1 经济数学基础 第一部分 微分学 一、单项选择题

1．函数1lgxxy的定义域是（ 1x 且0x）

2．若函数)(xf的定义域是[0，1]，则函数)2(xf的定义域是( ]0,( )． 3．下列各函数对中，（ xxxf22cossin)(，1)(xg）中的两个函数相等．

4．设11)(xxf，则))((xff=（ x11 ）．

5．下列函数中为奇函数的是（ 11lnxxy ）． 6．下列函数中，（)1ln(xy不是基本初等函数． 7．下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的．

8. 当x0时，下列变量中（xx21 ）是无穷大量．

9. 已知1tan)(xxxf，当（x0 ）时，)(xf为无穷小量.

10．函数sin,0(),0xxfxxkx 在x = 0处连续，则k = ( 1)． 11. 函数0,10,1)(xxxf 在x = 0处（右连续 ）． 12．曲线11xy在点（0, 1）处的切线斜率为（21 ）． 13. 曲线xysin在点(0, 0)处的切线方程为（y = x ）． 14．若函数xxf)1(，则)(xf=（21x ）． 15．若xxxfcos)(，则)(xf（xxxcossin2 ）． 16．下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（e x）． 17．下列结论正确的有（x0是f (x)的极值点 ）．

18. 设需求量q对价格p的函数为ppq23)(，则需求弹性为Ep=（pp32 ）． 二、填空题 1．函数20,105,2)(2xxxxxf的定义域是 [-5，2]

2．函数xxxf21)5ln()(的定义域是(-5, 2 ) 3．若函数52)1(2xxxf，则)(xf62x 4．设函数1)(2uuf，xxu1)(，则))2((uf43

5．设21010)(xxxf，则函数的图形关于y轴对称． 6．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q 2 2

8. xxxxsinlim 1 . 9．已知xxxfsin1)(，当 0x 时，)(xf为无穷小量．

10. 已知1111)(2xaxxxxf，若fx()在),(内连续，则a 2 . 11. 函数1()1exfx的间断点是0x 12．函数)2)(1(1)(xxxf的连续区间是 )1,(，)2,1(，),2( 13．曲线yx在点)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y 14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +) 15．已知xxf2ln)(，则])2([f= 0

16．函数yx312()的驻点是x1

17．需求量q对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为Ep2p 18．已知需求函数为pq32320，其中p为价格，则需求弹性Ep = 10pp 三、极限与微分计算题 1．解 423lim222xxxx=)2)(2()1)(2(lim2xxxxx = )2(1lim2xxx = 41

2．解：231lim21xxxx=)1)(2)(1(1lim1xxxxx =21)1)(2(1lim1xxx

3．解 0sin2lim11xxx=0(11)sin2lim(11)(11)xxxxx =xxxxx2sinlim)11(lim00=22 = 4 4．解 2343limsin(3)xxxx=3(3)(1)limsin(3)xxxx = 333limlim(1)sin(3)xxxxx= 2 5．解 )1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121xxxxxxxx 1)1tan(lim21lim11xxxxx31131

6．解 ))32)(1()23()21(lim625xxxxxx=))32)(11()213()21(lim625xxxxxx =2323)2(65 3

7．解：y(x)=)cos2(xxx=2cossin2ln2xxxxx =2cossin2ln2xxxxx 8．解 xxxxfxx1cos2sin2ln2)( 9．解 因为 5ln5sin2)cos2(5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy 所以 5ln25ln52πsin2)2π(2πcos2y

10．解 因为 )(ln)(ln3231xxy 331ln32)(ln32xxxx 所以 xxxydln32d3 11．解 因为 )(coscos5)(sine4sinxxxyx xxxxsincos5cose4sin 所以 xxxxyxd)sincos5cose(d4sin

12．解 因为 )(2ln2)(cos1332xxxyx

2ln2cos3322xxx 所以 xxxyxd)2ln2cos3(d322 13．解 )(cos)2(2sin)(22xxxyxx 2cos22ln2sin2xxxx 14．解：)5(e)(lnln3)(52xxxxyx

xxx525eln3 15．解 在方程等号两边对x求导，得 )e()e(])1ln([2xyxy

0)(e1)1ln(yxyxyxyxy

xyxyyxyyxxe1]e)1[ln( 故 ]e)1)[ln(1(e)1(xyxyxxxyxyy 16．解 对方程两边同时求导，得 0eecosyxyyyy yyyxye)e(cos

)(xy=yyxyecose. 4

17．解：方程两边对x求导，得 yxyyyee yyxye1e 当0x时，1y 所以，0ddxxyee01e11

18．解 在方程等号两边对x求导，得 )()e(])[cos(xyxy 1e]1)[sin(yyyxy )sin(1)]sin(e[yxyyxy

)sin(e)sin(1yxyxyy

故 xyxyxyyd)sin(e)sin(1d 四、应用题 1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC625.0100)(2（万元）, 求：（1）当10x时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量x为多少时，平均成本最小？

1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： xxxC625.0100)(2

625.0100)(xxxC，65.0)(xxC

所以，1851061025.0100)10(2C 5.1861025.010100)10(C， 116105.0)10(C

（2）令 025.0100)(2xxC，得20x（20x舍去） 因为20x是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20时，平均成本最小.

2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为qp100010（q为需求量，p为价格） 2．解 （1）成本函数Cq()= 60q+2000．

因为 qp100010，即pq100110，

所以 收入函数Rq()=pq=(100110q)q=1001102qq． （2）因为利润函数Lq()=Rq()-Cq() =1001102qq-(60q+2000) = 40q-1102q-2000 且 Lq()=(40q-1102q-2000)=40- 0.2q 5

令Lq()= 0，即40- 0.2q= 0，得q= 200，它是Lq()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q= 200是利润函数Lq()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数pq42000，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 3．解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 )(pL=2400 – 8p = 0

得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. （2）最大利润 1100025000030043002400)300(2L（元）．

4．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？ 4．解 （1）由已知201.014)01.014(qqqqqpR 利润函数22202.0201001.042001.014qqqqqqCRL 则qL04.010，令004.010qL，解出唯一驻点250q. 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为 1230125020250025002.02025010)250(2L（元） 5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.0)(2qqqC（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 5. 解 因为 Cq()=Cqq()=05369800.qq （q0）

Cq()=(.)05369800qq=0598002.q 令Cq()=0，即0598002.q=0，得q1=140，q2= -140（舍去）. q1=140是Cq()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.