.
. 矩阵的合同变换
摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词:矩阵 秩 合同 对角化
定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ,则积A 与B 等价,记为A B ?
定义2:设A ,B 都是数域F 上的n 阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B
定义3:设A ,B 都是数域F 上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ,使得T P AP B =
那么就说,在数域F 上B 与A 合同。
以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似
因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即12
m P Q Q Q =。
此时71
1T T
T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积
若111
T T T
T m
n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以
A B ?,从而知合同变换是等价变换。
定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩
证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩 定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A
B B P AP -=
1||det ||del I B I P AP λλ--=-
又因为I λ为对称矩阵
所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=-
||I A λ=-
注①合同不一定有相同特征多项式
定理4:如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A 与B 相似且合同 论:设A ,B 为特征根均为12
,n λλλ,因为A 与B 实对称矩阵,所以则在n 阶正 矩
阵,,Q P 使得
112[]Q AQ λλ-=
. . 11[]n P BP λλ-=
从而有11Q AQ P BP --=
11PQ AQP B -=
由11Q Q E PP E --==
从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=
又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=
T QQ = 1QQ -=
E =
1QP -∴为正交矩阵
所以A B 且A B ?
定时5:两合同矩阵,若即PTAP B =,若A 为对称矩阵,则B 为对称阵,而两相似矩阵则不一定有些性质
证明:A B ?即T P AP B =,若对称阵,则T A A =
()T T T B P AP =
T T P A P =
T P AP = B =
所以B 边为对称阵
[注]:相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢?
引理6:对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-,S 为λ的重数.
证明:任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ,以其重数以秩||I A r λ-=,则
||r n s n r s I A λ=-?-=?-1200
0n x x x ????????
????=??????????
??,线性无关的解向量个数为n r -个,即5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
?n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量
?n 阶对称阵可对角化
从定理5,引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点, 如对二次型应用
例 求一非线性替换,把二次型
123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+
. . 二次型`23(,,)f x x x 矩阵为
011103130A ??
??=-??
??-??
对A 相同列与行初等变换,对矩阵E ,施行列初等变换
212103230A -????→-????--??→2
00020006??
??-?
?????
1001111
101110
01101E ????
????→→--????
????????
112233113111001x y x y x y ????
????????=--??????????????????
可把二次型化为标准型
222123123(,,)226f x x x y y y =-+
解法(2)
212103
230A -??
??→-????--??
2101020
22??
??→-??
??--??
2001022022??
????→--????--??
2001002006??????→-??????
此时222
123123
1(,,)262
f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为
. . 11223311321112
001x z x z x z ??-??????
????????=-????????????????
??????
发现在注[1]:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]:在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢? 例3.用可逆性变换化二次型
222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-
解:222
112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+
对二次型矩阵为
6
3336333
6A --????--?
?=??--???
?
1
006006
00010999
63
30
000
002223639
9000336012211
0011112
101010
221010
101
02
10
01001A E ??
????????
????--??????-??
??????--?
??????????---
????=→→→????
??
?????
????????????
????
??
????????????
??????????
E B ??=???????标准形22
12f y y =+
,则11223310
10
1
x y x y x y ?????????????=????????????????
?????
?
PTA B =
[注]当P 改变两行的位置交换后,发现
.
.
00016 3 31000363101033600000111
1???
?????????--??
????????--=????????????--??
??????
?????
?
?
?
定理2:在A 为对角线上元素相等,其余元素也相等,则若有T P AP B =,则调整P 的任意两行,对角阵形式不变。
证明:设初等变换的对调变换矩阵为J ,显然T T T J J E J AJ JAJ A ===于是有
()()()()()()t T T T T T T T B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP =====
而P 与JP 相比仅是行的排列顺序不同, 因此任意调整P 的行,所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立,如果在一般情况下呢?
例4.对称矩阵2
202
1202
0A -??
??=--????-??
求可逆阵P 使得T P AP 为对角阵 322121
32
222
2
02
02
02120120100200
200
041001
101
120100100120
10
10
1c c c c r r r r A E -++--????????????-----???
??
???????--??=???→???→????????-???
???????
??
??-??????????????????
11
1
24
001
1201
0001002T P P AP B
B -????
????=-==-??????????
??
12112110
0P -??
??=-??
????
我们得到11T
P AP B = 定理7:设,T P AP B A = 对称矩阵,B 为对角矩阵,若要调换B 对角线上任意两个元素
的位置得到1B ,则只要调控B 中对左的两列,可得到P ,使得11T
P AP B =,即P 的列与B
中元素的对应性。
证明:初等调换矩阵为J ,显然T J J =
11
11()()T T T T B J BJ J P APJ PJ A PJ P AP ====
P ∴与1P 相比,只是列的排列顺序发生了改变 P ∴的列与B 的对角线上元素具有对应性
自己写例
. . 定理8:如果对角线上的元素分别扩大22212,,n C C C -得2B ,则不要将P 中对应的对应角
线元素扩大11C ,即可得到2P 使得222T P AP B =
证明:设初等变换的倍乘变换矩阵为2J (2J 对角线上第J 个元素1C )形1221C J C ??
??=??????
,则
有22222()T T B J BJ J J ==
2222211()T T T T
B J P PJ PJ J APJ P AP ===
2B ∴中第J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =,且其2P 中对角线J 个元素是P 中对角线元
素CJ 倍。
例:已知对称矩阵121
1211
311311310A -????-?
?=???
?--??
求可逆矩阵P ,使T P AP 且对角形式 解101110
010
3110311113101221
1
1
011
2
0A --????????------?
??
?→→????--???
?----????
1
00
010********
0103
003117770001220003330
1
2
17000
30113??
??????--?
??
?-???
?---????→→→??????-????????--?
???---????
????
对单位阵E 进行相应列初等变换得
1
122310
10300
110
01E P ?
?--
????
??-→=??
??
-??????
则有1313733T
P AP ??
??-??==??????
-???? 141111B E ??
??
-??==??????
.
.
则此时有11122
3100300100
P ??--??????-??
??=??
-??
????
得111T P AP B = 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系,而且其本身也有着变换矩阵多样多样,和结果的不确性,在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。
主要参考文献
[1]北大数学系,高等代数第二版
[2]交大线性代数编写。线性代数(第三版)[M] [3]禾瑞 高等代数[M]
[4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》 [5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》
[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141-154
矩阵的合同变换及性质
定义:设A ,B 是数域F 上两个阶矩阵,如果存在一个阶可逆矩阵P 使得T B P AP =成立,那么 B 与A 合同
特性:合同变换具有模型化,程序化的简便性。 引理1:在矩阵中,任意对角矩阵与合同J 对角阵 证明:①数学归纳法 当1n =时,定理显然成立
设1n >时,定理对1n -阶对称阵成立,A 上阶对称囝 若0A =则A 本身已为对角阵 不妨设0A ≠
(1)讨论A 的对角线上元素不全为0的情况,这都可通过三行或列初等变换,使得
1112112
1000
0s
s a
E E E AE E E A ??
??=??????
这里1A 是1n -阶对称阵,由归纳假设,存在则有1n -阶可逆阵1a ,使
.
. 2
11100
T c
Q A Q cn ??
=????
现取12
1
1000,0
s Q P E E
E Q Q ????
??==??????
则1111
2112
2
1110
00000T T T
T T S S T n a a P AP Q E E E AE E E Q c Q A Q c ????
??????===??????????
????
(2)若0,1,2,,ii a i n ==,由0A =,可通过对应的行列初等变换,使问题归结到i 的
情怀
合同矩阵变换的应用,主要应用于二次型上,而二次型主要对积矩阵,而二次型
12(,,)T n f x x x x AX =化简,一般都归结为对称实矩阵A 的合同变换在
特性1:合同变换具有模型化,程序化的简便性
定理1:若在对称矩阵A 的下六并上一个单位矩阵,作列变换,则对的行与列分别六色以一系列的对称,初等变换使其式为对角阵时, 单位阵成为A 的合同变换矩阵。
特性2:合同变换具有变换和结果的多样性,采取不同的合同变换,不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角
例:已知实对称矩阵0
1001
000002100
1
2A ?????
?=??????
求可逆矩阵P ,使()()T AP AP 为对角矩阵 解由于t A A =且2()()T T AP AP P A P =,可见为使()()T AP AP 为对角矩阵,实质上是使
0000010000540
45A ?????
?=??
????
合同于对角矩阵 4334
25
44
55100
01
00001000100005000549000
004551
000100001000100001
0400150
00
100
01A r r L c A E --??????
?
?????
??
????
???
???????=????→ ???????????
??
??
?
???????
-
??????
???
?
矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵 秩 合同 对角化 定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ,则积A 与B 等价,记为A B ? 定义2:设A ,B 都是数域F 上的n 阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B 定义3:设A ,B 都是数域F 上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ,使得T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似 因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即12m P Q Q Q = 。 此时711T T T m n P Q Q Q -= 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?,从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩 证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩 定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4:如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A 与B 相似且合同 论:设A ,B 为特征根均为12,n λλλ ,因为A 与B 实对称矩阵,所以则在n 阶正 矩阵,,Q P 使得 112[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-= 从而有11Q AQ P BP --=
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵 秩 合同 对角化 定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ,则积A 与B 等价,记为A B ? 定义2:设A ,B 都是数域F 上的n 阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B : 定义3:设A ,B 都是数域F 上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ,使得 T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对 称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似 因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即1 2 m P Q Q Q =L 。 此时7 11 T T T m n P Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系 列初等变换得到。所以A B ?,从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵
从而11 1 ()PQ QP ---= 又由于1 111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ = 1 QQ -= E = 1 QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ? 定时5:两合同矩阵,若即PTAP B =,若A 为对称矩阵,则B 为对称阵,而两相似矩阵则不一定有些性质 证明:A B ?即T P AP B =,若对称阵,则T A A = ()T T T B P AP = T T P A P = T P AP = B = 所以B 边为对称阵 [注]:相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢? 引理6:对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-,S 为λ的重数.
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 (一)等价: 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ,则称矩阵A 与B 等价,记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件: A B ?.{P Q A B ?同型,且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和,使得PAQ=B 成立 3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。 (二)合同: 1、概念,两个n 阶方阵A,B ,若存在可逆矩阵P ,使得A B ?P T AP B =成立,则称A,B 合同,记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B 均为实对称矩阵,则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。 (三)相似 1、概念:n 阶方阵A,B ,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立,则称矩阵A,B 相似,记为~A B 。 2、矩阵相似的性质:
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提,均可逆即有相同的特征值(反之不成立) r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件: ①充分条件:矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件:~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系: 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ,12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组(12,,,m βββL )是向量组(12,,,n λλλL )的极大线性无关 组,则有m n ≤,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型,虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ,两向量组(12,,,n λλλL )?(12,,,m βββL )则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同,?两向量组等价,即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵 秩 合同 对角化 定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ,则积A 与B 等价,记为A B ? 定义2:设A ,B 都是数域F 上的n 阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B 定义3:设A ,B 都是数域F 上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ,使得T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似 因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?,从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩 证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩 定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=-
矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵 秩 合同 对角化 定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B,则积A 与B 等价,记为A B ? 定义2:设A ,B 都是数域F 上的n阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B 定义3:设A,B都是数域F上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n阶可逆矩阵P,使得T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似 因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?, 从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩 证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩 定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- ??? 1||||||P I A P λ-=- ? ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4:如果A与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A 与B 相似且合同 论:设A ,B 为特征根均为12 ,n λλλ,因为A 与B 实对称矩阵,所以则在n 阶正 矩阵, ,Q P 使得 11 2[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-= 从而有11Q AQ P BP --=
龙源期刊网 http://biz.doczj.com/doc/f61965057.html, 矩阵的秩变换、相似变换与合同变换的联系作者:田洋 来源:《计算机光盘软件与应用》2012年第19期 摘要:本文应用理论研究的方法,将矩阵的秩变换、相似变换以及合同变换转换到线性变换当中去,讨论了矩阵的这三种变换之间的联系与区别,并给出证明,对矩阵的秩变换、相似变换以及合同变换的异同点做出一个综述性的描述。 关键词:初等变换;相似变换;合同变换;线性变换 中图分类号:O151.21 文献标识码:A 文章编号:1007-9599 (2012) 19-0000-02 1 绪论 矩阵的秩变换、相似变换以及合同变换是高等代数中的基本概念,也是解决某些问题的重要工具,有着十分广泛的应用领域.而矩阵的每一种变换都对应着一个线性变换,因此,在讨 论矩阵的这三种变换时,将其引入到线性变换当中去,进一步分析讨论三种变换之间的联系与区别,加深对线性变换知识的理解与掌握.本文采取理论研究的方法,将秩变换的问题归结到 初等变换上,并对三种变换之间的联系与区别做一个综述性的描述。 2 矩阵的初等变换 定义1 矩阵的行(列)初等变换即对矩阵施行下列变换: (1)交换矩阵的两列(行);(2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一列(行),也就是用一个不等于零的数乘矩阵的某一列(行)的每个元素;(3)用某一数乘矩阵的某一列(行)后加到另一列(行),也就是用某一数乘矩阵的某一列(行)的每个元素后加到另一列(行)的对应元素上。 定理1 初等变换不改变矩阵的秩。 证明:我们对一个事实先做出一个说明:如果对于一个矩阵实施某一种行或者列初等变 换而得到一个矩阵,那么对矩阵施行同一种初等变换又可以得到矩阵 .在这里我们给出一个命题,把行列式的某一列(行)的元素乘以同一个数后加到另一列(行)的对应元素上,行列式是不变的。
矩阵的合同变换 令狐文艳 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵 秩 合同 对角化 定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ,则积A 与B 等价,记为A B ? 定义2:设A ,B 都是数域F 上的n 阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似 A B 定义3:设A ,B 都是数域F 上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ,使得T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似 因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即 12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变 换得到。所以A B ?,从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩 证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩
定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A B B P AP -= 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4:如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A 与B 相似且合同 论:设A ,B 为特征根均为12,n λλλ,因为 A 与 B 实对称矩 阵,所以则在n 阶正 矩阵,,Q P 使得 从而有11Q AQ P BP --= 由11Q Q E PP E --== 从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---= 又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1QP -∴为正交矩阵 所以A B 且A B ? 定时5:两合同矩阵,若即PTAP B =,若A 为对称矩阵,则B 为对称阵,而两相似矩阵则不一定有些性质 证明:A B ?即T P AP B =,若对称阵,则T A A = 所以B 边为对称阵 [注]:相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢? 引理6:对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-,S 为λ的重数. 证明:任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ,以其重数以秩||I A r λ-=,则 ||r n s n r s I A λ=-?-=?-1200 0n x x x ???????? ????=???? ?????? ??,线性无关的解向量个数为
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 (一)等价: 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ,则称矩阵A 与B 等价,记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件: A B ?.{P Q A B ?同型,且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和,使得PAQ=B 成立 3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。 (二)合同: 1、概念,两个n 阶方阵A,B ,若存在可逆矩阵P ,使得A B ?P T AP B =成立,则称A,B 合同,记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B 均为实对称矩阵,则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。 (三)相似 1、概念:n 阶方阵A,B ,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立,则称矩阵A,B 相似,记为~A B 。 2、矩阵相似的性质:
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提,均可逆即有相同的特征值(反之不成立) r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件: ①充分条件:矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件:~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系: 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=,12(,,,)m B βββ= 1、若向量组(12,,,m βββ)是向量组(12,,,n λλλ)的极大线性无关 组,则有m n ≤,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型,虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ,两向量组(12,,,n λλλ)?(12,,,m βββ)则有矩阵A,B 同 型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同,?两向量组等价,即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用 摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系,在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。本文先阐述了三种关系相关的定义、定理,并进行比较得出三种关系间的区别,结合实例具体体现三种关系的差别与应用。 关键词:矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同 引言 随着技术的发展,矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用,尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式,受到各行的重视。 在高等代数中,讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义,性质,相关定理及各自存在的条件,然后给出了这三种矩阵关系间的联系,即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵,相似为正交相似,合同为正交合同时,相似与合同一致,还有矩阵的相似与合同之等价条件,并给出例子加以说明。 一、矩阵的三种关系 1)矩阵的等价关系 定义:两个S ×n 矩阵A ,B 等价的充要条件为:存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ,使B =PAQ 。 由矩阵的等价关系,可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件: (1)矩阵A 与B 为同型矩阵,不要求是方阵; (2)存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ,使B =PAQ 。 性质: (1)反身性:即A ≌A ; (2)对称性:若A ≌B ,则B ≌A ; (3)传递性:即若A ≌B ,B ≌C 则A ≌C ; 2)矩阵的合同关系 定义:设A ,B 均为数域p 上的n 阶方阵,若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ,使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵(若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵),由矩阵的合同关系,不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件: (1)矩阵A 与B 不仅为同型矩阵,而且是方阵。 (2)存在数域p 上的n 阶矩阵P ,B AP P ='。
第六章二次型 §1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形 §3 二次型与对称矩阵的正定性
§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵
定义6.1.1:含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式 () n x x x f ,,,21 n n x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221 112222+++++= n n x x a x x a x x a x a 224224322322 22222+++++ 2n nn x a +当系数属于数域F 时,称为数域F 上的一个n 元二次型。本章讨论实数域上的n 元二次型,简称二次型。 n n x x a x x a x a 33433423 3322++++
22212111222 121213131,12111 12121122121222 2221122,1 222(,,,)n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x --==++ +++++=++++++++ ++++= ∑i j j i ij i j i j i j j i i j
22212111222 121213131,12111 12121122121222 2221122,1 222(,,,)n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x --==++ +++++=++++++++ ++++= ∑i j j i ij i j i j i j j i i j
目录 摘要 (1) 1引言 (2) 2矩阵间的三种关系 (2) 2.1 矩阵的等价关系 (2) 2.2 矩阵的合同关系 (3) 2.3. 矩阵的相似关系 (3) 3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 (4) 3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别 (4) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 4矩阵的等价、合同和相似的应用 (6) 4.1矩阵等价的应用 (7) 4.2矩阵相似的应用 (9) 4.3矩阵合同的应用 (9) 4.4三种关系在概率统计中的应用 (10) 5结论 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13)
摘 要: 本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用,总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。 关键字: 矩阵的等价关系及应用,矩阵的相似关系及应用,矩阵的合同关系及应用 1.引言 高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系.那么为了更好的掌握它们,我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点,总结它们的规律,并且要了解它们在各个领域的应用,我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的,加什么条件才可以相互转化,如果不能相互转化,那么你能找到相应的特例吗?另外,三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的? 2.矩阵的三种关系 2.1矩阵的等价关系 定义2.1.1 : 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为:存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ,使得B PAQ = 矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件: (1)矩阵A 与B 必为同型矩阵(不要求是方阵). (2)存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使B PAQ =. 2.1.2矩阵等价的性质: (1)反身性:即A A ?. (2)对称性:若A B ?,则B A ?. (3)传递性:若A B ?,B C ?,则A C ?. (4)A 等价于B 的充要条件是秩(A )=秩(B ) (5)设A 为m ×n 矩阵,秩(A )=r ,则A 等价于???? ??00 0r E ,即存在m 级可逆矩阵P ,n 级可逆矩阵Q , 使 ???? ??=00 0r E PAQ . (6)(Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵,即A 相似于????? ? ?n λλ0 *1 其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值. 定理2.2.1: 若A 为m n ?矩阵,并且()r A r =,则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q (n 阶),
. . 矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵 秩 合同 对角化 定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ,则积A 与B 等价,记为A B ? 定义2:设A ,B 都是数域F 上的n 阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B 定义3:设A ,B 都是数域F 上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ,使得T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似 因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?,从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩 证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩 定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4:如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A 与B 相似且合同 论:设A ,B 为特征根均为12 ,n λλλ,因为A 与B 实对称矩阵,所以则在n 阶正 矩 阵,,Q P 使得 112[]Q AQ λλ-=
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 (一)等价: 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ,则称矩阵A 与B 等价,记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件: 3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。 (二)合同: 1、概念,两个n 阶方阵A,B ,若存在可逆矩阵P ,使得A B ?P T AP B =成立,则称A,B 合同,记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B 均为实对称矩阵,则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。 (三)相似 1、概念:n 阶方阵A,B ,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立,则称矩阵A,B 相似,记为~A B 。 2、矩阵相似的性质: 3、矩阵相似的充分条件及充要条件: ①充分条件:矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件:~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系:
设矩阵 12(,,,)n A λλλ=,12(,,,)m B βββ= 1、若向量组(12,,,m βββ)是向量组(12,,,n λλλ)的极大线性无关 组,则有m n ≤,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型,虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ,两向量组(12,,,n λλλ)?(12,,,m βββ)则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同,?两向量组等价,即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①相似?等价:~A B ?A,B 同型且()()r A r B A B =?? ②合同?等价:,A B A B ?同型且()()r A r B A B =?? ③相似与合同之间一般情况不能递推,但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若A,B 均为实对称矩阵,则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当 ~A B 时, ||||E A E B λλ-=-?二次型()T f x X AX =与()T g x X BX =有相同的标准型,即二者有相同的正负惯性指数A B A B ??? 即有~A B A B A B ??? Ⅱ、存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得T P AP B =即A B 则有
矩阵的合同,等价与相似 一、矩阵的合同,等价与相似的定义、性质及判定条件 (一)矩阵的等价: 1、定义:若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ,则称矩阵A 与 B 等价,记为A B ?。 2、性质: (1)反身性:即A A ?. (2)对称性:若A B ?,则B A ? (3)传递性:即若A B ?,B C ?,则A C ? (4) 若A 为m n ?矩阵,且()r A r =,则一定存在可逆矩阵P (m 阶) 和Q (n 阶),使得000r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. (5) 设A B 、是两m n ?矩阵,则A B ?当且仅当()()r A r B = 3、判定: 矩阵等价的充要条件: 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为:存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ,使B PAQ = 由矩阵的等价关系,可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件: (1)矩阵A 与B 必为同型矩阵(不要求是方阵). (2)存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. (二)矩阵的合同: 1、定义: 两个n 阶方阵A,B ,若存在可逆矩阵P ,使得A B ?P T AP B =成立,则
称A,B 合同,记作A B ?该过程成为合同变换。 2、性质: (1)反身性:任意矩阵A 都与自身合同. (2)对称性:如果B 与A 合同,那么A 也与B 合同. (3)传递性:如果B 与A 合同,C 又与B 合同,那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩等. (4) 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. (5) 复数域上秩为r 的二次型,可以用适当的满秩线性变换化为标准形: 2 2 212r f y y y =++ 3、判定 定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵,若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ,使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵(若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵),由矩阵的合同关系,不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件: (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵,而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B = (三)矩阵的相似 1、定义: n 阶方阵A,B ,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立,则称矩阵A,B 相似,记为~A B 。 2、性质: 性质3 (1)反身性 T A E AE = ;