２０１３年１０月 第５期 城市勘测 Ｕｒｂａｎ Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ＆Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ０ｅｔ．２０１３ Ｎｏ．５
文章编号：１６７２—８２６２（２０１３）０５—１０５—０３ 中图分类号：Ｐ２２８
区域ＧＰＳ水准高程拟合方法精度分析 文献标识码：Ａ
王鹏 ，武丰雷 ，尹作霞 （１．济南市勘察测绘研究院，山东济南２５００１３；２．济南市城市规划咨询服务中心，山东济南２５００９９） 摘要：在介绍ＧＰＳ水准几何拟合的几种方法和济南市似大地水准面精化建设项目的基础上，以某垃圾处理厂施工控制测 量数据为例，对不同几何拟合方法同似大地水准面精化成果所计算的正常高进行了分析比较。根据比较结果和作者经验， 分析了ＧＰＳ高程拟合影响精度的原因及作业中的注意事项，并对本文实验的几种拟合方法的适用范围进行了总结。 关键词：ＧＰＳ水准；似大地水准面；高程异常；高程拟合
１ 引 言
工程建设中，传统高程测量滞后于平面定位技术
发展。如何实现高效、低成本的困难地区高程测量成
为现代测绘技术发展的重点。
在现代高程控制测量中，通过区域似大地水准面
精化，可以将以ＧＰＳ技术测量获得的大地高成果直接
计算出工程测量所需要的正常高成果¨Ｊ。但是，由于
似大地水准面成果精度高、范围大，属于国家涉密成
果，一般测绘单位不能直接获得，而独立进行区域似大
地水准面精化又有一定的难度（需要数字高程模型、重
力测量等大量资料，计算方法较为复杂）。因此，在区
域范围内，ＧＰＳ水准高程拟合计算正常高成为局部范
围方便、高效的计算方法。
２ ＧＰＳ高程拟合方法
函数模型逼近的最大优点是对于趋势性变化的拟
合效果较好，但需要事先明确模型形式以及参数个数。
若函数模型假设合理，则可以获得较好的拟合推估效
果 ］，从而精确推估未知点信号。下面对几种比较常
用的拟合模型（方法）进行简要介绍。
２．１ 多项式曲面拟合法（含平面拟合法）
这里指的曲面拟合法包含平面拟合，当已知点少
于６个时一般采用平面拟合。根据测区中已知点的平
面坐标 、Ｙ（或大地坐标日、 ）和 值，用多项式拟合
法，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的 ，
从而求出待求点的正常高。
设点的高程异常值 与平面坐标 、Ｙ的关系为：
＝ ，Ｙ）－ｔ－８ （１）
式中 ，Ｙ）为 中趋势值，ｓ为误差。
设／ ，Ｙ）＝６ｔ０＋口１ｘ＋ａ２ｙ＋ａ３ ＋０４Ｙ ＋０５ ｙ＋…
对于每个已知点，都可列出上述方程，在∑ ＝ ｍｉｎ条件下，求解出参数 ｏ、Ｏ／１、 ２、Ｏｔ３、ＯＬ４、ＯＬ５…再按式
（１）求解出待求点的 ，从而求出正常高程 。
２．２加权平均法
所谓加权平均模型，就是利用已知点数据加权平
均求定未知点数据。
设待定点Ｑ（ｘ，Ｙ）周围有ｉ＝１，２，…，ｍ个已知高
程异常Ｎｉ（ ｉ，Ｙｉ）的点，即ＧＰＳ水准点，可用下列加权
平均值估计Ｑ点的高程异常Ｎ。（ ，），）可由下式求得：
三ＰｉＮｉ（ ｉ，Ｙｉ） Ⅳａ ｘ，Ｙ）＝旦— —一 （２） ∑Ｐ； １＝ｌ 式中Ｐ 为第 个控制点的高程异常的权，它是由
控制点与待定点问的水平距离给出，即取：
ｄｉ￣／（ ｉ） ＋（ ）
式中Ｃ为通过先验获得的常数。
２．３最小二乘配置法
最小二乘配置的函数模型一般是：
＝日 ＋５＋△ （３） 式中的￡为已测点高程异常的观测值， 为待估参
数，ｓ为观测信号，△为观测信号的噪声。现将未测点高
程异常观测信号用Ｊｓ 表示，那么上面的式子可表示为：
Ｌ＝ＢＸ＋ＣＺ＋△ （４） 式中ｃ＝［Ｅ ０］，ｚ＝［ｓ Ｊｓ ｒ。
用 、 、 分别表示 、ｚ、△的最或然值，则有： Ｌ＝Ｂ ＋Ｃ２＋ｖ ｔｓ、
ＤＬＬ＝Ｄ△△＋ＣＤｚｚＣ （６）
因 ＝［ ］，故 。
根据最小二乘配置法原理，这里已知Ｄ ＝０，
Ｄ ＝０。同时已知参数和信号的期望和协方差分别为
Ｅ（△）、Ｅ（ｚ）和Ｄ△△、Ｄ ，有：
收稿日期：２０１３—０３—０１ 作者简介：王鹏（１９７２一），男，高级工程师，主要从事城市工程测量技术管理工作。
城市勘测 ２０１３年１０月
ｖＴｐ△△ ＰｚＺ２＝ｒａｉｎ （７）
按求函数条件极值的方法，设Ｋ是对应于误差方
程的联系数向量，组成函数为：
＝ｖＴｐ△△Ｖ＋２ Ｐｚｚ —２ （放＋ ＋ —Ｌ） （８）
将其分别对 和ｚ求一阶导数并令其等于０，则有：
＝（Ｂ ＤＥＬＢ） Ｂ Ｄ （９）
Ｋ＝ＯＬＬ（Ｌ－Ｂ ） （１０）
Ｚ＝Ｄ Ｃ Ｋ＝Ｄ Ｃ ＯＬＬ（Ｌ—Ｂ ） （１１）
计算得到已知点和未知点信号的估值分别为：
３＝０ ＤＬＬ＇（Ｌ一时） （１２）
Ｓ ＝Ｄｓ， Ｄ．．．．－１（ —Ｂ ） （１３）
未测点的高程异常平差值￡ 为：
Ｌ ＝ 足＋Ｓ （１４）
式中， 为未测点待估参数系数。
３似大地水准面精化
重力似大地水准面的计算广泛采用“移去一恢复” 技术…，因此首先需要选用高阶次全球重力场模型计
算模型似大地水准面高和模型重力异常，用内插生成
的地面格网重力异常值移去模型重力异常得到格网重
力异常残差值，通过Ｓｔｏｋｅｓ公式计算残差似大地水准
面高，然后恢复对应点上的全球重力场模型似大地水
准面高，最后得到重力似大地水准面。
由于重力似大地水准面与ＧＰＳ／水准似大地水准
面两者存在着参考基准差别，所以二者之间一般都存
有较大系统偏差和不符值。为了减小或消除两者间的
差异，采用三次多项式将两类似大地水准面差异通过
最小二乘法拟合来确定最终似大地水准面。
４案例分析
根据工程需要，需对济南市某垃圾处理厂进行控制
测量。项目测区在济南市南部山区的山坳中，东西向将
近２ ｋｍ，南北向约１．３ ｋｍ，范围较大，交通不便，植被密
集，通视条件差，施测条件较困难。特别是在高程测量时，
水准测量方式和三角测量方式均难以开展。控制点分布
如图１所示，东、南、北三侧控制点均在山顶，中部和西侧
的控制点在山坳中，最高处１９５ Ｉｎ，最低处１１０ ｒｎ。
图１ 测区控制点布设示意图 ４．１ 已有控制资料分析利用
选取测区周围已有控制点６个作为ＧＰＳ水准高
程拟合计算的起算数据，其中Ｂ级ＧＰＳ点（１５５６）１
个，高程为二等水准精度；Ｃ级ＧＰＳ点５个，其中４个
高程为二等水准精度，１个（Ｃ０７６）高程为三等水准精
度。已有控制点点位分布如图２所示。
注：图中小的范围线为本 项目测区范围线 图２ 已有控制资料分布示意图
４．２ 济南市似大地水准面精化成果
济南市似大地水准面精化选用ＥＧＭ９６ ３６０阶次
全球重力场模型和相应Ｆａｙｅ异常，在顾及地形改正的
情况下，利用济南市范围内的１ １１５个重力点数据资料
以及３”×３ 空间分辨率的ＤＥＭ数据，应用Ｓｔｏｋｅｓ公式
和移去一恢复技术计算分别计算得到了济南市域范围
内分辨率为２．５ ×２．５ 的三种重力似大地水准面，然后
采用三次多项式对重力似大地水准面与ＧＰＳ水准似
大地水准面进行了拟合计算，从而得到最终的似大地
水准面精化成果。为了真实客观地检验济南市似大地
水准面模型的可靠性，在济南市范围内又均匀布测了
３７个ＧＰＳ水准点作为外部检核点，通过计算得到实测
外部检核点的高程异常与济南市似大地水准面模型的
高程异常差值，最大值为４．１ ｃｍ，最小值为一３．７ ｃｍ，
平均值为１．４ ｅｍ，标准差为±１．８ ｅｍ。
４．３精度分析
在本项目研究中，拟以似大地水准面精化成果作
为真值，分别同采用二次曲面（六参数）法、平面三参
拟合法、平面四参拟合法、加权平均法、最小二乘配置
法等方法的计算结果进行比较。各点残差汇总如表１
所示：
从不同拟合方法同似大地水准面精化比较结果可
以知道，在同等观测条件和已有资料的情况下，采用不
同的拟合计算方法，计算出的高程异常结果相差较大，
因此，在缺少似大地水准面精化成果的区域，选择合适
的拟合计算方法，成为计算控制点正常高的关键。
由表ｌ可知，二次曲面六参数拟合法同似大地水准
面计算成果精度极为接近，中误差仅为４．６８ ｍｍ，其他
方法相对而言精度较差。因此，在区域ＧＰＳ水准高程计
算时，这几种算法优先使用二次曲面六参数拟合法。
第５期 王鹏等．区域ＧＰＳ水准高程拟合方法精度分析
不同拟合方法与似大地水准面精化的差值表 表１
４．４影响精度的原因分析
在ＧＰＳ水准高程计算过程中，主要影响精度的因
素有以下几方面：
（１）ＧＰＳ点的测量精度。ＧＰＳ点的测量精度是
ＧＰＳ水准高程拟合的基础，尤其是在ＧＰＳ观测时，应
注意多路径效应、接收机天线的整平、对中误差、接收
机天线高的量取及斜高改正的方法、网型的设计、周围
环境的影响等 ｊ。
（２）起算数据的分析。计算的起算数据包括ＧＰＳ
网平差的起算数据和拟合计算的起算数据。ＧＰＳ网平
差的起算数据的精度直接决定了控制网约束平差的精
度，拟合计算的起算数据影响着拟合计算参数求解的
准确性。同时，拟合计算的起算数据应尽可能距离测 区近，并能够控制整个测区，从而使拟合计算的起算数
据高程异常模型能够尽可能同测区高程异常一致。
（３）拟合计算方法的选取。在同等条件下，好的
拟合计算方法能够使高程已成模型更加接近测区真实
的高程异常，选择合适的拟合计算方法，能够在同等条
件下，计算出更加准确的高程异常。
（４）其他影响：注意外业操作过程中的规范要求。
５ 结论
通过试验分析，二次曲面六参拟合法能够适应区
域较为复杂的高程异常趋势拟合，对山区、地形复杂地
区有较好的拟合效果。而平面拟合法、加权平均法只
考虑了高程异常的单一趋势性，该模型是以平面或者
简单均值来表示似大地水准面，因此对平坦的局部地
区有好的拟合精度 Ｊ。最小二乘匹配模型既考虑了高
程异常的趋势性（即与坐标的函数有关的非随机性）
又考虑了随机性，计算时受已知点精度、数量、分布的
影响较大，有待进一步研究。
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Ａｃｃｕｒａｃｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ Ｒｅｇｉｏｎａｌ ＧＰＳ／ｌｅｖｅｌｉｎｇ Ｅｌｅｖａｔｉｏｎ Ｆｉｔｔｉｎｇ Ｍｅｔｈｏｄ
Ｗａｎｇ Ｐｅｎｇ ，Ｗｕ Ｆｅｎｇ｜ｅｉ ，Ｙｉｎ Ｚｕｏｘｉａ （１．Ｊｉｎａｎ Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｊｉｎａｎ ２５００ １ ３，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｊｉｎａｏ Ｕｒｂａｎ Ｐｌａｎｎｉｎｇ Ｓｅｒｖｉｃｅ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｊｉｎａｎ ２５００９９，Ｅｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ＧＰＳ／ｌｅｖｅｌｉｎｇ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｆｉｔｔｉｎｇ ａｎｄ Ｊｉｎａｎ ｑｕｏａｉ－ｇｅｏｉｄ ｒｅ— ｆｉｎｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｐｒｏｊｅｃｔ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔａｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｕｒｖｅｙ ｄａｔａ ｏｆ ａ ｒｅｆｕｓｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｐｌａｎｔ ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ，ａｎａｌｙｚｅｓ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｅｓ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｆｉｔｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｊｉｎａｎ ｑｕａｓｉ－ｇｅｏｉｄ ｒｅｆｉｎｅ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ａｈｉｔｕｄｅ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｗｏｒｋ ａｎａｌｙｚｅｓ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｉｔｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ，ａｎｄ ａｌｓｏ ｆｏｃｕｓｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｅｃａｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｅｌｄ ｓｕｒｖｅｙ，Ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ＧＰＳ／ｌｅｖｅｌｉｎｇ ｆｉｔｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＧＰＳ ｌｅｖｅｌｉｎｇ；ｑｕａｓｉ－ｇｅｏｉｄ；ｈｅｉｇｈｔ ａｎｏｍａｌｙ；ｈｅｉｇｈｔ ｆｉｔｔｉ
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