第39卷第1期 辽宁工业大学学报(自然科学版) Vol.39, No.1 2019年2月 Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition) Feb. 2019

收稿日期：2018-10-12 基金项目：机械结构力学及控制国家重点实验室开放基金(MCMS-0217G02) 作者简介：王伟涛(1994-)，男，浙江台州人，硕士生。 卿 海(1979-)，男，江苏南京人，教授，博士。 优先出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/21.1567.T.20181212.1551.004.html DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.01.015

基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论

王伟涛，卿 海

（南京航空航天大学，机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏 南京 210016）

摘 要：随着微结构的特征尺寸减小力学性能将会随着尺寸的改变而改变。使用修正后的偶应力理论以及

表面弹性理论提出了一种新的正弦剪切变形梁模型。控制方程、初始条件以及边界条件可以通过汉密尔顿准则

推导得到。首先用Navier方法求出两端简支微梁在静力弯曲下的解析解。然后用微分求积法求出两端简支微梁

在静力弯曲下的数值解。将两者相比较以验证微分求积法的准确性。再用微分求积法来研究不同边界条件对尺

度效应的影响。结果表明微尺度梁表现出与宏观梁完全相反的材料特性，具有尺度效应。梁的尺寸大小以及表

面层的厚度决定了尺度效应的程度。

关键词：表面能；汉密尔顿准则；修正后偶应力理论；微分求积法

中图分类号：O343 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2019)01-0063-05

Modified Beam Theory Based on Couple Stress

and Surface Elasticity Theories

WANG Wei-tao, QING Hai

（Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, State Key Laboratory of Mechanical Structure Mechanics and Control, Nanjing 210026, China） Abstract: As the feature size of the microstructure decreases, the mechanical properties will

change as the size changes. In this paper, a new sinusoidal beam model incorporating both

microstructure theory and the surface energy effects is developed by using a modified couple stress

theory and the surface elasticity theory. Governing equations, initial conditions and boundary conditions

are derived by using Hamilton’s principle. The static bending problem of a simply supported micro scale

beam is solved by analytical solution called Navier solution. The differential quadrature element method

is used to numerically solve the static bending problems of a simply supported micro scale beam. Then

the results of Navier method are compared with differential quadrature element method to verify the

validity of differential quadrature element method. The differential element quadrature element method

is used to numerically solve the static bending problems of a micro scale beam in different boundary

conditions. The results show that the micro-scale beam exhibits completely opposite material properties

to the macro-beam and has a scale effect. The size of the beam and the thickness of the surface layer

determine how the scale effect behaves.

Key words: surface energy; Hamilton’s principle; modified couple stress theory; differential

quadrature element method

小型结构单元比如梁，板和壳通常用作微米和

纳米尺寸机电系统（MEMS和NEMS），传感器，执行器和原子力显微镜的组件。实验表明这种微尺

度结构在力学行为上存在尺度效应。由于对微尺度64 辽宁工业大学学报(自然科学版) 第39卷

结构进行实验研究性能比较困难，通常用数值计算

方法或者解析方法进行对微尺度效应的研究。因

此，高阶连续介质力学方法被广泛应用于微尺度结

构建模。高阶连续理论的发展可以的追溯到19世

纪Piola[1-2]最早的作品和Cosserat在1909年的工

作。然而，直到20世纪60年代，Cosserat兄弟的

想法已经受到研究人员的广泛关注，并且发展出了

许多高阶连续理论。一般来说，这些理论可以分为

三种不同理论即应变梯度理论[3-4]，偶应力理论[5-6]

和非局部弹性理论[7-8]。

使用修正后的偶应力理论，Park和Gao[9]利用

最小势能原理下的变分原理研究了欧拉-伯努利悬

臂梁的静态弯曲。Kong等人[10]应用了修正后的偶

应力理论和汉密尔顿准则推导出了两端简支以及

悬臂的欧拉-伯努利梁在自由振动下的控制方程、边

界条件以及初始条件。基于应变梯度理论以及变分

原理，Kahrobaiyan[11]等人基于尺度效应提出了功能

梯度欧拉-伯努利梁模型。通过修正后的应变梯度弹

性理论，Liang等人[12]基于汉密尔顿准则推导出了

欧拉-伯努利梁的欧拉-拉格朗日方程以及相应的边

界条件。Nguyen[13]等人提出了用非局部欧拉伯努利

梁模型求解不同边界下的功能梯度梁的静弯曲分

析的解析解。 表面能效应在研究微尺度效应上也

十分重要。Gurtin 和 Murdoch[14-15]首先提出了用基

于薄膜理论的表面能效应研究界面的数学框架。存

在表面应力的界面被用薄膜来模拟，这种薄层只能

承受面内应力，而没有弯曲刚度。在过去的10年

里，这个理论已经受到重大的关注，并已针对纳米

固体或结构做了许多研究。本文使用修正后的偶应

力理论以及表面弹性理论提出了一种新的正弦剪

切变形梁模型。这种梁模型可以描述微尺度效应以

及表面能效应。控制方程、初始条件以及边界条件

可以通过汉密尔顿准则推导得到。首先用Navier方

法求出两端简支微梁在静力弯曲下的解析解。然后

用基于赫米特插值法的微分求积法求出两端简支

微梁在静力弯曲下的数值解。将两者相比较以验证

微分求积法的准确性。再用微分求积法来研究不同

边界条件对尺度效应的影响。

1 公式推导

在修正后偶应力理论中，材料的应变能密度不仅与应变张量ij相关，还和对称旋转梯度张量ij

有关。对称旋转梯度张量ij定义为

,,1()2ijijji (1) 其中，i为旋转张量，并且定义为

,12iijkkjeu (2)

基于修正后偶应力理论，本构关系可以表示为

22

2ijkkijij

ijijml



 (3)

其中，ij为应力张量，ijm为高阶应力张量。为

体积模量，为剪切模量，l为材料内禀特征尺度

常数。 基于Gurtin-Murdoch的表面弹性理论，表面层

的本构关系可以表示为：

,

,,,33,[()]

()()ssssssssssu

uuunu





 (4)

其中，s为表面体积模量，s为表面剪切模量，s

为表面残余应力，根据Wang和Feng[16]的假设以及杨-拉普拉斯方程，可以得到梁内部和表面之间的应力变化关系：

33333

330ssssnu





 (5)

根据正弦剪切变形理论的基本假设，图1中梁

的位移场可以表示为如下形式：

0s1

2

3π()-z+cos()π

()0

()()hazux,twh

ux,t

ux,twx,t



(6) xozyLhb 图1 微梁模型 在该正弦剪切变形梁模型中，梁表面膜的厚度为sh，并且令01/sah。可以计算得出非零应变分

量为：

0s11

0s13π-z+cos()

πsin()hazwh

azwh

 (7)

根据式(3)，梁内的应力张量可以表示为

s0s11

1313s0πsin()π(2)z+cos()π(1)

πsin()zwhazhwh

zawh

(8) 非零旋转梯度张量可以由式(1)计算得到