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20082009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业
光电子方向量子力学试题（A卷）

（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）
计分人： 复查人：

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
得分 评卷人

1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：
E = h, p = /h 。

3．根据波函数的统计解释，dxtx2),(的物理意义为： 粒子在x—dx范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符xp的对易关系为：,xpi 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量
F所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： tEinnextx)(),(。
8．一个力学量A为守恒量的条件是：A不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函
数是_ 反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_ 对称的 _。
10．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 。

题号 一 二 三 总分
得分
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二、证明题：（每题10分，共20分）
得分 评卷人

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
证明：

2、（10分）由Schrödinger 方程
证明几率守恒： 。
其中几率密度
几率流密度 。
2|),(|),(),(),(trtrtrtr


2
2
(,)[()](,)2irtVrrtt








zyx
LiLLˆ]ˆ,ˆ[
0J
t




][2iJ

]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[zxyzyxpxpzpzpyLL
]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[zxyzxzpxpzpzpxpzpy
]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy
]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxzpxpzpzpy

yzzyzxxz
ppxzpxpzppzypzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[

yzxz
ppxzpzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[

yzyzxzxz
ppxzppzxpzpyppyzˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[

yx
pixpiyˆ)(ˆ)(
]ˆˆ[xypypxi

z
Li
ˆ

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证明：考虑 Schrödinger 方程及其共轭式：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
三、计算题：（共40分）
得分 评卷人
1、
（10分）设氢原子处于状态

),()(23),()(21),,(11211021YrRYrRr
求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值
2222
2
2
82ssen

e
E
)2(n

，几率为1

2
2
[](1)2iVt






2
2[](2)2iVt









(1)(2)将式得：

][2222titi

][22）（ti



dddtdi][22







）（



diddtd][2）（



dJdtrdtd),(

0J
t



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角动量平方有确定值为
222
2)1(L
)1(

，几率为1

角动量Z分量的可能值为
01ZL2ZL
其相应的几率分别为

41， 4
3

2、（10分）求角动量z分量 的本征值和本征函数。
解：

波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：

求归一化系数
最后，得 Lz的本征函数

ˆ
z

d

Lid









2
1
12||2202220cc
dc
d

归一化系数。
是积分常数，亦可看成其中解得：c
celddiLzilzz)(
)()()(
ˆ
)2()(
)2(zizill
cece


12zile




,2,1,022mmlz于是

,2,1,0mml
z
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3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：
设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似。
解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：

H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：
E1(0) = 1
E2(0) = 3
E3(0) = -2

由非简并微扰公式

得能量一级修正：








cccHH000000200
030
001

0

(1)
2
(2)

(0)(0)

||nnnknnknnkEHH

EEE







(1)
111

(1)
222

(1)
333

00EHEHEHc



















2000301c
ccH



,2,1,021)(m
e

ml

im
m

z



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能量二级修正为：

二级近似下能量本征值为：
221)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(
1

||||||cEEHEEHEEH

Ekknk




221)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(
2

||||||cEEHEEHEEH

Ekknk




0||||||)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3EEHEEHEEHE
k
k

nk









cEcEcE2
3
1

3
2
2
1

2

2
2
1

1