时延多智能体系统的编队控制*
杨洪勇，李晓
鲁东大学计算机科学与技术学院，烟台，264025
摘要：本文研究了一类移动多智能体系统的二阶编队控制算法。假设多智能体网络拓扑
是有向连通图且具有一个全局可达节点，多智能体之间信息传输存在通信时延，信息处理存
在输入时延。应用矩阵理论、广义Nyquist判据、Greshgorin圆盘定理，研究了多智能体运
动系统的编队控制，得到了保证系统编队收敛的分散式条件。最后应用计算机仿真验证了结
论的有效性。
关键词：多智能体；二阶系统；不同时延；编队控制
Formation Control of Multi-Agent with Diverse Delays
Yang Hong-yong， Li Xiao
School of Computer Science and Technology, Ludong University, Yantai 264025, China
E-mail: hyyang@yeah.net
Abstract: In this paper, a formation control algorithm of second-order multi-agent systems is
studied. With the hypothesis of directed interconnected graph with a globally reachable node, the
formation control algorithm with the communication delays and input delays is analyzed. By
applying matrix theories, generalized Nyquist criterion, and Greshgorin disc theorem of the curve,
decentralized conditions to ensure the formation control of the delayed systems are presented.
Finally, the validities of the results are shown by computer simulation.
Keywords: multi-agent; second-order system; diverse delays; formation control
1 引言
群体行为是自然界中常见的现象，典型的例子如迁徙鸟群编队、巡游鱼群结队、觅食蚁
群协作等。这种集体合作能够使得生物群体在觅食生存、逃避天敌等方面获得单独个体难以
实现的优势，完成复杂的、有一定目的或功能性的活动。探讨群体合作行为的机制和规律对
于理解自然和社会中的复杂现象具有重要的意义，同时也为不断出现和发展的新技术、新应
用，如多移动机器人系统、无人驾驶机/车群系统、分布式传感器阵列等复杂系统的智能自
主协调控制等，提供必要的理论支持。
编队控制是群体行为动力学中研究比较多地问题。在一个多智能体系统中，所有智能体
的状态或者速度最终能够收敛到某一目标，我们称为编队控制问题。近年来，由于多智能体
系统的广泛应用以及协调合作控制问题的深入研究，编队控制问题的研究发展迅速，无论在
理论还是应用上都取得了丰硕的成果。基于Reynolds提出的模仿动物集结的计算机模型[1]，
Vicsek等人[2]从统计力学的角度首次提出了一个非平衡多智能体系统模型，仿真发现系统所
*
基金项目：国家自然科学基金项目（No.60875039）.
作者简介：杨洪勇，男，博士，教授，主要从事网络拥塞控制、复杂网络与复杂系统、多智能体协调控制
等领域的研究. 有个体在一定条件下可以按照相同方向飞行。Jadbabaie等人[3]对Vicsek 模型线性化后从理
论上研究了该模型的角度一致性问题，Savkin考虑了相同的线性化模型[4]，采用最近邻规则，
指出邻居图的无穷次连通可保证系统的同步，最近刘志新和郭雷研究了原始Vicsek模型[5]，
给出了一个根据系统参数保证Vicsek模型同步的充分条件。Moreau[6]和Ren等[7]将文献[3]
的结果推广到有向网络,得到了类似的收敛性结果。Lin等[8]采用循环追逐策略使多智能体收
敛到其质心。Xiao等[9] 提出一种分布式快速线性迭代算法来解决多智能体平均一致性问题,
并用内点算法解决快速分布式线性迭代问题。Olfat等[10]考虑了具有切换拓扑的有向网络及
具有固定拓扑的无向时滞网络的平均一致性问题。Fax & Murray[11]基于合作构架，应用图
论和矩阵理论解决了基于位置协调控制的收敛问题。现在编队控制问题已经被广泛应用于传
感器网络、飞行器高度调整、卫星编队、个体汇聚等领域[12-15]。
具有通信时延的多智能体系统的编队控制问题，由于时延的存在，使得该类问题的分析
遇到很大的困难。假设网络系统具有固定无向连通图，文献[10,16]考虑了具有相同时延的多
智能系统一阶算法的一致性，文献[17,19,20]分析了不同时延的多智能体系统一阶算法的一
致性。文献[18]研究了不同时延的离散时间多智能体系统的一致性。这些工作主要是对一阶
编队控制算法进行研究，但是对于具有时延的多智能体系统的二阶算法的编队控制的研究很
少。对于有向网络图中的时延多智能体系统的运动分析更是鲜有报道。
本文研究一类多智能体系统的二阶编队控制算法，假设智能体系统网络拓扑是有向连通
图，具有一个全局可达节点；智能体之间信息传输存在通信时延，信息处理存在输入时延。
本文应用多变量广义Nyquist判据和曲线的曲率理论，研究具有不同时延的移动多智能体系
统的编队控制问题。
2 问题描述
令},,{AEVG=
表示一个有向加权图，其中},,{
1nvvVL=
表示具有n个节点的集合，
它的边集合VVE×⊆
。节点的下标集合},,2,1{nIL=
，邻接矩阵][
ijaA=
，其中矩阵元
素0≥
ija
表示节点i到节点j的连接权重，如果节点i可以得到节点j的信息，则0>
ija
，
否则，0=
ija
。
假设网络内部不存在节点自连，也就是，0=
iia。定义节点i的邻居集合为
}0:{>=
ijiajN
，矩阵},,1,{niddiagD
iL==
，∑
==n
jijiad
1为矩阵A的第i行元素的和（称为节点i的出度），则矩阵ADL−=
为图G的Laplace矩阵。假设对于两个节点i，j，
存在下标集合},,{
1lkkL
，满足0
1>
ika
，0
21>
kka
，…，0>
jk
la
，则称节点i到节点j之
间存在一条有向连接路径，也称由节点i能够到达节点j。假设有一节点i，网络中其它节点
都存在一条路径到达节点i，则称节点i是全局可达的。
引理1[12] 对于Laplace矩阵L存在特征值0，对应的特征向量为T
nc]1...,,1,1[1=
，特
征值0是单一特征值的充要条件是图},,{AEVG=
存在一个全局可达点。
3 具有不同时延的多智能体运动的编队控制
3.1 具有时延的多智能体系统的动态方程
本节讨论二阶多智能体系统的编队控制问题，假设系统动态方程为
)()()()(
tutvtvtx
iiii
==
&&
（1）
其中m
iRx∈
和m
iRv∈
分别是智能体i的位置和速度，m
iRu∈
是控制输入（又称加速度），
},...,2,1{nIi=∈
。Ren[7]讨论了一类二阶多智能体系统的一致性问题，并研究了如下控制
算法的一致性：
∑
∈∈−+−−=
iNjjijiijiIitvtvtxtxatu))],()(())()([()(γ. （2）
本文基于一致性算法（2），提出一个多智能体二阶系统的编队控制算法，讨论系统节点
之间存在通信时延，节点自身存在输入时延的多智能编队控制问题。假设多智能体系统的编
队控制为
)()()(
2tutftu
iii+=
（3）
∑
∈−−−+−−=
iNjjjiiijiijiictxctxtvtvatu))])(())((())()([()(**
2γα
其中系统参数0>
iα
，0>
iγ
；)(tf
i是智能体i的速度镇定控制，
2iu
是多智能体之间的协
调控制，*
ic
是智能体i在编队中的期望位置，
ija
为节点i与节点j的连接权重。假设对于所
有的Iji∈,
，有)(lim)(limtvtv
j
ti
t∞→∞→=
，))((lim))((lim**
jj
tii
tctxctx−=−
∞→∞→，则称多智能体系
统取得期望编队。
在通信网络中，由于通信链路、通信设备等影响，网络中存在时延。一般系统时延有两部分组成[18]：一部分是数据在链路上传输时消耗的时间，称通信时延；另一部分发生在节
点处，由于处理器处理、分组排队等原因消耗的时间，称输入时延。我们考虑网络时延作用
在协调控制部分
2iu
上，假设系统多智能体之间存在通信时延，
∑
∈−−−−+−−−=
iNjjijjiiiijjiijiicTtxctxTtvtvatu))])(())((())()([()(**
2γα
, （4）
其中
ijT
表示智能体j与智能体i的通信时延。假设系统节点自身的输入时延为
iT
，具有输入
时延的系统（1）变为
).()()()()(
2iiiiii
Ttutftvtvtx
−+==
&&
（5）
把控制输入（4）代入到上式，则具有时延的闭环系统为
,))])(())((())()([()()()()(
**∑
∈−−−−−−+−−−−−==
iNjjiijjiiiiiijjiiijiiiii
cTTtxcTtxTTtvTtvatftvtvtx
γα&&
（6）
本文讨论具有时延的闭环系统（6）的编队控制问题。
3.2 时延多智能体系统的编队控制
定理1 假设多智能体系统（6）有n个智能体，网络拓扑是静态连通有向图，且包含一
个全局可达节点；令速度镇定部分)()(tvtf
iiiγ−=
，∑
==n
kikiad
1，如果
22π
α<
iiiTd
, Ii∈∀
. （7）
则多智能体系统（6）取得编队控制。也就是，对于所有的Iji∈,
，有
*
)(lim)(limvtvtv
j
ti
t==
∞→∞→，))((lim))((lim**
jj
tii
tctxctx−=−
∞→∞→，这里0*
=v
。
证明：在系统（6）中，令*
)(
iiictxx−=δ
，*
)(vtvv
ii−=δ
，代入系统（6）得到
,))]()(())()([()()()()(
∑
∈−−−−+−−−−−−==
iNjiijjiiiiijjiiijiiiiii
TTtxTtxTTtvTtvatvtvtvtx
δδγδδαδγδδδ
&&
对上式并应用Laplace变换，得到
,)])()(())()([()()0()(s)()0()(s
)()(∑
=+−
−+−
−
−+−−−=−=−
n
jsTT
jsT
iisTT
jsT
iijiiiiiiii
iij
iiij
iesXesXesVesVasVVSVsVXsX
γαγ(8)
其中)(),(sVsX
ii是)(),(tvtx
iiδδ
的Laplace变换。定义矩阵)]([)(slsL
ij=
，其中