第４５卷第３期
２０１１年９月华中师范大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＩ。ｏＦＨＵＡＺＨＯＮＧＮｏＲＭＡＬＵＮｌＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）Ｖ０１．４５Ｎｏ．３
Ｓｅｐｔ．２０１１
文章编号：１０００—１１９０（２０１１）０３—０３６６—０５
关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
左可正¨，朱小琨２，余盛利１
（１．湖北师范学院数学系，湖北黄石４３５００２；２．华中师范大学数学与统计学学院，武汉４３００７９）
摘要：研究了幂等矩阵的组合ｎ（ＰＱ）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）‘和ａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一ｃ（ＰＱ）抖１
的秩（其中口≠０，ｂ：／：Ｏ，Ｐ是幂等矩阵，Ｑ是幂等矩阵或任意矩阵）．用两种方法证明了这些组合的
几个秩等式，推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ的有关结果．作为应用，用这些秩等式给出了（ＰＱ）‘士（ＱＰ）‘和
（ＰＱＰ）‘士（ＱＰＱ）‘可逆的一些充分必要条件．
关键词：幂等矩阵；矩阵的秩；可逆性
中图分类号：０１５１．２１文献标识码：Ａ
１有关记号及预备引理
研究两个幂等矩阵的和与差及它们的组合的
性质，一直是矩阵分析的重要课题之一．在文献
［１－５－１中，作者研究了两个幂等矩阵（元）的和与差
及它们的线性组合的可逆性．很多作者研究了两
个幂等矩阵的和与差及它们的线性组合的秩、核子
空间和值域，可参看文献Ｅ６－１１］．本文用两种方
法：１）分块矩阵的初等变换，２）１个矩阵左乘、右
乘可逆矩阵其秩不变，证明了幂等矩阵的组合
ａ（Ｆ１１２）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）４和ａ（飑Ｐ）‘＋
６（ＱＰＱ）‘．一ｃ（飑）抖１（其中ａ≠０，ｂ≠０，Ｐ是幂等
矩阵，Ｑ是幂等矩阵或任意矩阵）的几个秩等式，这
些秩等式推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ［６１的有关结果．作
为应用，用这些秩等式给出了（地）‘±（ＯＡＰ）‘和
（垃Ｐ）‘±（Ｑｆ他）‘可逆的一些充分必要条件．
本文恒设Ｃ表示复数域，用Ｃ““表示Ｃ上的所
有ｍ
Ｘ，ｚ矩阵构成的Ｃ上的线性空间．若Ａ∈
Ｃ仇ד，用Ａ。，ｒ（Ａ），Ｒ（Ａ）和Ｎ（Ａ）分别表示Ａ的
共轭转置，秩，值域和核子空间．用Ｉ表示咒阶单
位矩阵，用Ｃ￡表示ｃ上的所有ｎ阶幂等矩阵组成的
集合，即ｃ｝＝｛ＡＡ∈ｃ积”，Ａ２一Ａ）．用ｚ＋表示
所有正整数组成的集合．
下面的引理１是文献［９］的重要结论．
引理１设Ｐ，Ｑ∈Ｃ：，那么下面的秩等式
成立：
收稿日期：２０１０—１２—１８．
基金项目：国家自然科学基金项目（７０８７１０５０）．
＊Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉａｎｇｚｕ０２８＠１６３．ｃｏｍ．“Ｐ—Ｑ’２ｒ（Ｑ）＋“Ｐ＇Ｑ’－－ｒ（Ｐ）一“Ｑ）’
（１）
ｒｃＰ＋Ｑ，＝ｒ（荔等）一ｒｃＱ，一ｒ（；：）一ｒｃＰ，．
（２）
下面的引理２是文献［６］的重要结果．
引理２设Ｐ，Ｑ∈Ｃ：，ｋ∈ｚ＋那么下面的秩等
式成立：
ｒ［ｃ艘，ＬｃＱＰ朋一ｒｆ｛嚣翔＋
ｒ（（艘）ｔ，（ＱＰ）ｔ）一ｒ［（恐）ｔ］二ｒ［（ＱＰ）ｔ－Ｉ，
（３）
ｒｃｃ恐，‘＋ｃＱＰ朋一ｒｆ：嚣；：‘等弘］一
（ＱＰＱ）‘］一
（ＰＱＰ）‘］．（６）誉：謇：ｏ聊ｏ＋
唧聊謇：馓聊
万方数据第３期左可正等：关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用３６７
引理３设Ｐ∈Ｃ：，Ｑ∈Ｃ棋”，是∈ｚ＋，那么下
面的秩等式成立：
ｒ
ｒ［（地）‘一（ＱＰ）‘－１一ｒ（飑）‘
（ＱＰ）‘＋
ｒ（（飑）。，（ＱＰ）‘）一ｒＬ（删）２ｊ—ｒＬ（妒）‘Ｊ，
（７）
承艘，‘＋ｃＱＰ朋一ｒｆ｛罢；：‘：弘１一
以ＱＰ朋一ｒ『｛芝；：‘等ｒ１一ｒ［ｃ璁朋．
（８）
证明老察下而的分操矩阵
的秩．
ｒ
ｒ一（艘）‘０（瑚）‘
０（ＱＰ）‘（ＱＰ）‘
（飑）‘
（ＱＰ）‘０
一方面
一（飑）‘
０
（艘）‘
一（艘）‘
Ｏ
００
（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
０
（ＱＰ）‘
Ｏ
ｒ［（．ＰＱ）‘］－ｔ－ｒ［（ＱＰ）‘］＋ｒ［（璎）。一（ＱＰ）‘］．
（９）
另一方面，注意到（地）‘Ｐ—Ｐ（ＱＰ）‘，又因为Ｐ２一
Ｐ，那么Ｐ（飑）‘＝（飑）‘，（ＱＰ）‘Ｐ一（ＱＰ）‘，从而
ｒ一（艘）‘０（飑）‘
０（ＱＰ）‘（ＱＰ）‘
（地）‘
（ＱＰ）‘０
的秩．一方面，
另一方面，ｒ，．０
Ｏ
（恐）‘
Ｏ
Ｏ
（艘）‘（恐）‘
（ＱＰ）‘
０
（怨）‘
（ＱＰ）‘
０
ｒ膨］＋ｒ（ｃ删御ｎ．㈣，
组合（９）式和（１０）式就得出了（７）式．
类似于秩等式（７）的证法，考虑下面的分
块矩阵
（飑）‘０（艘）‘
０（ＱＰ）‘（ＱＰ）‘
（艘）‘（ＱＰ）‘０
的秩可以证明（８）式．
注记１在引理３中，没有要求Ｑ是幂等矩阵，
这样引理３就推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ嘲中的秩等式
（３）和秩等式（４）．
２主要结果
本部分给出幂等矩阵的组合口（飑）‘＋６（ＱＰ）‘
一ｃＰ（ＱＰ）‘和口（瑚Ｐ）‘＋６（舛您）‘一ｃ（ＰＯ）卅的几
个秩等式．
定理１设Ｐ∈ｃ｝，Ｑ∈Ｃ积”，口，ｂ∈Ｃ＼｛０），
ｃ∈Ｃ，ｋ∈Ｚ＋，那么下面的秩等式成立：
ｒＥａ（ＰＱ）‘４－ｂ（ＱＰ）‘一护（ＱＰ）‘］一
Ｊｒ［（地）‘一（ＱＰ）门，警ｃ＿口４－６时，（１１）
１ｒ［（飑）‘＋（ＱＰ）‘］，当ｃ≠ｎ＋ｂ时．
证明用两种方法证明（１１）式．
方法１考察下面的分块矩阵
０
（ＱＰ）‘
一（ｆ一口）Ｐ（ＱＰ）‘口（艘）‘一ａＰ（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
０
（艘）‘０口（恐）‘一ａＰ（ＯＪ＇）‘
０（ＱＰ）‘（ＱＰ）‘
（艘）‘ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ一口）Ｐ（ＱＰ）‘０
ｒ（飑）‘０
０
０（ＱＰ）‘０
００～口（艘）‘一６（ＱＰ）‘＋护（ＱＰ）‘
ｒ［（璁）‘］＋ｒ［（ＱＰ）‘］－ｔ－ｒ［ｎ（艘）‘－Ｉ－６（ＱＰ）‘一ｃＡＰ（ＱＰ）‘］．
（１２）ｂ弘弘
ｐ㈣妒妒ｏ
ｏ妒Ｐ（（
（
妒｜Ｉ
ｏ
ｏ一垃一妒。
垃
Ｐ妒
，Ｌ６冰
冰飑。飑／＼
（
万方数据３６８华中师范大学学报（自然科学版）第４５卷
，－（ｅＱ）‘
０
（恐）‘
ｒ０
０
Ｉ（璎）ｔ
ｒ０
Ｏ
（ＰＱ）‘
Ｏ
Ｏ
（ＰＱ）‘Ｏ
（ＱＰ）‘
ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ—ａ）Ｐ（ＱＰ）‘
（ｆ—ａ—ｂ）Ｐ（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ—ａ）Ｐ（ＱＰ）‘
０
０
（ｅＱ）‘
Ｏ
０
（艘）‘（ｃ一口一ｂ）Ｐ（ＱＰ）‘
Ｏ
（ＱＰ）‘
（ｃ一口一ｂ）Ｐ（ＱＪＰ）‘
Ｏ
（ＱＰ）‘
（飑）“
（ＱＰ）‘
Ｏ
（飑）‘
（ＱＰ）‘
Ｏａ（ＰＱ）‘一ａｅ（Ｑｅ）‘、
（ＱＰ）‘
０
ａ（艘）‘一ａＰ（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
０
ａ（ｅＱ）‘一ａＰ（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
（ａｔ２）‘１
（ＱＰ）‘Ｉ一
０
组合（１２）式、（１３）式、（８）式和（７）式就得出
（１１）式．
方法２
因为口，ｂ∈Ｃ＼｛０），Ｐ是幂等矩阵，那么当Ｃ＝
口＋ｂ时，Ｉ—Ｃｐ是可逆矩阵．而
（Ｉ一詈。Ｐ）［口（艘）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）‘］一
一６［（地）‘一（ＱＰ）‘］，
所以，当ｃ＝ａ＋ｂ时，ｒＥａ（ＰＱ）‘＋ｂ（ＱＰ）‘一
ｃＰ（ＱＰ）‘］一ｒＥ（ＰＱ）‘一（ＱＰ）‘］．
因为当口≠０，ｂ≠０，Ｃ≠ａ＋ｂ时，有
望｛型≠一１，蚓等型≠一１，ｌ警；４－０．
ｉ丽≠一１’ｉ丽≠一１’ｉ丽；‘
又因Ｐ是幂等矩阵，从而Ｉ＋生譬Ｐ，Ｊ＋
口十Ｄ—Ｃ
生掣Ｐ都可逆．由等式
（ＰＱＰ）‘
００
（ＱＰＱ）‘（１３）
（Ｉ＋｝糟）［口（艘）‘＋６（ＱＰ）‘一
ｃＰ（ＱＰ）‘］（Ｊ＋糟）一
羔［（恐）‘＋（ＱＰ）‘］，
得出当Ｃ≠ａ＋ｂ时，ｒＥａ（１呵２）‘＋ｂ（ＱＰ）‘一
ｃＰ（ＱＰ）４］一ｒＥ（ｅＱ）６＋（ＱＰ）６］．
定理２设Ｐ，Ｑ∈ｃ：，ａ，６∈Ｃ＼｛０），ｆ∈Ｃ，ｋ
∈ｚ十，那么下面的秩等式成立：
ｒＥａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一ｃ（ｐＱ）Ｈ－１］＝
ｒｒ［（ＰＱＰ）‘一（ＱＰＱ）‘］，当ｃ一口＋ｂ时，
１ｒＥ（艘Ｐ）‘＋（０３＇Ｑ）‘］，当ｃ≠ａ＋ｂ时．
（１４）
证明用两种方法证明（１４）式．
方法１考察下面的分块矩阵
口（飑Ｐ）６一ａ（ＰＱ）ｋ＋１
（缈，Ｑ）‘
Ｉ（ＰＱＰ）‘６（ＱＰＱ）‘一（ｃ一也）（璎）抖１
０
的秩．式成立．
注意到方法２
Ｐ２＝Ｐ，Ｑ２一Ｑ，（艘Ｐ）‘＝Ｐ（ＱＰ）‘一
因为口，ｂ∈Ｃ＼｛０），Ｐ，Ｑ是幂等矩阵，那么当Ｃ
（地）‘Ｐ，（ＱＰＱ）‘
＝Ｑ（地）‘
一
（ＱＰ）‘Ｑ，
：口＋ｂ时，Ｉ—Ｃｐ是可逆矩阵．而
（ａ１２Ｐ）‘Ｑ一（恐）抖１＝Ｐ（ＱＰＱ）‘．“
用类似于证明定理１的方法１，可以证明（１４）口
：～
洋ｆ
．『凯
当㈣
㈣ｒ
｝
勉１Ｊ汨
∥州
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０
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，
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万方数据