ｛Ｕｋ＝±１｝＝１／２．