第三章 插补原理及控制方法
27 第三章 插补原理及控制方法
学
时 章 节 教 学 内 容 重点、难点
1 §3-1.1 插补原理概述
3 §3-1.2 脉冲增量插补算法
——逐点比较法 掌握插补给所得全过程（重点、难点）
1 §3-2 刀具半径补偿原理 了解B刀补
和C刀补的原理
第一节 插补原理
一、概述
1. 插补的概念
插补(Interpolation)：根据给定进给速度和给定轮廓线形的要求，在轮廓的已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称为插补方法或插补原理。
插补算法：对应于每种插补方法(原理)的各种实现算法。
插补功能是轮廓控制系统的本质特征。
2. 评价插补算法的指标
稳定性指标
插补运算是一种迭代运算，存在着算法稳定性问题。
插补算法稳定的充必条件：在插补运算过程中，对计算误差和舍入误差没有累积效应。
插补算法稳定是确保轮廓精度要求的前提。
插补精度指标
插补精度：插补轮廓与给定轮廓的符合程度，它可用插补误差来评价。
插补误差分类：
逼近误差（指用直线逼近曲线时产生的误差）；
计算误差（指因计算字长限制产生的误差）；
圆整误差
其中，逼近误差和计算误差与插补算法密切相关。
采用逼近误差和计算误差较小的插补算法；采用优化的小数圆整法，如：逢奇（偶）四舍五入法、小数累进法等。
一般要求上述三误差的综合效应小于系统的最小运动指令或脉冲当量。
合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性：插补运算输出的各轴进给率，经运动合成的实际速度（Fr）与给定的进给速度（F ）的符合程度。
速度不均匀性系数：
合成速度均匀性系数应满足：
λmax ≤ 1 %
插补算法要尽可能简单，要便于编程 %100*FFFr第三章 插补原理及控制方法
28 因为插补运算是实时性很强的运算，若算法太复杂，计算机的每次插补运算的时间必然加长，从而限制进给速度指标和精度指标的提高。
3. 插补方法的分类
脉冲增量插补(行程标量插补)
特点：
每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个脉冲当量）。以一个一个脉冲的方式输出给步进电机。其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。
插补速度与进给速度密切相关。因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为10μm时，采用该插补算法所能获得最高进给速度是3-4 m/min。
脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快的。但是也有用软件来完成这类算法的。
这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字积分法；目标点跟踪法；单步追综法等
它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。
由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。
数字增量插补(时间标量插补)
特点：
插补程序以一定的时间间隔定时(插补周期)运行，在每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量（数字量）。其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线）来逼近曲线（包括直线）。
插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达 10m/min以上）。
数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足要求。
这类插补方法有：数字积分法(DDA)、二阶近似插补法、双DDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计的。
这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方法。
第三章 插补原理及控制方法
29 二、 脉冲增量插补算法
逐点比较法是这类算法最典型的代表，它是一种最早的插补算法，该法的原理是：CNC系统在控制过程中，能逐点地计算和判别运动轨迹与给定轨迹的偏差，并根据偏差控制进给轴向给定轮廓靠扰，缩小偏差，使加工轮廓逼近给定轮廓。
1. 逐点比较法加工的原理（直线）
直线: Fm = Xe *Ym - Ye * Xm
Fm＞0 在直线上方，+X向输出一步 Fm＝0 在直线上 +X向输出一步Fm＜0 在直线下方，+Y向输出一步
2. 逐点比较法加工的原理（圆弧）
圆弧: Fm = Xm2 +Ym2 - R
Fm＞0 在圆外， -Y向输出一步
Fm＝0 在圆上， +X向输出一步
Fm＜0 在圆内， +X向输出一步
(Xe，Ye)
(Xm，Ym) Y
直线 X
R
X Y
(Xm，Ym)
圆 弧 偏差判别
终点判别 进给输出 偏差计算
终点到退出 逐点比较法工作过程图 第三章 插补原理及控制方法
30 第二节 刀具半径补偿原理
一 . 刀具半径补偿的基本概念
1. 什么是刀具半径补偿(Tool Radius Compensation offset)
根据按零件轮廓编制的程序和预先设定的偏置参数，数控装置能实时自动生成刀具中心轨迹的功能称为刀具半径补偿功能。
2. 刀具半径补偿功能的主要用途
实现根据编程轨迹对刀具中心轨迹的控制。可避免在加工中由于刀具半径的变化(如由于刀具损坏而换刀等原因)而重新编程的麻烦。
刀具半径误差补偿，由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具半径的变化，也不必重新编程，只须修改相应的偏置参数即可。
减少粗、精加工程序编制的工作量。由于轮廓加工往往不是一道工序能完成的，在粗加工时，均要为精加工工序预留加工余量。加工余量的预留可通过修改偏置参数实现，而不必为粗、精加工各编制一个程序。
3. 刀具半径补偿的常用方法：
B刀补：有R2 法，比例法，该法对加工轮廓的连接都是以园弧进行的。如图示，其缺点是：
在外轮廓尖角加工时，由于轮廓尖角处，始终处于切削状态，尖角的加工工艺性差。
在内轮廓尖角加工时，由于C”点不易求得(受计算能力的限制)编程人员必须在零件轮廓中插入一个半径大于刀具半径的园弧，这样才能避免产生过切。
这种刀补方法，无法满足实际应用中的许多要求。因此现在用得较少，而用得较多的是C刀补。
C刀补
它的主要特点是采用直线作为轮廓之间的过渡，因此，它的尖角性好，并A’ B’ C”
C B A G41
刀具
G42 刀具
编程轨迹
刀具中心轨迹 C’ 第三章 插补原理及控制方法
31 且它可自动预报(在内轮廓加工时) 过切，以避免产生过切。
.刀具半径补偿的工作过程
刀补建立
刀补进行
刀补撤销。
4. C 机能刀具半径补偿的转接形式和过渡方式
转接形式
在一般的CNC装置中，均有园弧和直线插补两种功能。而C机能刀补的主要特点就是来用直线过渡，由于采用直线过渡，实际加工过程中，随着前后两编程轨迹的连接方法的不同，相应的加工轨迹也会产生不同的转接情况：
直线与直线
园弧与直线
直线与园弧
园弧与园弧
过渡方式
轨迹过渡时矢量夹角α的定义：
指两编程轨迹在交点处非加工侧的夹角α
根据两段程序轨迹的矢量夹角α 和刀补方向的不同，又有以下几种转接过度方式： 起刀点 刀补建立 刀补进行 刀补撤销 编程轨迹 刀具中心轨迹
α
刀具中心轨迹 编程轨迹 非加工侧
加工侧 α
非加工侧 编程轨迹 刀具中心轨迹 加工侧 第三章 插补原理及控制方法
32 缩短型：矢量夹角α≥180°
刀具中心轨迹短于编程轨迹的过渡方式。
伸长型：矢量夹角90°≤α＜180°
刀具中心轨迹长于编程轨迹的过渡方式。
插入型：矢量夹角α＜90°
在两段刀具中心轨迹之间插入一段直线的过渡方式。
3. 刀具中心轨迹的转接形式和过渡方式列表
刀具半径补偿功能在实施过程中，各种转接形式和过渡方式的情况，如下面两表所示。表中实线表示编程轨迹；虚线表示刀具中心轨迹；α为矢量夹角；r为刀具半径；箭头为走刀方向。表中是以右刀补（G42）为例进行说明的，左刀补（G41）的情况于右刀补相似，就不再重复。
刀具半径补偿的建立和撤消
刀具半径补偿的进行过程
形式 转接
夹角 矢量
刀补建立（G42） 刀补撤消（G42）
直线 ---- 直线 直线 ---- 圆弧 直线 ---- 直线 圆弧 ---- 直线 过渡方式
α≥180o 缩
短
型
90o≤α＜180o 伸
长
型
α＜90o 插
入
型
rα α
rrα α
rα rrα α
rrα
rα α
rα
rα
r刀 补 进 行（G42）
直线 ---- 直线 直线 ---- 圆弧 圆弧 ---- 直线 圆弧 ---- 圆弧 过渡方式
α≥180o 缩
短
型
90o≤α＜180o 伸
长
型
α＜90o 插
入
型
rα rα
rα
rα α α α α
rα
rα
rα α
r