本科生毕业论文(设计)

题 目：

对角占优矩阵的性质及其应用

学生姓名： 付 艳

学 号： ************

指导教师： * * *

专业班级： 数学与应用数学

完成时间： 2012年5月 目 录

0引言……………………………………………………………………………1

1主要结果……………………………………………………………………2

1.1 对角占优矩阵奇异性………………………………………………2

1.2对角占优矩阵行列式………………………………………………3

1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性……………………………………4

1.4对角占优矩阵其他相关性质……………………………………………5

1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用………………………9

1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用………11结论………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………14

致谢……………………………………………………………………………15

对角占优矩阵的性质及其应用

1

对角占优矩阵的性质及其应用

数学与应用数学专业学生：付艳

指导教师：邹庆云

摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若

干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究

对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。本文主要研究了对角占优矩阵的

奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在

利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU分解等方面的应用。

关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。

Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominant

concepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and

diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict

diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of

some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity,

the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant,

while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations,

as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application.

Keywords：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant;

eigenvalue.

0 引言

各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们

在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优

矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质 对角占优矩阵的性质及其应用

2 及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。

定义1 若A是nn矩阵，且满足iiijjiaa ()iiijjiaa（1,2,,in…），则称A为

对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。

定义2 设n阶矩阵,ijAa当1n时，若A的惟一的元素不为0，则称A为不可约，否

则称为可约；当2n时，把正整数1,2,,n…的全体记为N，若存在一个非空集合K，

它是N的真子集合（即KN,但K≠N）使0ija,当ik,jk.则称A为可约矩阵，否则

称为不可约矩阵。

定义3 设n阶矩阵()ijijAa满足下面三个条件：

（1）A为对角占优矩阵，

（2）A为不可约矩阵，

（3）严格不等式iiijjiaa至少对一个下标iN成立，

则称A为不可约对角占优矩阵。

1 主要结果

1.1 关于对角占优矩阵奇异性研究

定理1 A为严格对角占优矩阵，则A为非奇异。

证明:用反证法。假设有非零向量12(,,)nxxxx…，满足

10,1,2,nijjjaxi…,n,

则存在正整数k≤n,使得1max0kjjnxx且

1,njkkkjjjkkxaax

由此得

1,1,nnjkkkjkjjjkjjkkxaaax 对角占优矩阵的性质及其应用

3 这与A严格对角占优的性质矛盾。

定理2若矩阵A为不可约按行（或列）对角占优矩阵，则A非奇异。

证明：仅考虑结论对不可约按行对角占优矩阵成立。

设矩阵A为不可约按行对角占优矩阵，如果A奇异，则存在非零向量x，使得0Ax，

记|,iIixx显然0x且I非空，则

1,1,1,,nnniiiiiijjijjijjjijjijjiaxaxaxaxaxiI （1）

如果1,2,INn…，，则

1,,1,2,,niiijjjkaain…，

与对角占有性矛盾。

如果IN，令/JNI，则J非空，且

,IJNIJ

由对角占优性以及（1）

1,1,,,nnijijjjjijjiaxaxiI

即

1,0,.nijjjjiaxxiI

当jI即jJ时jxx，故由上式立即得到0ija，因此

0,ijaJ，iI,j

与矩阵A不可约矛盾。证毕。

1.2 关于对角占优矩阵行列式的研究

定理3设nnijAaR是（行或列）严格对角占优矩阵，则detA和A的主对角元素之

积

1122nnaaa 对角占优矩阵的性质及其应用

4 同号。而且，当A是行严格对角占优时，

1detniiijjiiAaa。

当A是列严格对角占优时，

1detnjjijijjAaa。

证明:由假设知

0,1,2,,iiain…。

记

sgn,1,2,,;,nniiiiijainBaR…

于是

12detAdetBn…。

注意到B的对角元素是正实数：

0,1,2,,.iiiiiaain…

则B的所有特征值具有正实部。这样，由于B是实的，复特征值必共轭成对出现，其积是正实数，而实特征值必为正实数，从而detB—等于B的所有特征值（按代数重数计）之积—必大于零。因此有

121122sgndetsgnnnnAaaa……，证毕。

1.3 关于对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性的研究

定理4设nnijAaR是行严格对角占优矩阵，则1A是列元素严格对角占优矩阵。

证明:由于A对角占优，则A可逆。令

1,ijijAaAα

则

det()1,,1,2,,detijijijAijnAα… 对角占优矩阵的性质及其应用

5 因此，只须证明

detdet,1,2,,.iiijAAin…

不失一般性，为了方便，取1,2.ij

从而我们可得知

11det0.B

注意到

11111212detdet,detdet.BABA

为了完成定理的证明，只须证明

1112detdet0.BB

事实上，

2222232222122322332333333313333311122313detdetdetdetnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaBBaaaaaa……………………………………

22221223223323133333213detnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa…………………

此式中最后的行列式是正的，因为其矩阵是行严格对角占优且对角元素全大于零，证毕。

1.4 对角占优矩阵其他相关性质

定理5设nnijAaC行严格对角占优矩阵，则对于任何nnijBbC成立

1111,max.nijjniniiijjjibABaa