第：９卷第４期２（Ｋ１１年４耳同济太学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＯＮｃｌｌｕＮｗＥＲ出１Ｙ、自Ｉ
２９№４
Ａｐｒ２００ｌ
结构振动控制的两种模态分析法邹祖军（同济大学结构工程与防灾研究所，上海２０００９２）摘要：介绍了结构振动控制的两种模态分析方法模态降阶控制法在控制结构的关键振型的同时考虑丁非关键振型的影响；控制力解耦法将控制力按结构振型进行分解并假定关于反馈增益是可以解耦的以上两种方法１葡化了结构振动最优控制的计算数倒计算表明：这两种方法的计算精度是可接受的
关键词：模态；控制；解耦中圈分类号：Ｔｕ３５２１文献标识码：Ａ文章编号：０２５３—３７４Ｘ（２００１）０４０３９６—０５
ＴｗｏＭｏｄａｌＡｎａｌｙｔｉｃＭｅｔｈｏｄｓｏｆＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＶｉｂｒａｔｉｏｎＣｏｎｔｒｏ
ＺＯＵＺｕ－ｊｕｎ
ＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅｕｆＳｔｍｃｔｕｒＮ
ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＤｉｓａｓｔｅｒＲｅｄｍｔｉｏｎ．ＴｏｎｇｊｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００９２．Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：１、ｗｏｍｏｄａｌａｎａｌｙｔｉｃｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒＭ甜ａ１ｄｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄＣａｎｃｏｎｒｒｏｌｍａｊｏｒｍｏｄｅｓｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ａｎｄｔａｋｅｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｏｔｈｅｒｍｏｄｅｓｏｒｓｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｏａｃｃｏｕｎｔＵｓｉｎｇｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄｓ，ｃｏｎｔｒｏｌＷｒｃｅｓｃａｎｂｅｄｅｃｏｕｐｌｅｄｂｙｍｏｄｅｓｈａｐｅｓ，ａｎｄｈｉｇｈｏｒｄｅｒｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｓｃａｒｌｂｅ
ｓｅｐａｒａｔｅｄｉｎ
ｔｏｎｌａｒｌｙｔｗｏ－ｏｒｄｅｒｃｏｎｔｒｏｌｏｎｅｓ．ｂｅｃａｕｓｅｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｃｅｓａｒｅｔｈｅｆｅｅｄｂａｃｋｏｆｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｓ
ｏｆｔｈｅ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
Ｎｕ—
ｍｅｒｉＣａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｓｅｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓｉｓａｃｃｅｐｔａｂｌｅ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｏｄａｌｉｔｙ；ｃｏｎｔｒｏｌ：ｄｅｃｏｕｐｌｅ
在求解最优控制问题时，总要计算如下的Ｒｉｅｃａｔｉ方程…：ＰＡ＋Ａ７Ｐ—ＰＢＲ一１８７Ｐ＋Ｑ＝０（１）对于自由度为，ｚ的结构，则Ｒｉｃｅａｔｉ矩阵Ｐ∈尺２彬ｈ；Ａ∈Ｒ：“２”是结构矩阵，Ｂ∈Ｒｈ珀”足控制矩阵，川是控制力数；Ｒ∈尺““１和Ｑ∈Ｒ２“２”是加权矩阵．对于高维的非线性方程（１）是难以求解的．大多数近似计算只考虑结构前几个振型反应，而忽视了其它振型反应在受控时的放大作用，造成计算结果失真这种放大作用在试验中反映得非常明显－２，…．本文基于模态分析法，提出了两种简化计算方法模态降阶控制法是对结构的主要振型进行控制由于控制力能激发结构高振型的振动，在该方法中，近似考虑了高振型的影响，这样使得计算简单而结果真实控制力解耦法是将控制力按振型进行分解因为控制力是状态的反馈，状态是指结构的位移和速度反应，它们可以按振型进行分解．按该方法求解最优控制力时只需计算许多二维的Ｒｉｃｃａｔｉ方程，非常简单而有效．
１模态降阶控制法工程结构的振动控制方程为采用二次型目标函数盅＝ＡＸ＋ＢＵ，ｘ（ｔｏ）＝ｘｏ
收辘日期：２０００—０２—２１作者简介：邹担军（】９６３一），男，湖北公安＾，副研究员．工学博士 万方数据第４期邹祖军：结构振动控制的闻种模卷分析法
，＝告Ｉ（ｘ１虹＋Ｕ７ＲＵ）ｄｔ（３）
－。￡ｎ
式中：Ａ，Ｑ∈Ｒ２“ｈ，ＸＧＲ２”州，ＵＧＲ“划，Ｒ∈Ｒ“。“，当ｎ很大时，求解式（２）、（３）是很困难的上述方程中，略去ｒ＇Ｐｂ激励，一是为了分析简便，二是外激励可以包括在控制力Ｕ中，并不失普遍性【“采用变换Ｘ＝Ⅳ将式（２）变换为
ｐ＝ＡＶ＋ＦＵｆ４１
式中：Ａ＝Ｔ１Ａ１，Ｆ＝Ｔ～Ｂ，Ｔ是模态矩阵，选择ｆ个关键极点作为控制对象，则式（４）可分为两部分
Ｖｌ＝ＡｔＶｌ＋Ｊ１ｔＵ（５）Ｖ２＝Ａ２ｙ２＋Ｆ２Ｕ（６）式中：ＶＩ是应保留的ｆ个主模态即关键振型，Ａ＝［｝１Ａ０］，ｒ＝［；：］，对式（６）进行拉氏变换，则’二（一）式中：
是应保留的。个主模态即关键振型，Ａ．＿ｏＡ，ｊ，ｒ２１１１：ｊ，对式（６）进行拉氏变换，则’二（一）
＝（ｓｌ—Ａ２）。１Ｊ１２Ｕ（ｓ），因为Ｖ２（Ｓ）是从模态即非关键振型，则有逼近
Ｖ２（￡）≈～ＡｉｌＦ２Ｕ（￡）＝ＬＵ（ｆ）（７）
又ｘ＝［：：］＝Ｔ．：１：：：１２：ｑ儿＇ｖＶ：ｌＪ］，Ｌ＝－Ａｉｌｒ２，ｚ（ｔ）是ｆ维的降阶状态，则
Ｚ＝Ｔ１１１７ｌ＋丁１２＇，２（８）Ｘ２＝Ｔ２１Ｖ１＋ｎ２Ｖ２（９）将式（７）和式（８）代人式（９）得Ｘ２＝Ｔ２１Ｔ１１１Ｚ＋（疋２—１’２１Ｔ＿ｌｌＴｌ２）ＬＵ＝ＮＺ＋ＥＵ式中：Ｎ＝Ｔ２１Ｔ＾１，Ｅ＝（Ｔ２２～１１２ＩＴ＾１Ｔ１２）Ｌ，由式（２），又
卧ｋ！｜＇Ａｌｌ㈧ＡＩ∥２］［Ｚｘ川弘
由式（１０）和式（１１）得
（１０）（１１）Ｚ＝ＡＩｌＺ十Ａ１２Ｘ２＋Ｂ１Ｕ＝（Ａ１１＋Ａ１２Ｔ２１Ｔｎｌ）Ｚ＋（Ｂ１＋Ａ１２（Ｔ２２一Ｔ２１Ｔ＾１Ｔ１２）Ｌ）Ｕ＝ＦＺ＋ＧＵ（１２）
热Ａ＝唆：１，２，］，Ｆ＝Ａｌｌ＋Ａ１２Ｔ２１Ｔｉｌ，Ｇ＝Ｂ：＋Ａ１２（Ｔ２２－Ｔ２１ＴｉＩＴｌ２）Ｌ
对于目标函数，，由式（３），则，＝吉』ｉ【ｃｚＴ，ｘ：，［：：：：：］［妻：］＋ｕＴＲｕｊａｒ＝
告Ｉ（ｚ１Ｑ１ｌＺ＋２２１Ｑ１２Ｘ２＋ｘｊＱ２２ｘ２＋Ｕ７ＲＵ）ｄｔ
式中Ｑ２１＝Ｑ品，消去Ｘ２，则Ｊ＝告Ｉ（ｚ７ＱｏＺ＋２２１ＳＵ＋Ｕ７Ｒ，Ｕ）ｄｔ，其中：Ｑｏ＝Ｑ１１＋２Ｑ１２Ｎ＋Ｎ７Ｑ２２Ｎ，Ｒｆ＝Ｒ＋ＥＴＱ２２Ｅ，Ｓ＝Ｑ１２Ｅ＋Ｎ７Ｑ２２Ｅ．令：Ｕｆ＝ＲｉｌＳ７ｚ＋Ｕ，由式（１２），则之＝（Ｆ—ＧＲｉｌｓ７）ｚ＋ＧＵｚ＝ＦｚＺ＋ＧＵ（１３）
Ｊ＝｛ｌ（ｚ１Ｑｚ＋ｕ琢ｆＵｚ）ｄｔ（１４）
…ｎ
使用最优控制原理，对于式（１３）和式（ｔ４）的最优控制力为Ｕｆ＝ＲｉｌＧ７ＫＺＫｆ是下面Ｒｉｃｏａｔｉ方程的解：
万方数据３９８同济＾学学报第２９奄Ｋ，Ｆｔ＋ＦＴＫｒ—Ｋ，ＧＲ？１Ｇ１’Ｋｆ＋ａ，＝０（１５）
则次优控制力为：Ｕ＝Ｕ—Ｒ，１＿ｓｌｚ＝一Ｒ厂１（Ｇ７Ｋ，＋ｓ’）ｚ其中：Ｆｌ＝Ａ１１＋Ａ１２Ｔ２１Ｔ＾１一ＧＲ？１Ｓ１，ａ，＝Ｏｏ—ＳＲ？１Ｓ７Ｒｉｃｃａｄ方程（１５）的维数为ｆ，明显比２”低许多．
２控制力解耦法对于一维连续结构系统，其振动控制方程可表不为Ｐ（ｓ）掣Ｉｃ（ｓ）掣＋Ｌ（ｓ）［ｘ（ｓ，￡）］＝Ｆ（ｓ，ｆ）＋ｕ（ｓ，ｆ）
（１６）假定Ｆ（ｓ，ｔ）是均值为零的白噪声过程，Ｌ（Ｓ）是结构算子，Ｕ（ｓ，￡）是分布控制力设≠，（ｓ）（ｉ＝１，２，。。）是方程的无阻尼正则振型，则有一ｕ知（ｓ）≠，（ｓ）＋Ｌ（ｓ）［≠：（５）］＝０
胁州蚶洲ｓ＝｛ｒ。乏
』是结构的长度令ｘ（ｓ，ｆ）＝∑虫（ｓ）ｑｉ（ｔ），式（１６）可化为如下形式：玩（ｔ）＋２岛ｑ西（ｆ）＋ｗ，２ｑＪ（￡）＝‘（ｔ）＋Ｌ‘（ｆ）（１７）式中：ｑ，（ｆ）是结构的广义坐标，ｕ（￡）＝ＭｊｌＪｉ一（ｓ）ｕ（ｓ，ｆ）ｄｓ，ｑ（￡）＝Ｍ刊。由（ｓ）Ｆ（ｓ，ｒ）ｄｓ，对于第Ｊ振型，采用如下二次型目标函数上：Ｅ『Ｊ？ｉ１、ｎ，ＴＱ＾十。ｕ；）ｄ￡］．其中：Ｑ，，。为加权矩阵，ＪＹ程（１７）可转化为如下的第，振型状态方程：ｘ｝＝ＡＸ３＋Ｂ∞３＋Ｄ孓ｉ．：］，Ｂ：（ｏ，１）ｔ，ｑ：（ｏ，１）ｔ
ｚ白畸１
屿＝一ｒｊｌＢ啊墨一ｉｉ＝ｐＡｉ＋Ａ１ｐ。ｐ芦ｉｒ：１ＢＴ，乳＋Ｑ，，ｐ）（。ｆ、＝０
热丹＝熙褂９＝中０ｂＩ
上式可简化为
（１８）（１９）（２０）
一ＡＩｌ＝一∞Ｊ２岛１２一∞Ｊ２岛２】一ｒｊｌｐＪ２１２＋６１』一ｐ，１２＝ｐｎｔ一２岛∞ｉｐｉｌ２一∞３ｐｉ２２一ｒｉ。ＰＪｌ２ｐｉ２２一刍，２２＝岛∞一２驰岛２２＋岛１２—２岛屿岛２２一ｒｊｌｐ２，２２＋厅２）
岛１２＝岛２ｌ，岛ｌｌ（ｔｆ）＝岛１２（ｔｆ）＝岛２２（‘，）＝０由式（１９）得最优控制力为Ｕ＝一ｒｊｌ（岛２１ｑＪ＋Ｐｊｚｚｑ：）（２１）
令ｕ（，，ｒ）＝ＲＩｘ（，，￡）］，Ｒ为算子，则ｕ（，，ｆ）可展开为ｕ（ｓ，￡）＝∑尺Ｊ［＾（一）田（ｒ）］因为控制力是状态的反馈，则可取算子Ｒ，＝叶＋岛景，叶和岛是反馈增益，并对控制力进行相应的振型分解，假设挎制力Ｕ（ｓ，ｔ）关于各振型是可解耦的［“，则有ｕ＝Ｍｉ，ｌｔ（ｓ）［∑Ｒ。帕）甄（ｆ）］ｄｓ＝
万方数据第４崩邹祖军：结曲振动控制的两种横志分析法
３９９
∑Ｍ．７１．胁（ｓ）ａ：≠。（ｓ）ｇ：（￡）ｄｓ十∑何１［向（ｓ）触（ｓ）ｊ：（ｍ；：［Ｍ吖和帆ｄｓ∽）＋［Ｍｊｌ脯㈥胁］邑（ｆ）㈦）
比较式（２１）和（２２），则：ａ，＝～Ｍ岛ｚ。／［。ｆ鳄（ｓ）ｄｓ］，岛＝一Ｍ岛：：／［。ｅ≠；（ｓ）ｄｓ］．则最优反馈控制力为‰，２砉蒜慧（Ｐ１２１＋Ｐｊ２２ｒ３ｄｓ
跏ｒ，㈦，
川ｌ≠；（５）、…７
利用式（１８）可求出结构的反应，通过使用控制力关于反馈增益解耦的方法，可Ｊ三｛很简便地求解最优控制问题．以上是对连续结构体系推出的计算公式，对于离散的多自由度结构体系，采用同样的方法吐Ｌ可得到卜ｊ上述相类似的计算公式
３数值计算现以一１０层的剪切型结构为例【“，假设在屋顶安装一主动调频质量阻尼器（ａｃｔｉｖｅｔｕｎｅｄ
ｍａｓｓ
ｄａｍｐｅｒｓ，以下简称ＡＴⅣ皿）控制结构的振动．结构的原始参数如表Ｉ所示．表１中原结构的阻尼比取值是这样的：假定第一、二振型阻尼比均取００５（对于钢筋混凝土结构），求出ＲａｙＩｅｉｇｈ阻尼矩阵Ｃ＝ｎ。Ｍ＋
ｎ１Ｋ，由Ｃ求出原结构的层间阻尼ａ（ｉ＝１，２，…，ｎ）和各振型阻尼比ＡＴＭＤ的阻尼ｆｄ＝２车ｄＯ）ｄ”¨；Ａ’１’１一ＭＤ的刚度ｋｄ＝ｍｄ∞ｊ；叫ｄ，知和ｍｄ分别为ＡＴＭＤ的频率、阻尼比和质量采用平稳过滤白噪声地震模型
作为输入，其功率谱密度函数为％。∞）－Ｆ高并‰ｓ。
㈦）式中：ｓｏ＝９８８ｃｒｎ２·ｓ，靠＝０．７，ｃｃ，。＝１０ｎ．使用本文的两种模态方法与最优控制法进行比较取ＡＴＭＤ
与结构的质量之比为３％，阻尼比如为２０％，频率比为１即控制结构第一振型反应
表１结构参数Ｔａｂ－１Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｐａｒａｎ∞ｔｅｒｓ
层号质量＾（Ｍ刚Ｎ度／，ｍ－．）（墨瓢阻尼比层号质量／ｔ
（景警，）
（ｒ频率ａｄ．ｓ－７，）
阻眦
１１３６０１８７０５７１００５０６８５０８１０４３２４０Ｉ】Ｓ２１２２０１７５０１３８４００５０７８５０６５０４９３７ｎ１Ⅻ３１０９０１４９０２２１６００６６８７３５６１５５３８３０１４１４１０９０１２７０３９２３００８４９７３５３ＩＯ５８铀０ｆ“
５９９０９３０３７５９０１０１１０６７５４５０６８２６ｆ】１７８用模态降阶控制法进行计算时，分别取扣２及卢１０，计算受控结构的位移均方根反应如表２所示计算结果与最优控制法十分接近，阶数越多，精度越高．用控制力解耦法进行计算时，分别取２和１０个振型计算受控结构的位移均方根反应如表２所示，同样，计算结果与最优控制法十分接近，所取振型数越多，计算精度越高；但比模态降阶控制法的结果稍差．因为在结构振动控制中，当控制结构前几个振型反应时，对其余振型反应有放大作用，而在模态降阶控制法中考虑了从模态这种放大作用的影响．当用控制力解耦法汁算前几个振型反应时没有考虑这种影响．