󰀁试验研究现代制造工程2008年第3期

6/6󰀁SPS型Stewart并联机构运动学正解的研究*

周辉,曹毅

(江南大学机械工程学院,无锡214122)

摘要:对具有半对称结构的6/6󰀁SPS型Stewart并联机构的运动学正解进行了研究。建立了一类具有半对称结构的6/6󰀁

SPS型Stewart并联机构运动学正解的数学模型,构造了一个关于该并联机构动平台位置参数及姿态参数的多元多项式

方程组。基于该方程组并采用Mathematica符号计算软件,编制了基于Mathematica语言的6/6󰀁SPS型Stewart并联机构

运动学正解的求解程序,计算结果表明,对于任意给定的该并联机构的结构参数以及六个驱动杆杆长,该类6/6󰀁SPS型

Stewart并联机构的运动学正解在复数域内最多有28组解析解。并联机构运动学正解的研究为该类并联机构的工作空

间分析、轨迹规划及控制奠定了重要的理论基础。

关键词:Stewart机构;运动学正解;符号计算;Mathematica软件

中图分类号:TP242.2󰀁文献标识码:A󰀁文章编号:1671󰀂3133(2008)03󰀂0001󰀂05

Directkinematicsanalysisofaspecialclassof

the6/6󰀁SPSStewartmanipulators

ZhouHu,iCaoYi

(SchoolofMechanicalEngineering,JiangnanUniversity,Wuxi214122,Jiangsu,CHN)

Abstract:Addressesthedirectkinematicsofaspecialclassofthe6/6󰀁SPSStewartmanipulatorsinwhichthemovingandbase

platformsaretwosimilarsemisymmetricalhexagons.Afterproposingamathematicalmodelofthedirectkinematicsofthisspecial

classoftheStewartmanipulators,amultivariatepolynomialequationssetinthemovingplatformpositionparametersandorienta󰀁

tionparametersisconstructedinwhichinput󰀁parametersaregeometricparametersandthelink󰀁lengthofeachlimbofthisspecial

classofthe6/6󰀁SPSStewartmanipulators.Basedonthismultivariatepolynomialequationsset,analgorithmhasbeendeveloped

inMathematicalanguageforsolvingthedirectkinematicsofthisspecialclassofthe6/6󰀁SPSStewartmanipulatorsbyutilizinga

symboliccomputationsoftwareMathematica,computationresultsfirstshowthatthemaximumnumberofthecompleteanalytical

solutiontothedirectkinematicproblemofthisspecialclassofthe6/6󰀁SPSStewartmanipulatorsisupto28inthecomplexdo󰀁

mainforanygivensetofgeometricparametersandsixgivenlink󰀁lengthsofthemanipulatorconsidered.Directkinematicanalysis

ofthisspecialclassofthe6/6󰀁SPSStewartmanipulatorspavesunderlyingtheoreticalgroundsfortheworkspaceanalysis,path

planningandcontrolofthisspecialclassofthe6/6󰀁SPSStewartmanipulators.

Keywords:Stewartmanipulator;Directkinematics;Symboliccomputation;Mathematicasoftware

0󰀁引言

Stewart平台具有承载能力强、刚度好、无积累误

差、精度高、系统动态响应快等特点[1],在飞行模拟

器、机器人、新型机床等领域得到广泛应用。机器人

运动学正解的研究在机器人机构学的研究中具有重

要的地位,特别是对并联机器人机构,运动学正解问

题一直是研究的难点和热点之一。国内外诸多学者分别采用数值法、解析法等对并联机构的运动学正解

问题进行深入细致的研究[2󰀁19]。但是,不难发现这些

研究均是针对具有特殊结构形式的并联机器人机构,

而对具有一般结构形式的6/6󰀁SPS型Stewart并联机

构的运动学正解,仅有少数学者进行了研究。

本文对具有半对称结构的6/6󰀁SPS型Stewart并

联机构的运动学正解进行了研究。建立了一类具有

半对称结构的6/6󰀁SPS型Stewart并联机构运动学正

1*国家自然科学基金资助项目(50275129);江南大学博士基金资助项目(207000-21050616)󰀁现代制造工程2008年第3期试验研究

解的数学模型,采用该并联机构的结构参数和杆长作

为输入变量,构造了一个关于该并联机构动平台位置

参数及姿态参数的多元多项式方程组。基于该方程

组并采用Mathematica符号计算软件,编制了基于

Mathematica语言的6/6󰀁SPS型Stewart并联机构运动

学正解的求解程序,计算结果表明,对于任意给定的

该并联机构的结构参数以及六个驱动杆杆长,该类6/

6󰀁SPS型Stewart并联机构的运动学正解在复数域内最

多有28组解析解。并联机构运动学正解的研究为该

类并联机构的工作空间分析、轨迹规划及控制奠定了

重要的理论基础。

1󰀁Stewart机构运动学反解的研究

图1所示是一典型的6/6󰀁SPS型Stewart并联机

构的结构示意图,该机构由上、下两个相似的半规则

的六边形B1B2B3B4B5B6以及C1C2C3C4C5C6,通过六

杆相连而成。在上平台(动平台)B1B2B3B4B5B6以及

下平台(定平台)C1C2C3C4C5C6上分别建立动坐标系

P󰀁X Y Z 和定坐标系O󰀁XYZ,其中P、O分别是上、下

图1󰀁6/6󰀁SPS型Stewart并

联机构的结构示意图平台的几何中心。上平台

的位置用几何中心P在定

坐标系O󰀁XYZ中的坐标

(x,y,z)表示,上平台的姿

态用三个Z󰀁Y󰀁Z欧拉角

(󰀁,󰀂, )表示。

该机构的结构参数如

下。上、下平台的外接圆半

径分别为Rb和Ra,长边

C1C2和B4B5所对应的中

心角均为!0。设顶点Bi(i=1,2,!,6)在动坐标系

P󰀁X Y Z 中的坐标为B i:

(B ix,B iy,B iz),顶点Bi和

Ci在定坐标系O󰀁XYZ中的

坐标分别为Bi:(Bix,Biy,

Biz)和Ci:(Cix,Ciy,Ciz)。

机构的运动学反解是指当已知机构输出构件的

位置和姿态,求解机构主动构件的位置。当给定该并

联机构动平台的位置(x,y,z)和姿态(󰀁,󰀂, ),此时该

并联机构的六个驱动杆杆长矢量li(i=1,2,!,6)可

以通过式(1)求得:

li=Bi-Ci󰀁󰀁󰀁i=1,2,!,6(1)……………

从而可以求得该类6/6󰀁SPS型Stewart并联机构

的运动学反解,式(2)中∀i表示第i个驱动杆的杆长。∀i=∀li∀=∀Bi-Ci∀󰀁i=1,2,!,6(2)……

式(2)即是该类6/6󰀁SPS型Stewart并联机构的运

动学反解的解析表达式。

2󰀁Stewart机构运动学正解的研究

机构的运动学正解是指当已知机构主动构件的

位置,求解机构输出构件的位置和姿态。当给定该并

联机构的六个驱动杆杆长∀i(i=1,2,!,6),此时机构

动平台的位置(x,y,z)和姿态(󰀁,󰀂, )理论上可以通

过式(2)求得。但进一步的研究表明,式(2)是一个关

于该并联机构动平台的位置参数(x,y,z)和姿态参数

(󰀁,󰀂, )的三角函数的非线性高耦合的高阶方程的方

程组。众所周知,由于方程组的非线性高耦合特性以

及三角函数的周期性、复杂性,式(2)很难进行数值求

解,并且数值法不仅依赖于其初值的选取,而且其解

的收敛性问题尚未得到有效的解决,因此数值法通常

很难求得该类并联机构运动学正解的全部解,也无法

确定解的最大数目。

与之相反的是,解析法可以求解出所有的解析

解,但是由于计算量大,而且其计算复杂,以前很难真

正实施。符号计算理论的提出及发展为解析法的实

施提供了坚实的理论基础,它既能解决数值问题,又

能进行公式推导和符号运算,因此利用解析法来求解

并联机器人机构的运动学正解将是一种行之有效的

方法。基于Mathematica符号计算软件的强大符号运

算功能,本文将采用解析法来研究该类6/6󰀁SPS型

Stewart并联机构的运动学正解。

2󰀂1󰀁数学模型的建立

基于文献[20]提出的结论,刚体在三维空间中的

姿态总可以用一个单位正交矩阵来描述。因此,引入

一个单位正交矩阵[T]来描述该并联机构动平台的姿

态,也即该并联机构动平台相对于定平台的方向余

弦。此时机构动平台上的各顶点Bi(i=1,2,!,6)在

动坐标系P󰀁X Y Z 中的坐标B i及其在定坐标系

O󰀁XYZ中的坐标Bi两者满足下式:Bix

BiyBiz=[T

]B ixB iyB iz+P󰀁󰀁i=1,2,!,6(3)……

[T]=[u󰀁v󰀁u#v]=u1󰀁v1󰀁u2v3-u3v2u2󰀁v2󰀁u3v1-u1v3

u3󰀁v3󰀁u1v2-u2v1P={x󰀁y󰀁z}T

由于矩阵[T]是一单位正交矩阵,故满足如下2