考虑轴向力影响欧拉梁动力反应分析一、前言在前面的学习过程中，我们学习了多自由度离散体系的任意结构动力反应分析，但是对实际结构来说，本质上都是具有分布质量的弹性体，即分布参数体系。

要描述这些弹性体系任意瞬时的空间位置，严格上说需要无限多个广义坐标，这样的体系称为无限自由度体系。

要严格描述无限自由度体系的振动，需要建立位移关于空间位置坐标和时间两个独立变量的连续函数，因此，描述无限自由度体系的运动方程为偏微分方程。

连续结构体系可按描绘它们动力行为分布所需的独立变量数来分类。

但本文讨论的梁结构或轴向变形的杆，属于一维结构，它们的物理性质和动力反应可用单独一个坐标，于是这种体系的偏微分方程只包含两个独立变量，即时间和沿轴的距离。

二、考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程已知：一非均匀简支梁，沿梁长度x 方向变化的抗弯刚度EI(x)，单位长度的质量m （x ），作用在梁上的横向荷载p （x ，t ），作用在梁端不随时间变化的轴向力N 以及梁的横向位移u （x ，t ）。

求：弯曲梁的弯曲振动方程。

步骤：1、假定梁的运动为平面弯曲，并假定变形前梁的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于变形后的梁轴线，即符合弯曲的平截面假定。

2、取梁上任一截面x 处的微段dx 为隔离体。

作用在其两截面上有弯矩M ，剪力Q,分布外荷载P （x ，t ）和假定的惯性力22),()()(f )(df tt x u x m dx x x I I ∂∂==。

3、由竖向力平衡条件，得第一个平衡方程：)2..(..............................),()(),()1(..........0)(]),()(),([2222t t x u x m t x P x Q dx x QQ dx tt x u x m t x P Q ∂∂+-=∂∂=∂∂+-∂∂--整理得：4、由力矩平衡条件，对微段右截面和x 轴的交点取矩，得到第二个平衡方程)3.......(..........0)()](),()(),([21),(222=∂∂+-∂∂--∂∂++dx x M M dx tt x u x m t x P t t x u N Qdx M整理得： )4....(..............................),(tt x u N Q x M ∂∂+=∂∂ 将（2）代入（4）得)5.(..........),(),()(),(222222tt x u N t t x u x m t x P x M ∂∂+∂∂+-=∂∂ 根据梁的初等变形理论，梁的弯矩和曲率的关系式为：)6......(....................),()(22x t x u x EI M ∂∂-= 将（6）代入（5）得：)7....().........,(]),()([),(),()(22222222t x P xt x u x EI x x t x u N t t x u x m =∂∂∂∂+∂∂+∂∂ 上式即为考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程。

对于等截面梁，式（7）可以简化为：)8....().........,(),(),(),(442222t x P x t x u EI x t x u N t t x u m =∂∂+∂∂+∂∂三、梁的自振频率和振型分析轴向力影响欧拉梁的固有振动特性，这里仅讨论等截面直梁的情况。

这时，梁的自由振动运动方程为式（8）的齐次方程，即：)9..(..........0),(),(),(442222=∂∂+∂∂+∂∂x t x u EI x t x u N t t x u m用“’”表示对位置x 的导数，用“∙”表示对时间t 的导数，则（9）式可写成)10.(........................................0''''''u u m =++∙∙EIu N 用分离变量法求解，假定解得形式为)11.......(..............................).........()(),(t q x t x u φ=式中，)(x φ表示振动的形状，它不随时间而变化，)(t q 表示随时间变化的振幅。

将式（11）代入（10），得到：)12...(....................0)()('''')()('')(q(t)m =++∙∙t q x EI t q x N x φφφ公式两端同时除以)()(t q x φ得：)13........(....................)(q(t)m )()('''')()(''C t q x x EI x x N =-=+∙∙φφφφ 式中C=m 2ω由此得到两个独立的常微分方程：)15........(..................................................0)(q )()14..(..............................0)('''')(''22=+=-+∙∙t t q m x EI x N ωφωφφ方程（15）是单自由度体系无阻尼自由振动方程，其解为)16(........................................cos sin )(11t B t A t q ωω+=式中的系数可以根据初始位移q(0)和初始速度)0(q ∙确定，即)17.(........................................cos )0(sin )0()(t q t q t q ωωω+=∙方程（14）是四阶微分方程，设其解得形式为)18.(............................................................)(sx Ce x =φ将式（18）代入式（14），得EIN g EI ma ce a s g s sx ===-+2244224,)19.(........................................0)(ω式中解得)20....(..................................................,4,3,2,1εδ±±=i s其中)21..( (2))4(,2)4(2214422144g g a g g a -+=++=εδ将（20）代入（18）式，并用三角函数和双曲函数等式代替指数函数得)22...(..........cosh sinh cos sin )(x D x C x B x A x εεδδφ+++=式中四个常数A~D 决定梁振动的形状和振幅，它们可以利用梁端的边界条件确定。

对于每一个可能指定的轴向力值，方程（22）给出了相应梁的振动形式。

四、振型的正交性根据功的互等定理，第n 阶振型的惯性力在第m 阶振型位移上所做的功等于第m 阶振型的惯性力在第n 阶振型位移上所作的功。

用数学表达式可表示为：)23.........(....................),()(),()(,0,0dx t x f x u dx t x f x um I Ln n I Lmq⎰⎰=当梁以某种振型振动时，其各点的位移可表示为：)25..(..................................................sin )(),()24....(..................................................sin )(),(t q x t x u t q x t x u m m m m n n n n ωφωφ==由振型引起的相应的分布惯性力为)27.....(..........sin )()(),()(),()26.......(..........sin )()(),()(),(222,222,t q x x m tt x u x m t x f t q x x m tt x u x m t x f m m m m m m I n n n n n n I ωφωωφω=∂∂-==∂∂-= 将以上四式的幅值代入式（23）得)28.(..........)()()()()()(22dx q x x m q x dx q x x m q x m m m n n Ln nn m m Lφωφφωφ⎰⎰=即)29.........(........................................0)()()()(022=-⎰dx x x m x m Ln mn φφωω对于一般工程结构，22mn ωω≠，则有)30......(............................................................0)()()(0=⎰dx x x m x m Lnφφ这就是分布参数简支梁关于分布质量的正交条件。

如果用分布刚度作为加权函数，可以得到分布参数体系关于振型的第二个正交条件对于有轴向力的变截面梁，自由运动方程为)31....(..............................0]),()([),(),(22222222=∂∂∂∂+∂∂+∂∂x t x u x EI x x t x u N t t x u m左边第一项)32........(..........sin )()(),()(222t q x x m tt x u x m n n n n ωφω-=∂∂ 左边第二项)33.........(........................................sin ),(2222t q dx d N x t x u N n n n ωφ=∂∂ 左边第三项)34........(sin ])([]),()([22222222t q dx d x EI dx d x t x u x EI x n n n ωφ=∂∂∂∂ 则式（31）可写成)35.......(....................).........()(])([2222222x x m dxd N dx d x EI dx d n n n n φωφφ=+将式（35）代入（30）得：{})36....(..............................0])([)(222222=+⎰dx dx d N dx d x EI dx d x n n Lm φφφ式（36）即是受轴向力影响的简支梁关于分布刚度的正交条件。