第２８卷第１期 ２ ０ １ １年３月 经 济 数 学
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＩＴＡＴＩＶＥ ＥＣＯＮＯＭＩＣＳ Ｖｏ１．２８，ＮＯ．１
Ｍａｒ．２ ０ １ １
混合分数布朗运动下亚式期权定价 孙玉东，师义民 （西北工业大学应用数学系，陕西西安７１００７２） 摘要运用混合分数布朗运动的Ｉｔ６公式．将几何平均亚式期权定价化成一个偏微分方程求解问 题，通过偏微分方程求解获得了几何平均型亚式看涨期权的定价公式． 关键词 混合分数布朗运动；几何平均型亚式期权；Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ偏微分方程 中图分类号Ｏ２１１．６；Ｆ８３０．９ 文献标识码 Ａ
Ａｓｉａｎ Ｏｐｔｉｏｎ Ｐｒｉｃｉｎｇ Ｍｏｄｅｌ ｉｎ Ｍｉｘｅｄ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｂｒｏｗｎｉａｎ Ｍｏｔｉｏｎ ＥｎｖｌｒｏｎｍｅｎｔｒａＣｔｉＯｎ ｏｒｉｏｎ ｎｍｅｎｔ
ＳＵＮ Ｙｕ—ｄｏｎｇ，ＳＨＩ Ｙｉ—ｍｉｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ。Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ＇ａｎ，Ｓｈａｎｎｘｉ ７１００７２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔＯ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓ．ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｖｅｒａｇｅ Ａｓｉａｎ ｏｐｔｉｏｎ ｗａｓ ｃｈａｎｇｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｙ ｍｉｘｅｄ ＩｔＳ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｔｈｅ ｐｒｉｃｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅ‘ ｏｍｅｔｒｉｅ ａｖｅｒａｇｅ Ａｓｉａｎ ｃａｌｌ ａｎｄ ｐｕｔ ｏｐｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｍｉｘｅｄ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｂｒｏｗｎｉａｎ ｍｏｔｉｏｎ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｖｅｒａｇｅ Ａｓｉａｎ ｏｐｔｉｏｎ；Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ ｐａｒ— ｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ
１ 引 言 亚式期权作为一种路径依赖期权，是一种新型 期权，其执行与否取决于合同期内股票平均价格的 高低．由于采用平均值可以减少价格波动的所带来 的影响，从而亚式期权比类似的常规期权更便宜，因 此在货币和商品市场中比较流行．亚式期权是一种 依赖标的资产价格路径的期权，它在到期日的收益 依赖于期权整个有效期内标的资产的平均价格，根 据取平均的方法亚式期权可以分为算术平均型和几 何平均型两种类型．笔者主要考虑几何平均亚式期 权．文献［１～２］用偏微分方程的方法，研究了几何 平均型亚式期权定价模型，在求解方程时，为了使得 方程能够求解，假定所涉及的参数均为常数；文献［３ －４］在风险中性测度下采用鞅方法，讨论了几何平 均亚式期权定价问题．但是上诉文献都是布朗运动 下的结论，近些年来，在实际金融市场中由于股票价 格对过去价格具有依赖性；一些学者考虑用分数布 朗运动刻画股票价格的变化［５３，甚至有部分学者开 始用混合布朗运动研究欧式期权 ］．本文假定股票 价格遵循分数驱动的随机微分方程，利用分数布朗 运动随机分析理论，得到了混合分数布朗运动环境 下几何平均型亚式期权价格所满足的Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌ— ｅｓ偏微分方程，并通过求解该偏微分方程给出了亚 式看涨期权的定价公式． ２金融市场数学模型 考虑存在两种可自由、连续进行交易的资产的 无套利和无摩擦市场，Ｂ 表示￡时刻无风险资产的 价格，ｓ 表示风险资产的价格，如股票．本文假设它 们在物理测度下仍满足随机微分方程 ｄＢ ＝ｒｔＢ ｄｔ， （１）
＊ 收稿日期：２０１０—０４－２５ 基金项目；国家自然科学基金（７０４７１０５７）｝西北工业大学研究生种子基金（Ｚ２０１１０７３） 作者简介：孙玉东（１９８３一），男。山东阳谷人，博士研究生 Ｅ－ｍａｉｌ；ｓｕｎｙｕｄｏｎｇｘａ＠１ ６３．ｃｏｍ 一５Ｏ一 经 济 数 学 第２８卷 ｄＳ 一Ｓ （（ 一ｇ１）ｄ ＋ ｌｄｗ ＋ ２ｄＷ，）， （２） 其中参数ｒｔ， 都为时间的函数，他们分别表示银行 短期利率、股票期望回报率，波动项系数盯。和 为 非负常数，Ｗ 是布朗运动，Ｗ 为参数为Ｈ的分数 布朗运动，ｗ 是与ｗ 相互独立．这里假定作为原 生资产的股票支付红利，红利率为ｑ ．设在ｔ时刻 形成投资组合 ＝（ ， ），则投资组合的回报为 一 Ｂ ＋ Ｓ ，并且由自融资策略（即短时间不改变 市场份额）可知 满足 ｄｒ，一－ １ｄＳ ＋ ｄＢ ＋ｇｑ Ｓ ｄｔ．
令Ｊ 一ｅｘｐ｛÷Ｉ Ｉｎ Ｓ ｄｒ）表示股票价格的路径变 量，则路径变量Ｊ 对ｔ求导可得 ｄＪ，一－，ｔｋ， ）．（３） Ｔ—Ｊ————■■——一，・ ０
定理１ 股票价格所满足随机微分方程（２）的 解为
Ｓ ＝Ｓｏｅｘｐ｛ｌ‘（ 一ｑｆ）ｄｒ一譬￡一譬￡ ”＋
ｏｒｌｄＷ，ｎ＋ ｄＷ ）． （４） 证明 记ｆ（ｔ，Ｘ， ）一Ｓｏｅｘｐ｛ｌ（ 一ｑ ）ｄｒ－－ 等￡一 ￡。 ＋ ｚ＋ａ２ｙ｝，由混合分数布朗运动Ｉｔ６ 公式［６］可得 ｄｓ 一ｄｆ（ｔ，ｗ ，Ｗ ）一 （￡，Ｗ ，Ｗ ）ｄｔ＋ （￡，ｗ ，Ｗ ）ｄｗ ＋ （ ，ｗ ，Ｗ ）ｄＷ ＋ 此。 （ ， ， ）出＋去厶（ ， ， ）
一（ 一ｑｔ一 ｝ｚ２ 一０．５ ）厂（￡， ， ）ｄｔ＋ ａｌｆ（ｔ，ｗ ，Ｗ ）ｄｗ ＋ ｆ（ｔ，ｗ ，Ｗ ）ｄＷ ＋ Ｈａ ｔ２Ｈ＿ ｆ（ｔ，Ｗ ，Ｗ ）ｄｔ＋０．５ ｆ（ｔ，Ｗ ， Ｗ ）ｄｔ—ｆ（ｔ，Ｗ ，Ｗ ）（（ 一ｑ ）ｄｔ＋ ｌｄＷ，Ｈ＋ ｄ ）＝Ｓ（（ 一ｇ１）出＋ ｄＶ ＋ ｄ ）． 证毕． 定理２ 混合分数布朗环境下几何平均亚式期 权定价可以化为偏微分方程定解问题： ｆ等＋（ 一ｑ ） 差＋ （ 气 ） ＋
＿｛ （ ＋譬） 。 ３ＺＦ—ｒ，Ｆ一０， ＩＦ（Ｔ，Ｘ，３，）一ｆ（ｘ， ），（ ，Ｘ， ）∈Ｅｏ，Ｔ］× ｌ ｌ ×ｌ ．
证明 像其他的普通的欧式未定权益一样，几 何平均亚式看涨期权都时间和股票价格Ｓ ，但是它 作为一个强路径依赖期权，与普通的欧式期权有着 很大的不同，几何平均亚式看涨期权在当前时刻的 价值还有它过去的价格平均值有关，即它还依赖路 径变量 ．因此，未定权益的价格过程可表示为Ｆ一
ｔ， ｒ，Ｊｔ）．田瓦（４）和琨合分效 朋运动Ｉｔｏ公 式有
ｄＦ（ （等 ｓ ｆ）＋（ 譬一
Ｈａ￣ｔ２Ｈ）Ｓ Ｏ Ｆ（ ））ｄ件 ． ｓ ¨ ｓ ）ｄＷ，￣－４－ ｓ （￡，ｓ ，Ｊ ）ｄｗ ＋（协 ￡２Ｈ－ 十 詈２）（ｓ 磐（￡，ｓ ，Ｊ ）＋ｓ ＯｄＦ （ｄｚ ￡，ｓ ，
厶 口
＝（等 ｓ ＋（ ｓｆｚａＦ（
ｔ ｓ ＋ ａ 、 ’ ‘’ ‘ （Ｈａ２１￡２Ｈ＿ ＋≥２）ｓ ａａ２＿ｚ＿Ｆ
。（￡，ｓ ，Ｊ ）ｄ￡＋
口 ｓ ＯｄＦ
ｚ（ｔ，ｓｔ，Ｊｔ）ｄＷ，ｎ＋ａ２ＳＩ Ｏ
地Ｆ（ｔ
。ｓｔ，Ｊ １）ｄＷｔ．
（５） 因为 ｄＶ，＝ ｄＢ ＋ ｄＳ ＋ｑ，Ｏ￣Ｓ ｄｔ 一 ｒ Ｂ ｄｔ＋ （ Ｓ ｄｔ＋ ｌＳ ｄｗ ＋ Ｓ ｄＷ，） 一（ Ｂ ＋６｝ Ｓ ） ＋ （ａ￣Ｓ，ｄＷ，ｎ＋ Ｓ ）． （６） 那么根据自融资交易策略 —Ｆ（ｔ，Ｓ ，Ｊ。）以及式 （５）、式（６）可得
： ３Ｆ（￡，Ｓ ，．， ），
。＿（ ）一 （ （￡，ｓ，－， ）－－ｑ，Ｓ Ｏ把Ｆ（
，Ｓ｜， ）＋
差 ｓ ｆ）＋（ ＋ 鲁２）ｓ ３ＺＦ（￡，ｓ ，．， ））． 再由 ＝Ｆ（ｔ，Ｓ ，．厂 ）＝ Ｂ ＋ ｓ 知 一 Ｂ （Ｆ（￡，ｓ ，．厂。）－－Ｓ ３ Ｆｚ（￡，ｓ ，．厂 ）），因此得二阶偏
微分方程 ａ－－ －Ｆ ＋（
ｒ，－ｑ，） 差＋ ＋
（Ｈ ＋譬） 。 ３ＺＦ—ｒ Ｆ＝０， 由Ｆ（Ｔ，Ｓ１’，．，Ｔ）一ｆ（ＳＴ，ＪＴ）知，Ｆ（ｔ，Ｘ， ）一ｆ（ｘ， ），（ ， ，ｖ）∈［Ｏ，刀×ｌ ×ｌ ，所以有结论成立．
３ 模型求解 定理３ 几何平均亚式看涨期权在ｔ时刻价格 第１期 孙玉东等：混合分数布朗运动下亚式期权定价 一５ｌ一 可以表示为 Ｆ（ｔ，Ｓ ，Ｊ ）＝Ｖ。．ｑ
．ｒ－‘） ｅｘｐ｛ｒ （Ｔ一￡）一
ｒ）ｄｒ＋ （ Ｈ）十 （Ｔ一
）） （ １）一Ｋｅｘｐ｛－ｌ ｒ（ｒ）ｄｒ） （ｄ２）， 其中 ｄｌ＝ ｛ｌｎ簪 （Ｔ Ｉ）２（１、 ＋（ （
（ ）。（Ｔ一￡）＋（ｄ４）。（ 一ｔｚ ） ｄ２＝ｄｌ一￣／（ 。） （Ｔ一￡）＋（ ） （ｒ 一ｔ ），
＝ｅ冲（了１ ｊ。ｔ
ｌｎＳｒ出）ｒ。
Ｔ一 字出
Ｔ—ｔ （ 一 ） ２（ Ｈ一 Ｈ）．Ｈａ （ 洲一 ）
— 一— 十 万 两’
。 厂１ ４Ｈ（Ｔ２肿 一ｔｚ肿 ） Ｉ Ｈ Ｌ 一 百 十
高 １ Ｔ２ ｔ 。 一茅。．（Ｈ＋）了吨（ 一。“） Ｔ ‘
证明 因为此时考虑具有固定执行价格的几 何平均亚式期权，所以取ｆ（ｘ， ）＝（ —Ｋ） ，令 ｓ： 堂，Ｆ：ｕ（￡，ｓ）， 、 一 … ，
则 瓦８Ｆ＝ ３ｔ＋ 出
Ｔ ， ａ￡ ’ ａ
ＯＦ—Ｔ—ｔ ３Ｕ 一１ ’
从而琨合分效硒朗运动环境卜Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ偏微 分方程化为 ｆａ ｕ ＋（ 。 ＋等）（争）。 ８ｚＵ＋（ 一
一胁｝ｔＺｎ－１一譬，ｃ孚， 一 ＝。 【Ｕ（Ｔ， ）一（ｅｅ—Ｋ） ． 再令 ｃ（ｓ，ｚ）＝ （ ，ｅ）ｅｘｐ｛Ｊ＿ ｒ ｄｒ）， — ＋Ｊ． （ｒｒ一
孕ｒ一 （Ｔ ｚ一亏０－２ｄ （ 一一 ） 手』ｒ一 （Ｔ—ｔ）。一言（Ｔ 一
）＋ （ ＿ｔ２Ｈ＋１）， ｓ一蒜（Ｔ一￡）。一号２（ Ｈ一￡ ）＋
（丁 Ｈ＋ｌ一￡２Ｈ＋ ）一 Ｔ（２Ｈ＋１）一
（Ｔｅｎ＋２一 ２Ｈ＋２）， ２（Ｈ＋１）Ｔ２ ’
则分数跳一扩散环境下Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ偏微分方程可 化为 等一磐，Ｃ（０ ＝ｅｚ－Ｋ）．
根据热传导方程经典解理论，其唯一强解Ｃ（ｓ， ）一 — ｆ Ｕ０（ ）。 ｄ ，将边界条件带人，可得 ２√７ｒｓＪ—ｍ
ｃ（ ）：ｅｚ＋ 西（ 三 ）一 ￣／２ｓ
Ｋ中（ ）， √２
对上述变换进行逆变换可得定理证明． 定理４ 当 一０时可得分数布朗运动环境下 几何平均亚式看涨期权在ｔ时刻价格 Ｃ（ｔ，Ｓ ， ）一（ ：ｓ ） ｅｘｐ｛ｒ。（丁一ｆ）一 ｒｒ（ｒ）ｄｒ＋ （ 一 Ｈ）） （ 一
Ｋｅｘｐ（——－ｆ ｒ（ｒ）ｄｒ） （ ）， 其中
ｄ。一 一 ， 训 ．一 （ 一ｔ２ ）．胁 （ 阱 一 卅 ） ２（Ｔ— ） ‘（２Ｈ＋１）丁（Ｔ一￡）’
Ｈ 一［１－ ＋ Ｈ（ Ｈ＋。一ｔｚＨ＋ ） ７１１２ 了 『二 。