摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx 则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx.二．换元积分法的定理如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x).做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.如果⎰f(u)du可以积出，则不定积分⎰g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。

第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分⎰f[ϕ(x) ϕ’(x)dx 化为⎰f(u)du.但有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰f(x)dx 化为⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t).在求出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1-(X)带回去，这就是第二类换元法。

即⎰f(x)dx={⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt})(1X t -=ϕ.为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=ϕ1-（x ）存在的条件，给出下面的定理。

定理2 设x=ϕ(t)是单调，可导的函数，并且ϕ‘（t ）≠0.又设f[ϕ(t)] ϕ’(t)具有原函数F （t ）,则⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt=F(t)+C=F[ϕ1-(x)]+C其中ϕ1-（x ）是x=ϕ（t ）的反函数。

三．常用积分公式 1 基本积分公式（1）⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）⎰x udx=1u x 1u +++C(u ≠-1);（3）⎰x dx =ln x +C ； （4）⎰2x 1dx +=arctanx+C; (5)⎰2x1dx -=arcsinx+C; (6)⎰cosxdx=sinx+C;(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8)⎰x2cos dx =⎰sec 2xdx=tanx+C; (9)⎰xdx 2sin =⎰csc 2xdx=-cotx+C; (10) ⎰secxtanxdx=secx+C; (11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x+C; (13) ⎰a xdx= e x+C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-ln cosx +C; (17)⎰cotxdx=ln sinx +C; (18)⎰secxdx=ln tanx secx ++C;(19)cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)⎰22x a dx +=ax x ln a 1+-a +C; (21)⎰22x a dx -=arcsinax+C; (22) ⎰22x a dx +=ln(x+22a x ++C;(23)⎰22a x dx -=ln 22a x x -++C.2.凑微分基本类型四．解不定积分的基本方法四．求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。

（这就不多说了~）2.第一类换元法。

（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。

则C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

如例1、例2： 例1：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++4.分部积分法.公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。

具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx xx x ⎰-⋅231arccos【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则=-=-=-⎰⎰⎰tdt t dt t t tt dx x x x 3323cos )sin (sin cos 1arccosC x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(313291cos 91cos 32sin sin 31cos )1sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332例4：⎰xdx 2arcsin 【解】⎰⎰--=dxx xx x x xdx 22211arcsin 2sin arcsinCx x x x x dx xx x x x x x xd x x +--+=----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x x e x P x x x ax ax e x P axm ax m ======将以上规律化成一个图就是：但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。

对于（3）情况，有两个通用公式：Cbx b bx a b a e dx bx e I C bx b bx a ba e dx bx e I ax axaxax+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2222215.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分 有理函数)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)()(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。

（对各部分分式的处理可能会比较复杂。

出现⎰+=nn x a dxI )(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2----++-=n n n I n a n a x n a x I ）例5：dx x x x x x ⎰+--+223246)1(24 【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22322)1(241++-+x x x x x2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211x dx x x x xdx x x x dx x x x Cx dx x x =++=++=++++=+⎰⎰⎰⎰μC x x C d d d ++-=+-+=+-=+-+=++⎰⎰⎰)1(1111))1(11()1()1()1(122222222222μμμμμμμμμμμμμμ故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=2tan 12tan 1cos 2tan 12tan 2sin 222x xx x x x 化为有理函数可用变换2tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =⎰的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成xxx x sin cos cos sin 或。