《电气自动化）２ｏ１３年第３５卷第３期 控制理论及其应用 ＣｏｎｔｒｏＩ Ｔｈｅｏ￣＆Ｉｔｓ Ａｐｐｉｉｃａｔｉｏｎｓ
输入输出个数不等系统的模型跟踪控制 黄莹，陈恩策，唐厚君 （上海交通大学电气工程系，上海２００２４０）
摘要：对于输入输出个数不相等的系统，传统的模型跟踪控制方法控制率算法失效。在深入分析传统模型跟踪控制方法的基础上， 提出了补零的方法，并应用广义逆矩阵理论，在不改变原方法的基础上，解决了矩阵阶次不同无法相加和非方阵求逆问题，又 对输入个数小于输出个数的系统加入了移相器，成功地实现了对输入输出个数不相等系统的模型跟踪控制。最后在ＭＡＴ— ＬＡＢ／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ上构建仿真系统，验证了方法的有效性。 关键词：控制理论；模型跟踪；广义逆矩阵；控制算法；补零 ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ・ｉｓｓｎ．１０００－３８８６．２０１３．０３．００２ ［中图分类号］ＴＰ１３ ［文献标志码］Ａ［文章编号］１０００—３８８６（２０１３）０３—０００４—０２
ＭｏｄｅＩ Ｆｏｌｌｏｗ ＣｏｎｔｒｏＩ ｏｆ Ｕ ｎｅｑｕａＩ Ｉ ｎｐｕｔ ａｎｄ ０ｕｔｐｕｔ Ｓｙｓｔｅｍ
ＨＵＡＮＧ Ｙｉｎｇ．ＣＨＥＮ Ｅｎ．ｃｅ．ＴＡＮＧ Ｈｏｕ－ｊｕｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｊｉａｏ Ｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２４０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｕｎｅｑｕａｌ ｉｎｐｕｔ ａｎｄ ｏｕｔｐｕｔ，ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ Ｍｏｄｅｌ Ｆｏｌｌｏｗ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｉｎｖａｌｉｄ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎ—ｄｅｐｔｈ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｉｌｌｉｎｇ ｚｅｒｏｓ，ａｎｄ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ，ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｔｗｏ ｐｒｏｂｌｅｍｓ：１）ｍａｔｒｉｃｅｓ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｏｒｄｅｒｓ ｃａｎ’ｔ ｂｅ ａｄｄｅｄ，ａｎｄ ２）ｎｏｎ—ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ｄｏｎ’ｔ ｈａｖｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｎｅ．Ｗｈａｔ’Ｓ ｍｏｒｅ，ａ ｐｈａｓｅ ｓｈｉｆｔｅｒ ｉｓ ａｄｄｅｄ ｔｏ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｌｅｓｓ ｉｎｐｕｔ ｔｈａｎ ｏｕｔｐｕｔ，ｗｈｉｃｈ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ ａｃｈｉｅｖｅｓ ｔｈｅ Ｍｏｄｅｌ Ｆｏｌｌｏｗ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｏ ａｌｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｕｎｅｑｕａｌ ｉｎｐｕｔ ａｎｄ ｏｕｔｐｕｔ．Ａｔ ｌａｓｔ，ａ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｂｕｉｌｔ ｏｎ ｔｈｅ ｐｌａｔｆｏｒｍ ｏｆ ＭＡＴＬＡＢ ＳＩＭＵＬＩＮＫ，ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ；ｍｏｄｅｌ ｆｏｌｌｏｗ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍａｔｒｉｘ；ｃｏｎｔｒｏｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｆｉｌｌｉｎｇ ｚｅｒｏｓ
Ｏ 引 言 模型跟踪控制ＭＦＣＳ（Ｍｏｄｅｌ Ｆｏｌｌｏｗ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｙｓｔｅｍ）是控制理 论的一个重要领域，可以应用到智能转向汽车 Ｊ、发动机燃油控 制系统 等。但是，由于输入输出个数不相等的系统中，状态空 间矩阵不是方阵的限制，导致传统的模型跟踪控制只适用于输入 个数等于输出个数的情况。 为此，本文首先分析了传统模型跟踪控制方法的局限性，提 出了所遇到的问题，然后针对两个问题一一提出解决方案，最后 在以两个系统为例，在ＭＡＴＬＡＢ／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ上搭建仿真平台，进行 验证。特别对输入个数小于输出个数的系统，在所提的解决方案 的基础上，增加了移相器，使得改进后的方法适用于任意输入与 输出个数与输出个数不等的系统（满足可控可观和相对阶次的 前提条件）。 １模型跟踪控制 对于状态空间线性系统模型跟踪控制 Ｊ，被控对象模型为： 枷“ ㈩
参考模型为： ｒ ＝Ａ ＋Ｂ ｒ １ ，１ Ｙ Ｌｍ
其中 （ｔ）∈Ｒ 为状态变量，Ｕ（ｔ）∈Ｒ～‘为控制输入，Ｙ（ｔ）∈ Ｒ 为控制对象的输出， （ｔ）∈Ｒ ，ｒｍ（ｔ）∈Ｒ ，状态矩阵的维 数分另０为Ａ ＥＲ ，ＢＥＲ ，Ｃ∈Ｒ 。 控制率的最终表达式为： Ｕ（ｔ）＝一 Ｑ （ｓ）｛Ｄ （ ）Ｒ（ｓ）ｍ（ ）一Ｑ（ｓ）Ｎ ｝ （ｔ）一 Ｑ （ｓ）Ｓ（ｓ）ｙ（ｔ）＋ Ｑ （Ｓ）Ｔ（Ｓ）Ｎｍ（ｓ）ｒｍ（ｔ） （３） Ｎ（ｓ）和Ⅳ，（ｓ）由以下式得到： Ⅳ（ｓ）＝Ｃ（ｓｌ—Ａ） ＢＤ（ ） （４） Ｎ（ｓ）＝ｄｉａｇ（Ｓ ）Ｎｒ＋ （ｓ） （５） ｏｒ 是Ｎ（ｐ）各行元素的最高次数， 贝０知：Ｎ（Ｓ）∈Ｒ ，Ｎｒ（Ｓ）∈Ｒ ２遇到的问题 如果输入个数不等于输出个数，即ｌ≠ｍ，则在用式（３）中计 算控制率时，会遇到以下两个问题： （１）由于Ⅳ，为ｌ×ｍ的矩阵，不是方阵，不存在逆矩阵； （２）由于ｕ（ｔ）为ｍ×１矩阵，Ｙ（ｔ）为ｌ Ｘｌ矩阵，不同阶数矩 阵不能相加。 此时，控制率计算公式（３）失效。 （２） ３解决方法
３．１广义逆矩阵的引入
收稿日期：２０１２—０８—０６ 基金项目：２００９年度上海高新技术产业化重点项目（０９—６２１—００６）
４ ＥｌｅｃｔｒｉｃａＩ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ
为了解决第一个问题，我们引入广义逆矩阵。 广义逆矩阵是对逆矩阵的拓展，目前，运用比较广泛的是 Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆矩阵 ，其中比较简单的求广义逆矩阵的 控制理论及其应用 ＣｏｎｔｒｏＩ Ｔｈｅｏ￣＆Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
方法是满秩算法： 设Ａ＝ＬＲ Ｃ “的秩为ｒ，其中 为列满秩矩阵，Ｒ为行满秩 矩阵，则： Ａ ＝Ｒ ￡ ＝Ｒ （ＲＲ ）－。（三 三） ￡ （６） Ａ 是Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆的原始记号，称为“加号逆”。 ３．２输入／输出补零法 为了解决第二个问题，且不改变原方法，我们用补零的方法， 将系统变为输入输出个数相等的系统。具体方法如下：假设输入 个数大于输出个数，即ｍ＞ｚ，则应对输出进行补零，对应的输出 矩阵也要补零。
ｃ＝ 『术１ Ｙ：ｌ；ｌ—Ｙ＝ 【 Ｊ
Ｚ×１
串１ ｉ ｌ— Ｙ＝ Ｊ
０ ｉ ０ …
… ０ … ０
０ … ０
ｍ—Ｚ （７） １ Ｉ（ｍ—ｚ）×凡 Ｊ
（８） 如果输出个数大于输入个数，则用类似的方法进行补零。 ４仿真分析 ４．１多输入一单输出系统 多输入一单输出系统电路图如图ｌ所示。
图１多输入一单输出系统 选电感电流ｉ ｉ 电容电压ｕ∞作为状态变量，根据基尔霍 夫电流定律和电压定律 ，得到：
ｄ ］ ０一 ０ ０ 以ｉ 。作为输出量，则有： ｒ ｉ￡ｌ１ ７ －＝ｅ 。。 ｌ Ｉ ［ ］＝［ Ｌ
ｃ３Ｊ 为了计算方便，假设： Ｌｌ＝Ｌ２＝１ Ｈ，Ｃ３＝１ Ｆ，Ｒ４＝Ｒ５＝２ ｎ得
《电气自动化）２０１３年第３５卷第３期 ｃ＝ 然后即可依照原方法进行模型跟踪控制的设计。得到控制率为 ２ ：± ：± ± ：（ ！± ２（ ± ！ （５＋１） Ｏ （ｓ＋１） ０ ｆ盟 等等 。 ＋
【 ０ Ｏ Ｊ
【 ¨
在ＭＡＴＬＡＢ／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ平台上搭建仿真 ，如图２所示。 （１２）
示瓷■ 图２多输入一单输出系统仿真结构 其中，粗线表示多维信号，细线表示单维信号。仿真结果如 图３所示。
， ｉ－＿ ，、 一 ：一：二 芏 ． … … ＼／ ＼／
ｉ谩差 ０ ｉ ｉ
图３双输入一单输出系统仿真波形 由于三角波的尖峰处不可导，故在尖峰前后，误差较大，但是 在三角波干扰撤去后的第１０ ｓ开始，系统误差接近于零，可以非 常好的跟踪上参考模型。 ４．２单输入一多输出系统 单输入双输出系统电路图如图４所示。 同样，应用补零的方法，以及广义逆矩阵理论，可以得到系统 的控制率。搭建仿真模型，得到波形见图５。 （下转第３２页）
ＥｌｅｃｔｄｃａＩ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ ５
—０ ｒ●●●【 ０ ．Ｏ
＝
Ａ Ｊ ＝ 。。 《电气自动化｝２０１３年第３５卷第３期 电源技术 Ｐｏｗｅｒ Ｓｕｐｐｌｙ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ
３实验结果分析与结论 为了考察ＳＰＷＭ调制法的效果，实验记录了在开环控制下 电路的输出电压波形，其结果如图８所示。 从输出电压波形可以看出，在开环控制的情况下，采用该ｓＰ— ＷＭ调制法下所得到输出电压具有很好的正弦度。实验结果表 明，此方法能够避免了单极性ＳＰＷＭ调制法中电压过零点振荡 的问题，同时保留了单极性ＳＰＷＭ算法的优点，输出电压中的谐 波分量小；且易于在ＤＳＰ中实现，证明了该ＳＰＷＭ调制方法具有 一定的实际应用价值。
￡１ 图８开环控制下改进型单极性ＳＰＷＭ调制法的实验波形（左） 闭环控制下逆变电源带电阻性负载的输出电压波形（右） ４ 结束语
基于ＤＳＰ的数字控制正弦波逆变电源的电路的设计，以 ＴＭＳ３２０ＬＦ２４０７ ＤＳＰ芯片为核心，针对逆变电源控制系统硬件电路 进行了参数设计，对推挽正激电路和全桥逆变电路的工作原理和
（上接第５页） 图４单输入一双输出系统模型 图５单输入一双输０３仿真波形 由图５可以看出，第一组输出可以跟踪上，但是第二组输出 只可以跟踪幅值，却总是相差一个相位。其原因是这样的，即使 是纯线性系统，当输入个数小于输出个数时，也无法完全跟踪控 制，举例来说，两系统如下： Ｙ≥ 这样，无论如何，都无法实现跟踪。也就是说，只有参考模型 和被控对象满足一定比例关系的系统，才能够实现跟踪控制。或 ３２ ＥｌｅｃｔｒｉｃａＩ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ 数学模型进行了深入的分析研究，并讨论了基于ＴＭＳ３２０Ｌｇ２４０７的 ＳＰＷＭ调制方法的数字实现。在理论研究的基础上，搭建了正弦 波逆变器实验样机来验证理论和设计方法的科学性和合理性。实 验表明，此设计方案成熟可靠，具有很高的实际应用价值。 参考文献： ［１］熊俊峰．单相两级式光伏并网发电系统的设计［Ｄ］．广州：中山大学 硕士学位论文，２０１０：６２—７２． ［２］侯玉宝，欧阳宁，王景芳．基于ＤＳＰ嵌入式技术的无刷直流电动机智 能控制系统的研究［Ｊ］．微计算机信息，２０１２，２９（２）：６９—７１． ［３］李树靖，林凌，李刚．线性光耦合器ＬＯＣ１１０的原理与应用［Ｊ］．世界 电子之器件，２００２，１８（１２）：４４—４６． ［４］ＴＡ１７／ＴＡ１７Ｌ中文手册［Ｓ］．北京耀华德昌电子有限公司． ［５］侯典立等．基于推挽正激拓扑的车载电源转换器［Ｊ］．廊坊师范学院 学报（自然科学版），２００８，８（５）：１０—１２． ［６］王剑等．集成功率驱动电路ＩＲ２１１０应用探讨［Ｊ］．机床与液压，２００８， ３６（７）：３９８—３９９． ［７］何海华．电动汽车用光伏充电控制系统研制［Ｄ］．广州：中山大学硕 士学位论文，２０１１：４６—５１． ［８］张蓉．数字控制ＳＰＷＭ逆变器研究［Ｄ］．南京：南京航天航空大学硕 士学位论文，２００６：１５—２０． ［９］赵青，范洪峰，吕征宇．单极性ＳＰＷＭ的两种控制方法与过零点输出 特性比较［Ｊ］．电源技术应用，２００４，７（３）：１３３—１３７． 【作者简介】宋冬冬（１９８１一）男，河北人，工学硕士，讲师，电气工程及其 自动化专业。主要从事电力系统、智能检测与自动控制方面的研究工作。 者，可以用模型跟踪控制＋移相器，完成整个系统准确的跟踪。 ５ 结束语 根据以上讨论，可知，要对多输入一多输出系统进行模型跟 踪控制时，应根据输入输出个数选取不同的方法： 当输入个数等于输出个数时：可以直接运用跟踪控制方法进 行运算设计； 当输入个数大于输出个数时：首先对输出进行补零，再对控 制率进行计算时，应用Ｍｏｏｒｅ．Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆矩阵理论求逆； 当输入个数小于输出个数时：运用上述步骤，可以跟踪上与 输入个数相等的输出，其他维输出需要设计适当的移位器。 参考文献： ［１］曾长操，刘奋，张建武．智能转向汽车的模型跟踪控制［Ｊ］．上海交通 大学学报，２００３，３７（１１）：１７６３—１７６６． ［２］王道波，刘爱萍．采用自适应模型跟踪控制的发动机燃油控制系统 含实物仿真［Ｊ］．南京航空航天大学学报，１９９８，４３（１）：２９—３５． ［３］唐厚君，韩正之，尚宇辉，等．广义线性系统模型跟踪控制的新方法 ［Ｊ］．信息控制，２０００，２９（３）：１９８—２０４． ［４］张跃辉．矩阵理论与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１１：２１２