t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
<>
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
<>
体重的变化/天=△W/△t（公斤/天），
当△t→0时，它等于dW/dt。
考虑单位的匹配， 利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型
dw 5429 69w 1296 16w
dt 41868
10000
w |t0 w0
<>
16t
129616W (129616W0 ) e 10000
<>
问题
§2 传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
<>
模型1 已感染人数 (病人) i(t) 假设 • 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t) i(t)t
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
<>
模型4
SIR模型
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di i
dt i(0) i0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
i(t) i0et
ti ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
<>
模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日 为, 且使接触的健康人致病 接触率
s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0
传染病蔓延
1/ ~ 阈值
P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病不蔓延
<>
模型4 预防传染病蔓延的手段 SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
<>
模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此， 对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考 虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具 体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天） =5429（焦/天），
输出/天 = 69（焦/公斤•天）×（公斤） = 69（焦/天）。
模型
y(t)
g
(x,
y)
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型
<>
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
g bx, b rx px
n 0,甲方胜 sx=1(km2), sry=1(m2)
( y0 / x0 )2 100
0
x(t) 乙方必须10倍于甲方的兵力
<>
§4 最优捕鱼问题
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）
• 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 • 在捕捞量稳定的条件下，如何控
模型求解 用变量分离法求解，模型方程等价于
积分得
<>
从而求得模型解 就描述了此人的体重随时间变化的规律。
<>
现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗? 显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W → 81 。 我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下， W是不发生变化的。所以
这就非常直接地给出了W平衡=81。 所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平
y(t)
k 0 x 0时y 0 乙方胜
k 0
k 0
2
ka
k 0
y 0
x0
b
r x
p x
a ry py
平方律 模型
k 0 甲方胜
0
k b
x(t)
k 0 平局
<>
游击战争模型 双方都用游击部队作战
• 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加
f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率
<>
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。 试研究此人的体重随时间变化的规律。
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
<>
模型3 di i(1 i) i / di i[i (1 1 )]
dt
i
dt
di/dt
>1
i0
>1
i
1
1-1/
i0 di/dt < 0
i0
0
1-1/ 1 i
dt
si si
i
/
di
ds
1
s
1
i ss0 i0
相轨线
i(0) i0 , s(0)
相轨线 i(s)
s0
i(s)
的定义域
(s0
i
i0
)
s
1
ln
s s0
1
D {(s,i) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i(s)
的图形，进行分析
D 0
s
1
<>
模型4 相轨线 i(s) 及其分析
<>
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
x cxy
y
bx
x(0)
x, 0
y(0)
y 0
y(t)
cy 2 2bx n
n cy 2 2bx
0
0
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
n 0,乙方胜 n 0,平局
2
y0 x
0
2rx px sx rs x
y ry 0
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1,
衡值，就不必去求解微分方程了！
<>
至此，问题已基本上得以解决。 一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为： (1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、 化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检 验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射 性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分 方程模型。
<>
(3) 模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中， 许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程 是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上 去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这 个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。 本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的 建模方法。
<>
模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键 词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的 函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可 微函数，我们就能找到一个含有 dw 的微分方程。
dt
<>
模型假设 1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时 人的体重为W0。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入 是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收； 输出就是进行健身训练时的消耗。
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
m 0 x 0时y 0
y(t)
m0
m0
乙方胜
线 性
律
mc
m0
y 0
d
rs s x rx x
x0 c ry sry s y
模 型
m 0 甲方胜
0
m d
x(t) m 0 平局
SIR模型
di dt
si
i
ds dt
si
di
ds
1 1
s
i
1
i
s s0
i 0
D
i(s)
(s0
i0
)
s
1