（一） 直齿圆柱齿轮传动的扭转振动模型
若忽略传动轴的扭转变形，只考虑齿轮副处的变形，则得到最简单的扭转振动模型，如图1所示。其中rb1、rb2为主从动齿轮的基圆直径，kv为齿轮副的综合啮合刚度，并且考虑齿轮副的啮合阻尼系数cv以及齿廓误差e的作用，主动轮上作用与转动方向相同的驱动力矩T1，从动轮上作用与转动方向相反的阻力矩T2
图1 齿轮副的扭转振动模型
啮合线上的综合变形δi可写为：
1122ibbirre (1)
设重合度小于2，啮合齿对为i，法向啮合力可以表示为：
11221122iviiviivibbivibbiiiiFFkckrrecrre (2)
式中：i为参与啮合的齿对序号，i=1,2；kvi、cvi为齿对i在啮合点位置的综合啮合刚度和阻尼系数。
主、从动齿轮的力矩平衡方程为：
12111222bbJTrFJTrF (3)
将(2)带入(1)中得到：
111112211221222112211222bvibbivibbiibvibbivibbiiJrkrrecrreTJrkrrecrreT (4)
由此式可看出，即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定，由于时变综合刚度kv的变化，也会使从动轮的转动出现波动，即造成齿轮的圆周振动。为了方便讨论时变综合刚度kv对振动方程(4)的影响，定义啮合线上两齿轮的相对位移x为：
1122bbxrr (5)
不考虑齿轮传动的效率，齿轮的静态啮合力为：
12012bbTTFrr (6)
将式(5)、(6)带入方程(4)中，则可将其简化为一元微分方程：
evvdmxcxkxF (7)
式中，me称为系统的当量质量： 12222112ebbJJmJrJr (8)
激振力为：
0dviiviiiiFFceke (9)
根据方程(9)可以将一对齿轮的振动视为单自由度系统的振动，如图2所示。可以看出时变综合刚度kv和齿廓误差ei都是随时间变化的量，也即是齿轮系统的刚度激励和误差激励。
图2 齿轮传动的单自由度模型
与方程(7)对应的系统的固有频率可以表示为：
1122vivneekkfmm (10)
（二） 直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析
在不考虑齿面摩擦的情况下，典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型如图4所示。
图4 直齿轮齿轮副耦合振动模型
齿轮的动态啮合力Fp为：
pkcmpgpgggmpgpgggFFFkyRyRecyRyRe(12)
推出系统的分析模型为： pppyppyppppPppgggyggyggpgggggpggmycykyFIFRTmycykyFFIFRTFRT
（三） 考虑摩擦直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析
考虑齿面摩擦时的分析模型，如图5所示。系统变成6自由度的二维平面振动系统。
图5 考虑齿面摩擦的直齿轮齿轮副振动模型
齿轮副的动态啮合力仍为式(12),而齿面摩擦力可近似表示为：
fpFfF
式中，f为等效摩擦系数；λ为轮齿摩擦力方向系数，Ff沿x正方向时取为“+1”，反之取为“-1”。
图6 根据图6可建立系统的分析模型为：
tantanpppxppxpfpppyppyppppPppfpgggxggxgfgggyggygpgggggfgmxcxkxFmycykyFIFRTFRHmxcxkxFmycykyFIFRTFRH
（四） 直齿轮-转子系统扭转振动模型
在对一对齿轮副建模的基础上，再考虑到传动轴的扭转刚度以及原动机和负载的转动惯量，从而形成了齿轮-转子系统扭转振动问题，其动力学模型如图3所示。
图3 齿轮转子系统扭振模型
对该力学模型所示的振动系统，如果不考虑传动轴的质量，将原动机、主被动齿轮和负载可分别处理为4个集中转动惯量的元件，因而是4自由度扭转振动系统，从而建立如下的振动微分方程：
00101101111110110122323323233332332300ddICKTICKrTICKrTICKT
式中，I0、I1、I2、I3分别为4个质量的转动惯量；C1、C2分别为主、被动连接轴的扭转阻尼；K1和K3分别为主、被动连接轴的扭转刚度；T1和T2分别为原动机和负载上的扭矩；F为轮齿动态啮合力。
根据式(2)可知Td为：
11221122dmmTCrreKrre
整理后可得齿轮转子扭转振动微分方程：
MCKP
其中0123 T 0123IIMII 1121111222132333000000mmmmKKKKKrrrKKrrKKKrKKK
1121111222132333000000mmmmCCCCrCrrCCrrCCrCCCC 111223mmmmTCrerKePCrerKeT
（五） 斜齿圆柱齿轮副弯—扭—轴耦合分析模型
在斜齿圆柱齿轮传动中，由于轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合分力，因此系统除具有扭转振动和横向振动外，还好引起轴向振动，从而形成齿轮系统的弯-扭-轴耦合振动，一对斜齿轮副的典型动力学模型如图7所示。
图7
如图5.7，设主动齿轮的螺旋角为右旋，螺旋角为β，则啮合点横向振动位移与轴向振动位移间的关系可以表示为：
tanzy
因此，P、G点的振动位移与主动轮广义位移间的关系分别为： tantanpppppppgggggggyyRzzyyyRzzy
已知齿轮啮合的法向刚度km、法向阻尼cm和法向啮合误差e，则相应的有：
sincossincossinsinmxmmymmzmmymzykkkkccccecee
因此，相应的切向动态齿合力Fy为：
..cosymyymyypgpgmpppgggympppgggyFkyyecyyekyRyRecyRyRe
轴向动态啮合力Fz为：
..tantansintantanpgpgzmzzmzzmppppggggzmppppggggzFkzzeczzekzyRzyReczyRzyRe
可推出系统的分析模型为;
pppyppypypppzppzpzppyppgggyggygygggzggzgzgggggmycykyFmzczkzFIFRTmycykyFmzczkzFIFRT
（六） 斜齿圆柱齿轮副弯—扭—轴—摆耦合分析模型
在斜齿圆柱齿轮传动中，由于轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合力，因此系统除具有扭转和横向振动之外，还会引起轴向振动和绕 y 轴的扭摆振动，从而形成了斜齿轮系统的弯-扭-轴-摆耦合振动，在这种情况下，一对斜齿轮副的典型的动力学模型如图 8。这时，系统为一空间三维振动模型。
图8
如图8 所示，设主动齿轮的螺旋角为右旋，其大小为β，则啮合点的横向振动x向和y向，及横向振动y向和轴向振动z向的关系可表示为：
tantancostanntyxyzy
主动轮1中心点O1在啮合点上振动位移与主动轮广义位移之间的关系为:
111111111111111111tantantantantztzzxxyxyRyyRzzyzyR
被动轮2中心点O2在啮合点上振动位移与被动轮广义位移之间的关系为:
222222222222222222tantantantantztzzxxyxyRyyRzzyzyR
若已知齿轮啮合的端面刚度kt、端面阻尼ct,则相应的有：
tantantantanmxttmytmztmxttmytmztkkkkkkcccccc
因此，相应的各向动态啮合力为: 121211112222111122221212112212121122tantantantantantantantanxmxmxmxztztmxztztttzztttzztFkxxcxxkxyRxyRcxyRxyRkxxyyRRcxxyyRR
1212111222111222111222111222ymymymyzzmyzztzztzzFkyycyykyRyRcyRyRkyRyRcyRyR
121211112222111122221212112212121122tantantantantantantantanzmzmamzzzmzzztzztzzFkzzczzkzyRzyRczyRzyRkzzyyRRczzyyRR
因此，系统的分析模型为：
1111111111111111111111111111122222221222222222222xxxxyyyyzzzzzzyyyyyyyzxxxxyyyyzzzzzzmxcxkxFmycykyFmzczkzFIFRTJckFRmxcxkxFmycykyFmzczkzFI222222222yyyyyyyzFRTJckFR