1 / 1 泰山学院信息科学技术学院教案

数值分析 教研室

课程名称 高等数学研究 授课对象

授课题目 第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法 课时数 2

教学

目的 通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。

重

点

难

点 1不定积分的概念

2不定积分的计算

3定积分的计算

教

学

提

纲

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

1.不定积分

1.1不定积分的概念

原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。

1.2不定积分的计算

(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法

(4)分部积分法

2.定积分

(1)基本积分法；

(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数

(3)利用函数的奇偶性化简定积分

(4)一类定积分问题

教学过程与内容 教学

后记

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

一、不定积分

1不定积分的概念

原函数：若在区间 上)()(xfxF，则称)(xF是的一个原函数.

原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ，

都是在区间 上的原函数；若 也是在区间 上的原函数，则必有 .

可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.

不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作dxxf)(

一个重要的原函数：若)(xf在区间上连续，Ia，则xadttf)(是的一个原函数。

2不定积分的计算

(1)裂项积分法

例1：dxxxdxxxdxxx)121(12111222424

Cxxxarctan233。

例2：dxxxdxxxxxxxdx)sec(cscsincossincossincos22222222

例3：222222(1)(1)(1)dxxxdxxxxx221arctan1dxdxxCxxx

(2)第一换元积分法

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos2xdx，如果凑上一个常数因子2，使成为

11cos2cos2cos2222xdxxxdxxdx•Cx2sin21

例4：23222arctan111dxdxdxxCxxxx

例5：2222111111111dxddxxxxxxx

22111211dxx1222111112dxx

12221112112CCxx

例6： dtttxdxxdxxxxxt21arctan21arctan2)1(arctan

cxarctgcarctgttdt22)()()(arctanarctan2.

(3)第二换元积分法

第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：

被积函数包含nbax,处理方法是令)(1,btaxtbaxnn;

被积函数包含)0(22axa,处理方法是令txtxcossin或;

被积函数包含)0(22axa,处理方法是令txtan;

被积函数包含)0(22aax,处理方法是令txsec;

例7：计算220axdxa

【解】令sin,,arcsin,22xxatttaxaa则，且

22coscos,cos,axatatdxatdt从而

22axdx=222cos.coscos1cos22aatatdtatdttdt

=2221sin2sincos2222aaattCtttC

由图2.1知

22sincosxaxttaa

所以22axdx=2222arcsin22axaxaxCaaa=

222arcsin22axxaxCa

例8:tdtdtttdttxxdxxt16)1(6162326

cxxx6361ln216.

(4)分部积分法

当积分)()(xdgxf不好计算,但)()(xdfxg容易计算时,使用分部积分公式:

)()()()()()(xdfxgxgxfxdgxf.常见能使用分部积分法的类型:

(1)dxexxn,xdxxnsin,xdxxncos等,方法是把xxexcos,sin,移到d后面,分部积分的目的是降低x的次数

(2)xdxxmnln,xdxxmnarcsin,xdxxmnarctan等,方法是把nx移到d后面,分部几分的目的是化去xxxarctan,arcsin,ln.

例9:2222xxxxxedxxdexeexdx

2222()xxxxxexdxxexeedx2(22)xexxC

例10:2ln111lnlnlnxdxxdxdxxxxx

211ln(ln1)dxxxCxxx

例11: 23(16)arctanarctan(2)xxdxxdxx

33222arctan1xxxxxdxx

322arctan21xxxxxdxx

32212arctanln12xxxxxC

例12: xdxxxxxdxdx22sinsincossincoscos=

xdxxxx2cossincos，

解得 cxxxdx2sin412cos2.

例13: xdxxxdx23secsecsec

xtgxdxtgxxtgxxdtgxsecsecsec

=xdxxdxxtgxxdxxxtgxsecsecsecsec)1(secsec32

=xdxtgxxxtgx3sec|sec|lnsec,

解得 xdx3secctgxxxtgx|sec|ln21sec21.

【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧

例14 设函数)(xf的一个原函数是,sinxx求dxxfx)(。

【解】 2sincossin)(xxxxxxxf

cxxxxxxxdxxfxxfxfxddxxfxsinsincos)()())(()(2

cxxxsin2cos

【点评】本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.

例15 计算dxxxex23)1(2arctan

【说明】涉及到xxarctan,arcsin的积分一般有两种处理方法.

(1)用分部积分法; (2)作变量替换令txtxarctanarcsin或

【解法一】 2arctan22arctan2arctan11221)1()1(21)1(2323xdexdxedxxxexxx

dxxexexxx2arctan2arctan2111111

dxxeexxx23)1(112arctanarctan2……

【点评】:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法.

【解法二】令yxyxtan,arctan

Cyyedyyedyyyeydxxxeyyyx)cos(sin21sinsecsectan)1(322arctan23

Cxxxex22arctan11121

【点评】变量替换后几分的难度大大降低,dyyeysin是每种教材上都有的积分.

2.定积分

定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.

(1)基本积分法

例16： 计算330221)51(xxdx

【解】 令txtan，则

6022602233022sin5coscossec)tan51(sec1)51(tttdttttdtxxdx

8)sin2arctan(21)sin2(1)sin2(2160602tttd

(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数

例17： 计算dxxx302

【解】38)2()2(2322030dxxxdxxxdxxx

例18 计算dxxx30}1,max{

【解】dxxx10}1,max{=54)1(121210dxxdxx

(3)利用函数的奇偶性化简定积分

aaaxfdxxfxfdxxf0)()()(0)(是偶函数当是奇函数当

例19 计算dxxx1122)1(

【解】dxxx1122)1(=dxxxdx11211121=2+0=2

例20 计算dxexxx11)(

【解】dxexxx11)(=dxxex11dxexx11

1104220edxxex

例21 计算dxexexx4421sin

【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。

【解】dxexedxexedxexexxxxxx0424024421sin1sin1sin

令yx，

dyeyeydeyedxexeyyyyxx4020420421sin)(1)(sin1sin

dxexdyeyxy4024021sin1sin