1 卫星或飞船的跟踪测控模型 摘要 本文就卫星或飞船的跟踪测控问题进行了研究。在以“全程跟踪测控”为基本原则下，先分别对测控站与卫星或飞船的运行轨道共面，卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角等不同情况，建立了相应的模型。然后运用立体几何，空间曲面分布等相关知识计算，得出合理的测控站个数。最后就神七测控站对其所能测控的范围进行了分析。
对问题一：当所有测控点都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，只研究卫星或飞船进入稳定轨道之后正常运行的跟踪测控，先把卫星轨道和地球看成是两个同心圆，建立测控站个数n与卫星轨道高度H之间的模型。然后利用正弦定
理sinsinRHR求解得：最少监控站[]12n。 对问题二：当卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度一定高度运行的情况下，先分析出只需测控南纬与北纬之间的带状区域内，就可以实现对此卫星的全程测控。然后分别求解得卫星或飞船飞行的区域所
覆盖的全面积S24()sinRH，每个测控站的可观测范围面积（近似取其内
接正六边形对应的曲面面积）1332LSSp=，最后面积比并代入神舟七号飞船的相关数据得出监控站的最小个数：4sin[][]33(1cos())LSnSpqa===-45。 对问题三：首先通过互联网收集了神七的相关资料，将测控站在一定高度上的可测控区域投影到地球上，利用麦卡托投影法建立地球经度纬度的坐标系，确
定了神七各站点的方程后，用蒙特卡罗算法计算出了可测控范围为：17.3%h=。
关键词：跟踪测控 正弦定理 麦卡托投影 蒙特卡罗算法 2
1 问题重述 1.1问题背景 卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。 测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。
1.2问题提出 利用模型分析卫星或飞船的测控情况，解决以下问题： 1、 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？ 2、如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？ 3、 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
2 问题分析 本题在测控设备与地平面夹角在3度以上的条件下，前两个问着重研究以卫星和飞船的全程跟踪测控为原则时，如何建立和分布使测控站个数最少的问题。第三问在前两个问的探索模型下，通过查找资料和有关数据，计算出实际我国某一个飞船运行时，所设立的测控站的测控范围。
问题1的分析： 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，由于只研究卫星或飞船进入稳定轨道之后正常运行的跟踪测控，所以先把卫星轨道和地球看成是两个同心圆，不考虑地球自转等其它的因素的影响，在测控站的测控范围的边界与
地平面的夹角成3时，建立测控站个数n与卫星轨道高度H之间的模型。然后代入神舟七号飞船的相关数据，求解出至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控。最后为验证求解的测控站个数的合理性，在模型的基础上，分别作椭圆轨道的近、远点到地心的距离为半径的圆检验结果。
问题2的分析： 根据题意，先分析出在地球自转等影响因素下卫星或飞船运行轨迹为星下线。星下线轨迹在地球上的投影是均匀分布在赤道的两边，即南纬与北纬之间。所以只需测控南纬与北纬之间的带状区域内，就可以实现对此卫星的全程测控。然后建立模型求解出卫星或飞船飞行的区域所覆盖的全面积，再求出每个测控站 3
的可观测范围面积，最后面积比得出监控站的最小个数。 问题3的分析： 在问题2的模型思想基础之上，通过查阅资料得知，神七是全经度的遍历运行轨迹，再将神七的飞行区域利用麦卡托投影原理展开为一个以纬度和经度为轴的坐标，对测控神七的16个站点列出其可测控范围的圆方程，最后根据蒙特卡罗原理的思路，通过编程完成对可测控范围（或有效覆盖率）的计算。
3 模型假设 1、假设地球是均匀的球体。卫星或飞船在环绕地球运动时看作质点。 2、假设测控站中的测控设备在测控过程中始终能正常工作。 3、假设测控站与卫星或飞船的运行轨道共面时，不考虑地球自转等影响因素。 4、假设只研究卫星或飞船进入稳定轨道之后正常运行的跟踪测控。 5、假设卫星在太空飞行时不受阻力、电磁波等一切外界干扰条件的影响。
4 符号说明 H：进入预定轨道运行稳定后距离地面表面高度； ：卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面固定的夹角；
n：测控站个数；
R：地球半径； ：圆心角；
S：卫星或飞船飞行的区域所覆盖的全面积；
1S：每个测控站的可观测范围面积；
LS：正六边形面积；
h：测控站点对神七所能测控的范围。
5 模型的建立与求解 5.1问题一的模型求解 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下， 为使测控站能对其进行全程跟踪测控，现采用几何分析法建立相应模型如下： 由于只研究卫星或飞船进入稳定轨道之后正常运行的跟踪测控，现把卫星轨道和地球看成是两个同心圆，不考虑地球自转等其它的因素的影响，在测控站的
测控范围的边界与地平面的夹角成3时，建立测控站个数n与卫星轨道高度H之间的模型。 4
由题意作图1得：OA=R,OB=R+H,AOB=,OBA=，OAB==093 结合正弦定理得：sinsin2[]2RHRn （1） 图1 卫星或飞船进入稳定轨道的运动图 sinarcsinRRH 代入神舟七号飞船的相关数据：H=343(公里), 地球半径R=6371（千米）
利用Matlab计算得：71.3720o o15.6280 11.5178n 即：至少应该建立12个测控站才能对其进行全程跟踪测控。
模型检验： 由于实际上卫星或飞船的运行轨道是椭圆，为验证求解的测控站个数的合理性，所以在模型的基础上，分别作椭圆的近、远点到地心的距离为半径的圆分析讨论。 （1）以地心0为圆心，轨道近地点到地心距离H+R为半径作圆（如图2）。
由右图2可得：此圆包含在椭圆区域内。此时，监控器若能监控到周围及其他外空域，则一定能监控到椭圆及外空域。因此，可以在地球上均匀建站监控整个圆。
图2 近地点到地心为半径的运动图 同理，将近地点的相关数据：H=200(公里), 地球半径R=6371（千米）代入（1）式得：o75.5199 o
11.4801 15.6793n
即：在近地点需建立16个测控站。 （2）以地心0为圆心，轨道远地点到地心距离'H+R为半径作圆（如图3）。 5
由右图3得：对应远地点圆包含了椭圆区域。此时，只能监控到大圆周及其外空域，而不能监控整个椭圆。现在地球上均匀建站监控整个圆周。
图3 远地点到地心为半径的运动图 同理，将远地点的相关数据：H=350(公里), 地球半径R=6371（千米）代入（1）式得：o 71.1957 o
15.8043 11.3893n
即：在远地点需建立12个测控站。
即：当运行的轨道为椭圆时，要进行全程跟踪的监测站最小个数应该在12与16之间。 综上所述：所求得神舟七号飞船的测控站至少12个满足椭圆轨道对应的监测站个数范围，所以此模型合理。
5.2问题二的模型求解 当一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行，考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，所以在地球自转等影响因素下卫星或飞船运行轨迹为星下线 由图4观察可得出：星下线轨迹在地球上的投影是均匀分布在赤道的两边，即南纬与北纬之间。所以只需测控南纬与北纬之间的带状区域内，就可以实现对此卫星的全程测控。 图形分解如下： 6
图4 卫星或飞船的运行分解图 现根据图分析求解出卫星或飞船飞行的区域所覆盖的全面积S：
2211
2222
222()12()()xxxxxSRHxdxRHdxRHx
24()sinRH （1）
对于每个测控站所能测控的范围实际上是一个圆锥形球面，在这锥形球面上可得一个最大圆，利用这个圆去截图4中卫星的飞行区域的球面，得到一个实际该站所能测控的有效测控锥形球面，我们再对此球面进行分割，近似取其内接正六边形对应的曲面为测控站的有效测控面积如下图5所示：