图像频率-再认识
那些是高频， 那些是低频？
频率分量与图像空间特征的联系
•变化最慢的频率成分（U=V=0），对应一幅图像的 平均灰度级
•当从变换的原点（频谱图的中心点）移开时，低 频对应着图像的慢变化分量，如图像的平滑部分。 •当进一步远离原点时，较高的频率对应图像中变 化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分。
u v
理想低通滤波器-示例
理想低通滤波器-示例
振铃现象
振环中心分量的半径及其他同心分量的数目与ILPF的 截止频率成反比。 滤波器截止频率越小，即越狭窄，则振铃现象越严重。
Butterworth低通滤波器(BLPF)
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个 公式)。当阶数为1时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大 于2时较严重。
傅里叶
•1768年生于法国 •1807年提出“任何周期信 号都可用正弦函数级数表示” •1829年狄里赫利第一个给 出收敛条件 •拉格朗日反对发表 •1822年首次发表在“热的 分析理论” 一书中
傅里叶的两个观点
•“周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”
•“非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示”
什么是频率域处理
•含义：
– 狭义：频域增强指在图像的频率域内，对图像 的变换系数（频率成分）直接进行运算，然后 通过Fourier逆变换以获得图像的增强效果。 – 广义：利用变换域进行处理均可称为频率域处 理。
为何要在频率域处理
•与空间域处理的互补性，可以利用频率成分和图 像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的 增强任务，在频率域中变得非常普通； •滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波 的某些性质；
3.对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和
4.位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两 个函数：f(m,n)和h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。 f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v); f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
大纲
•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释
•频率产生的问题
•频域处理的方法 •频域与空间域处理的联系 •各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
频率产生的问题
图像采样中混叠效应的演示。(a)图像中的混叠几乎可以忽略(b)通 过像素删除的方法把图像缩小到原来的一半，混叠效果比较明显。 (c)先对图像做均值滤波，然后再缩放，得到的图像比(b)图要模糊 一些，但是混叠效应就不那么令人讨厌了。
– 对应到图像直观理解：图像均可表示为正 弦条纹图像的叠加；其中粗大的条纹代表 图像中的整体结构，而稠密的细条纹代表 图像的细节部分。
傅里叶的思想
下面的函数是 由上面四个函 数相加得来的。 傅立叶在1807 年提出的周期 函数可以表示 成一系列正弦 函数和余弦函 数的加权和的 思想在当时受 到了大家的质 疑。
理想低通滤波器
1. 理想低通滤波器(ILPF)
1,if D(u, v) D0 设置中心区域为0，保留 H (u, v) 其他部分不变 0, if D ( u , v ) D 0
其中，D0是一个具体的非负值，叫截止频率，D是频率矩 形平面上的点到频率原点(M/2, N/2)的欧氏距离：司 2012.3.26
大纲
•导引-为何要在频率域处理
•傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题 •频域处理的方法 •频域与空间域处理的联系 •各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
导引
•频率域处理很重要!?
• 尽管前面已经着重讲述了图像增强的空间技术，但如 果不了解图像处理中如何应用傅里叶变换(Fourier Transform)和频域的基本知识，要彻底地理解图像增 强是不太可能的。 • 频率域处理有时比空间域方便得多 • 频率域处理可以解决很多空间域无法解决的问题:模式 噪声问题\同态滤波 • 有很强的理论基础 • 快速\方便 • 是很多高级或复杂算法的基础
傅里叶变换
快速傅里叶变换（FFT）：1950年提出出现适用 于电脑运行的快速傅里叶变换算法（FFT） 二维离散傅里叶变换对
f ( x, y ) F (u.v) 1 M 1 N 1 ux vy 正变换 F ( u , v ) f ( x , y ) exp j 2 ( ) MN x 0 y 0 M N u 0,1, 2, , M 1 v 0,1, 2, , N 1 M 1 N 1 ux vy 反变换 f ( x, y ) F (u, v) exp j 2 ( ) M N u 0 v 0 x 0,1, 2, , M 1 y 0,1, 2, , N 1
大纲
•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题 •频域处理的方法
•频域与空间域处理的联系
•各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
频域与空域处理的比较
•1. 对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y), H(u,v)，频域计算(由于FFT)往往更有效(尤其是图像 尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小的模板 就能解决的问题，则往往在空域中直接操作。
特点：被低通滤波的图像相对原始图像缺少尖 锐的细节部分而突出平滑过渡的部分 对应于空间域的平滑处理：如邻域均值处理
理想低通滤波器
•理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中 可以仿真实现，但可以帮助我们理解滤波器的行为 和特征。为研究其行为与截止频率的关系，可以采 用求百分功率的办法： =100[ P(u, v) / PT ]
Butterworth低通滤波器(BLPF)
Butterworth低通滤波器(BLPF)
Butterworth低通滤波器(BLPF)
Gaussian低通滤波器(GLPF)
H (u, v) e
H (u, v) e
D2 (u ,v )/ 2 2
如令＝D0,将可以表示成如下更熟悉的形式：
频域处理的步骤
•为使变换后的图像处于频域的中心，首先把输入 图像乘(－1)x+y
1.计算经过第1步中心化处理后图像的DFT,即F(u,v)
2.把F(u,v)与滤波器传递函数H(u,v)相乘
3.对第3步的结果计算逆DFT
4.取第4步结果的实部
5.用(－1)x+y第5步的结果以还原滤波后图像的中心 点到左上角。
频域处理的类型与低通
•按功能分：高通、低通、带通、带阻和陷波器等。 •按方法常用的有：高斯、Butterworth等，此外还 有梯形、指数等。
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•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题 •频域处理的方法 •频域与空间域处理的联系
•各种频域滤波器
•同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
•2. 频域滤波虽然更直接，但如果可以使用较小的 滤波器，还是在空域计算为好。 因为省去了计算 傅立叶变换及反变换等步骤。 •3. 由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为 空域滤波器设计的向导。
频域与空域处理的比较
例：高斯滤波器（为易懂性和简单性，这里仅用一维的 情况说明） 低通：H (u) Ae 高通： H (u ) Ae
图像频率-再认识
基本属性：
•所谓频域，就是由图像f(x,y)的二维傅立叶变换和 相应的频率变量(u,v)的值所组成的空间。在空间域 图像强度的变化模式（或规律）可以直接在该空间 得到反应。F(0,0)是频域中的原点，反应图像的平 均灰度级，即图像中的直流成分；低频反映图像灰 度发生缓慢变化的部分；而高频对应图像中灰度发 生更快速变化的部分，如边缘、噪声等。但频域不 能反应图像的空间信息。
u2 / 2 2
;h( x) 2 Ae
be
2 u 2 / 2 2
2 2 x2
2 u 2 / 21
; A > Band 1 2
2 2 2 2 x
h( x) 2 1 Ae
2 2 21 x
2 2 Be
频域与空域处理的对应关系
频域处理与空域处理的联系
•卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积 定理：
1 f ( x, y ) h( x, y ) MN •基本计算过程：
M 1 N 1 m0 n 0
f (m, n)h( x m, y n)
1.取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 2.对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n)
什么是频率域处理
•频域增强指在图像的频率域内，对图像的变换系 数（频率成分）直接进行运算，然后通过Fourier逆 变换以获得图像的增强效果。
•一般来说，图像的边缘和噪声对应Fourier变换中的高频部 分，所以低通滤波能够平滑图像、去除噪声。 •图像灰度发生剧变的部分与频谱的高频分量对应，所以采 用高频滤波器衰减或抑制低频分量，能够对图像进行锐化 处理。 •注意本章各种增强技术与空域技术之间的对应和并行性。
频率产生的问题
一幅新闻稿图 像和它的局部 放大图像，显 示了网格点如 何排列来绘制 灰色阴影。
大纲
•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题
•频域处理的方法
•频域与空间域处理的联系 •各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
频域处理的基础
频域处理的步骤
2 D2 (u ,v )/ 2 D0
这里，在截止频率处，H(u, v)下降到最大值的0.607倍。 GLPF没有振铃现象，但与阶数为2的BLPF相比，其通带要宽些， 这样对应的空间滤波器的灰度级轮廓更窄些，因而平滑效果要 差些。 以上三种滤波器，振铃现象从严重到无，但平滑效果从好到差， BPLF可以看成ILPF和BLPF的过渡，阶为1时与GPLF差不多， 阶越高越接近BPLG.