光伏电池工程用数学模型研究傅望，郭珂，周林（重庆大学输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆市４０００３０，ｆｕｗａｎ９５２５２５９＠ｙａｈｏｏ。ｃｏｒｎ．ｅ１１）
摘要：本文以光伏电池的输出特性曲线为研究对象，结合该曲线和质点平抛运动轨迹的相似性，在原有的光伏电池工程指数模型基础上，本文首次提出了另一种更便于计算的光伏电池工程用数学模型．该模型的特点是用在三个不同重力场ｇＯ、９１和９２下的质点平抛的运动轨迹来代替太阳电池输出特性曲线。运用物理学中的平抛运动公式换算出电池输出特性曲线，通过调节ｇＯ、９１分界点的位置，使得本模型在最大功率点附近的误差尽可能小．和实测数据以及安捷伦光伏模拟电源中指数模型生成的数据比较表明该模型能满足工程精度要求。和指数模型比较，减少了运算量，提高了运算速度。
关键词：光伏电池模型，平抛运动，重力加速度，最大功率跟踪０引言太阳电池作为洁净能源在光伏系统中有着良好的应用和发展［１］。国内外学者做了大量有关太阳电池技术理论与实验方面的研究：有基于等效电路的单指数模型和双指数模型；有基于实验数据拟合的多项式Ｉ—Ｖ特性曲线。还有为了满足工程应用的工程用数学模型等。对硅太阳电池的数学模型进行简化分析处理，可方便地对光伏系统进行研究和设计。例如在太阳能电池模拟器的研发中，需要找到一种实用性强的数学模型，即满足工程应用精度且便于控制器运算处理。本文在上述研究的基础上，首次提出了基于运动学理论的工程用太阳电池数学模型。该模型的特点是用在三个不同重力场９０、９１和９２下的质点平抛的运动轨迹来代替太阳电池输出特性曲线。仅用生产厂家为用户提供的标准测试条件下的Ｉｓｅ、Ｖｏｅ、Ｉｍ、Ｖｍ参数，运用物理学中的平抛运动公式推导出重力加速度ｇｌ和９２的计算公式，换算出电池输出特性曲线。由于运算过程中不含指数对数运算，运算量大大减小，便于控制器运算处理。当环境条件变化时，通过计算改变参数值来考虑环境影响，可以较高精度的复现太阳电池的Ｉ．ｖ特性，满足绝工程应用的需要。
１光伏电池模型根据电子学理论，光伏电池的等效电路［１，２］如图ｌ所示，
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图１光伏电池等效电路根据图１，忽略结电容ＣＪ，可以得到光伏电池的Ｉ－Ｖ特性曲线方程为：川ｃ一，ｏｌ唧ｃ掣】－１）－半㈨
式中Ｉ广光电流（Ａ）；Ｉｏ＿反向饱和电流（Ａ）；ｑ一电子电荷（１．６×１０１９Ｃ）；Ｋ一玻耳兹曼常数（１．３８×ｌＯ－２３Ｊ／Ｋ）；Ｔ一绝对温度（Ｋ）：Ａ一二极管因子：Ｒ广串联电阻（Ｑ）：Ｒ。ｈ＿并联电阻（Ｑ）。
式（１），已被广泛应用于太阳电池的理论分析中，但由于表达式中的５个参数。包括式中Ｉ。、Ｉｏ、Ｒ曲、凡和Ａ，它们不仅与电池温度和日射强度有关，而且确定十分困难，因此不便于工程应用，也不是太阳电池供应商向用户提供的技术参数。在式（１）的基础上，文献口’对电路模型简化处理，推导得出一个比较实用的工程用数学模型，即式（２）、（３）、（４），该模型仅需要太阳能电池供应商提供的四个重要技术参数Ｉ。、Ｖ。、Ｉ．、ｖＩ。就能在一定的精度下复现太阳能电池的特性。
，＿“ｌ—ｃＩ【ｅｘｐ（丧）＿ｌ】）（２）其中纠卜≯叶彘，（３）纠丧叫ｎｎ”妒
（４）在任意环境条件下，Ｉ。、ｋ、Ｉ．、ｖ．，会按一定规律发生变化：通过引入相应的补偿系数，近似推算出任意光照Ｓ和电池温度Ｔ下四个技术参数［４］：
，”＝Ｌ∥巧Ｓ‘（１栅△ｎ（５）
‰＝‰一呵‘ｌｎ（ｅ＋ｂ·ａＳ）‘（１一ｃ‘ＡＴ）（６）
厶＝Ｌ一可。巧Ｓ‘（Ｉ＋ａ－ＡＴ）圪＝Ｋ吲’ｌｎ（ｅ＋ｂ·ａｓ）·（１一Ｃ‘ＡＴ）（７）
（８）上式中，ｓ何＝１０００Ｗｌｍ２为参考太阳辐射
阳能电池输出特性。文献ｎ１的光伏电池数学模型简单、实用，但是此模型如果用在控制器编程里仍有其不可克服的缺点，主要是参数和方程的计算涉及到多次对数和指数运算，对于ＤＳＰ等控制器来说完成对数和指数运算并非易事，所以需要在数学上对其进一步简化，找出一种更便于计算的模型。２平抛运动学模型光伏电池是一种非线性的直流源，在最大功率点以前近似为恒流源，在最大功率点之后近似为恒压源。光伏电池Ｉ－Ｖ特性曲线和质点平抛运动轨迹在一定程度上有极大的相似性，本文首次提出一种运动学模型，如图２，把Ｉ－Ｖ特性曲线和质点平抛运动轨迹建议在同一坐标系中，并通过横坐标将其分为三段，每段各处于不同的重力场下，将质点从短路电流点（Ｏ，Ｉ。）平抛出去，可以推导出和实际Ｉ－Ｖ特性非常相近的曲线。
２．１标准测试条件下模型的建立太阳能电池生产厂家会提供标准测试条件下的Ｉ。、Ｖ。、Ｉ。Ｖ．，参数。如图２，假设一质点以初
速度ｖ。从坐标点（０，Ｉ。）平抛出去，在（ｕ，工‘％）区间（ｘ为待定系数，理论取值为０≤ｊｃ＜１），小球处在无重力加速度的环境下（ｇＯ＝Ｏ）做匀速直线运强度；％２２５。ｃ为参考电池温度；丛＝ｓ一％为动，在（工．屹，屹）区间有重立场ｇｌ，在（屹，ｋ）区间
实际光强与参考光强的差值：ＡＴ＝Ｔ－％为实际电池温度与参考电池温度的差值；ｅ为自然对数的底数，其值约为２．７１８２８；补偿系数ａ、ｂ、ｃ为常数。根据大量实验数据拟合，其典型值推荐为：
ａ＝Ｏ．００２５１ｏＣ，
ｂ＝０．ｏ００５（ｗＩｍ２）一１Ｃ＝０．００２８８／ｏＣ当太阳光照和电池温度发生变化时，根据式（５）、（６）、（７）和（８），可以得出任意光照Ｓ和电池温度Ｔ下的四个技术近似值，然后再根据式（２）即可以计算任意光照ｓ和电池温度Ｔ条件下硅太
有重力场９２，为了使运动轨迹与太阳电池Ｉ—Ｖ曲线最大程度的重合。假设运动轨迹必须经过短路电流点（０，Ｉ。），最大功率点（ｖ－，Ｉ．），开路电压点（Ｖ。，０）这三个关键点。在ｇ。下质点下降速度很慢，在９２
下质点下降速度很快，既ｇＩ“９２。Ｙ（Ｉ）ｌ。Ｌ—一二－二一二斗一＝＞
Ｉ¨
Ｊｇｏ蝴ｉｌ自
ＩＩＩＩＩ
工·％％ｋｘ（Ｖ’
图２光伏电池运动学模型质点从点（０。Ｉ。）以初速度ｖ０平抛出去，由于重力场ｇｏ＝Ｏ。所以质点做匀速直线运动至坐标点（工‘圪，Ｉｘ）。中ｔ２代入式（１４）中，解出９２有：铲坐专尚器产质点在点。‘屹，Ｌ）处以速度ｖｏ在重力场９１由运动学理论，质点运动轨迹为：
（１５）
作用下经过ｔ。时间运动到最大功率点（匕，Ｌ）处，由运动学公式，Ｘ轴方向做匀速直线运动，有：
，一Ｋ—ｚ’％‘ｉｔ一一
ｖｏ（９）
（１６）
Ｙ轴方向做重力加速度为ｇｌ的自由落体运式（１６）中，ｖ为光伏电池的输出电压，厶为
动：
ｇｌ２ｌ虻＿Ｉｍ＝毛－ｇｌ·ｔ２
把（９）式中ｔｔ代入（１０）中。解得２·（ｔ。一Ｌ）·ｖ：
Ｏ＜Ｖ＜ｘ‘屹时的光伏电池的输出电流；，ｌ为（１０）ｘ‘％＜ｙ≤Ｖｍ时的光伏电池的输出电流；，２为“
“时的光伏电池的输出电流；１为
眠一工·Ｋｒ．（１１）
在最大功率点（Ｖ。Ｉ．）处，小球竖直方向的速度为：
ｖｎ：９１．ｔｌ：９１．—Ｖｍ－ｘ—，ＶｍＶｏ（１２）
质点到达点（Ｖ．，Ｉ．）后，又在９２下作用ｔｚ时间到达（Ｖ。Ｏ）。Ｘ轴方向做匀速直线运动，有：
乞＝竖监％（１３）
ｙ轴方向做初速度为％，重力加速度为＆的匀加速直线运动：
％＜ｙ≤ｖ。ｃ时光伏电池的输出电流。把式（１１）中ｇｌ代入式（１６）中第二个式子，式（１５）中９２代入式（１６）第三个式子，可以消去Ｖｏ，所以该模型曲线的形状与假设的初速度无关，为简化书写，设Ｖｏ＝１，化简后可得：
占Ｊ９２２【ｋ·（％一Ｊ·％）－２（６ｃ一厶）（‰一％）】（％叱）２（Ｖｍ－ｘ‘％）（１７）
１０＝Ｉ，ｃ１１＝，Ｊｃ一｝”（ｈ·％）２
，２＝Ｉ。＿Ｌ２９２·（ｙ一％）２一ｇＪ·（ｙ一％）·（‰一工·‰）
（１８）由上式可知只需用厂家提供的用生产厂家为用户提供的标准测试条件（ＳＴＣ）下的Ｉ。、Ｖ。、Ｉ．、Ｖ．参数，代入式（１７）、（１８）就可以得标准测试条件下的Ｉ－Ｖ特性曲线。
Ｌ＝％‘乞＋三１。９２，《（１４）
２．２任意条件下，参数初值的修正
在其它任意条件下，可以考虑通过引入相应的把式（１２）中ｖ¨，式（１１）中的ｇ。，式（１３）补偿系数。近似推算出任意光照强度Ｓ和电池温度
７４
益№！％
ｋ
钭钟
ｏｋ
ｏ
＝１１
＝Ｔ下四个技术参数：当太阳光照和电池温度发生变化时，根据式（５）、（６）、（７）和（８），可以得出任意光照强度Ｓ和电池温度Ｔ下的四个技术参数值，然后再根据式（１７）、（１８）即可以计算任意光照Ｓ和电池温度Ｔ条件下的硅太阳能电池输出特性。
３仿真及参数确定在ＭＡＴＬＡＢ中建立光伏电池运动学模型，把不同温度光照条件下的Ｉ。、Ｖ—Ｉ．和Ｖ．数据代入运动学模型并计算出Ｉ－ｖ数据和无锡尚德生产的太阳能电池在不同温度光照下的实测Ｉ—Ｖ数据进行比较。并通过数据拟合选取合适的Ｘ计算公式。
选取两种不同类别型号的电池，其中电池１＃为单晶硅电池，电池２＃为多晶硅电池，在标准测试条件下电池参数为：
表Ｉ标准测试条件下，电池参致
在ＭＡＴＬＡＢ中用运动学模型计算出的数据与实测数据在不同环境参数条件下对比，并在最大功率点附近进行了详细比较，因为无论从理论上还是工程上，最大功率点附近区域为光伏电池最常用的工作区，也是为光伏电池最大功率点跟踪提供更加准确的模型来考虑的。图３为电池ｌ＃，
在光照强度１０００Ｗ／ｍ‘，电池温度２５℃环境条件下计算数据与实测数据对比图，图３中（ａ）、（ｂ）、（ｃ）分别为ｘ分别取值Ｏ．６，０．８１５，０．９时与实测数据对比情况。
Ｕ／Ｖ（ｃ）
图３ｘ取不同值时，运动学模型计算数据与实测数据
对比图
由图３中三幅图对比分析可知，在环境一定的情况下Ｘ的取值在一定程度上影响运动学模型与实测数据之间的误差，取值过小会使模型在最大功率点之前误差变大，取值过大会使模型最大功率点之后误差变大，以模型在最大功率点附近与实测值误差最小为目标，定义此时Ｘ取值为最优值（记为：Ｘｂｅｓｔ），反复对比验证得到不同环境下Ｘ最优值如表２所示：
７５表２不同环境条件下．ｘ最优值
１０００２５８００２５２００２５１０００３０１０００４５叭灌∞洲洲ｎｏｏ¨㈦Ｉ三８６Ｉ三Ｉ卫灌ｍ仉灌灌
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