第３Ｏ卷第ｌ２期 振动 与冲击 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫ
基于Ｍｉｎｄｌｉｎ理论的齿轮横向振动模型
李向鹏，张春辉，王时英 （太原理工大学机械工程学院，太原０３００２４） 摘 要：针对圆柱齿轮中心带孔，厚径比已经不在经典的薄板理论范围之内的结构特点，将其分别简化为直径等 于分度圆、齿顶圆和齿根圆的中厚圆环板。基于Ｍｉｎｄｌｉｎ理论，推导在自由边界条件下中厚圆环板横向振动频率方程，利 用ＭＡＴＬＡＢ软件对频率方程进行求解，并与有限元方法计算结果和实验测试结果对比分析。结果表明：只有将齿轮简化 为直径等于分度圆的中厚圆环板时，三者结果才基本相符，从而验证了简化模型的可行性。该结论对超声珩齿振动系统 设计具有一定的理论指导意义。 关键词：Ｍｉｎｄｌｉｎ理论；齿轮；中厚圆环板；横向振动 中图分类号：ＴＨ１１３．１；ＴＨ１３２．４ 文献标识码：Ａ
Ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅａｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｉｎｄｌｉｎ’Ｓ ｔｈｅｏｒｙ Ｌ／Ｘｉａｎｇ－ｐｅｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｃｈｕｎ—ｈｕｉ，ＷＡＮＧ Ｓｈｉ—ｙｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔａｉｙｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３００２４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ｇｅａｒ ｗａｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｒｅｅ ｍｏｄｅｒａｔｅｌｙ ｔｈｉｃｋ ａｎｎｕｌａｒ ｐｌａｔｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｕｔｅｒ ｄｉａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｃｉｒｃｌｅ，ａｄｄｅｎｄｕｍ ｃｉｒｃｌｅ ａｎｄ ｄｅｄｅｎｄｕｍ ｃｉｒｃｌｅ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ａ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ｇｅａｒ ｗｉｔｈ ａ ｈｏｌｅ ｉｎ ｉｔｓ ｃｅｎｔｅｒ ａｎｄ ｉｔｓ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｔｏ ｒａｄｉｕｓ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｉｎ ｐｌａｔｅ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｍｏｄｅｒａｔｅｌｙ ｔｈｉｃｋ ａｎｎｕｌａｒ ｐｌａｔｅ ｗｅｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｗｉｔｈ ｆｒｅｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｉｎｄｌｉｎ’Ｓ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｓｏｌｖｅｄ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｌｙ ｗｉｔｈ ＭＡＴＬＡＢ．Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｉｎ ｇｏｏｄ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｔｈｏｓｅ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ａｌｓｏ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｅｓｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｎｌｙ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅａｒ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｉｔｓ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｃｉｒｃｌｅ．Ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｈａｄ ｃｅｒｔａｉｎ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｔｏ ｇｕｉｄｅ ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ ａ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｇｅａｒ ｈｏｎｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｍｉｎｄｌｉｎ’Ｓ ｔｈｅｏｒｙ；ｇｅａｒ；ｍｏｄｅｒａｔｅｌｙ ｔｈｉｃｋ ａｎｎｕｌａｒ ｐｌａｔｅ；ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ
超声珩齿是将超声振动切削技术应用于齿轮精密 加工的一项技术，利用超声珩磨加工可以有效地减少 珩磨堵塞，提高加工效率 Ｊ。超声珩齿振动系统的组 成包括超声换能器、变幅杆以及被加工齿轮，振动系统 设计的目的是使这三者工作时能谐振于同一频率。传 统的超声振动系统设计方法是全谐振设计，但是超声 珩齿时齿轮是非谐振负载，这将使整个系统难以达到 全谐振设计的共振频率，因此，在设计时必须将变幅杆 和齿轮联合起来进行全面考虑 ，此时首先需要对模 型进行合理的简化。对于换能器和变幅杆现在已有成 熟的模型简化和设计方法，钻削、铣削等超声复合加工 中的工具头尺寸和质量较小可以忽略，而齿轮在超声 振动系统设计时不能被忽略，所以研究齿轮的简化模 型和动力学特性对振动系统的设计和优化有重要的
基金项目：国家自然科学基金（５０９７５１９１）；太原市大学生创新创业专题 项目（１１０１４８０５０） 收稿日期：２０１１—０７—０７修改稿收到日期：２０１１—０８—１Ｏ 第一作者李向鹏男，硕士生，１９８６年生 通讯作者王时英男，教授，硕士生导师，１９６４年生 意义。 齿轮是典型的圆板类零件，振动特性和圆板振动 类似。张串等 研究了边缘自由边界条件下轴对称薄 板弯曲振动时的频率方程及其求解；刘世清等 研究 了锥形剖面环形聚能器的径向振动等效电路，并求出 了频率方程。然而很多圆板的厚径比是在中厚板理论 范围之内（厚径比大于１／５，小于１／２），Ｍｉｎｄｌｉｎ等 在 经典薄板理论的基础上引入一阶剪切变形理论，考虑 了剪切变形和转动惯量，形成了中厚板理论，该理论很 好地兼容了薄板理论；潘晓娟，贺西平等 研究了厚圆 盘弯曲振动，并求出了频率方程；侯宇等 用Ｈ变换的 方法，研究了厚圆板的轴对称振动；杨杰，彭建设 研 究了域内同心环支Ｍｉｎｄｌｉｎ中厚环板的弯曲振动；Ｗａｎｇ 等 研究了有孔薄圆板的弯曲振动方程简化方法，并 给出了振动频率的计算方法；Ｌｅｅ等¨ 分别用薄盘和 厚盘理论研究了环盘的弯曲振动模式；Ｈｏｓｓｅｉｎｉ— Ｈａｓｈｅｍｉ等 基于三阶剪切变形理论求出了不同边界 条件下的厚圆板频率方程和横向位移方程。然而以上
文献只是从理论分析的角度对圆板的自由振动进行了 第１２期 李向鹏等：基于Ｍｉｎｄｌｉｎ理论的齿轮横向振动模型 研究，有待进一步应用到工程实际中。 本文针对普通圆柱齿轮中心带孔，厚径比已经不 在经典的薄板理论范围之内的结构特点，将其分别简 化为直径等于分度圆、齿顶圆和齿根圆的中厚圆环板。 基于Ｍｉｎｄｌｉｎ理论，推导了在自由边界条件下中厚圆环 板横向振动频率方程，通过ＭＡＴＬＡＢ软件计算了固有 频率，并与有限元计算结果和实验测试结果对比分析， 得出了只有将齿轮简化为直径等于分度圆的中厚圆环 板时，三者结果才基本相符的结论，从而验证了简化模 型的可行性。该结论对超声珩齿振动系统设计具有一 定的理论指导意义。 １ 中厚板横向振动 １．１ Ｍｉｎｄｌｉｎ横向振动理论 根据Ｍｉｎｄｌｉｎ理论，当考虑剪切变形和转动惯量 时，取极坐标系ｒ， ，ｚ，如图１所示，且其原点与中厚圆 环板中面的中心重合，中厚圆环板的位移应满足的方 程如下 ： 警＋ ＋ ＋ ：０（ ：１，２） ｒ ｒ ｒ ｒ 。
（１） ０２Ｈ＋÷ ＋ Ｈ＝０ （２） ｒ ｒ ｒ ｒ 其中： ， ＝ ：｛（Ｒ＋Ｓ）±［（Ｒ—Ｓ）。＋４酝 ］丁Ｉ｝
： ，，：６：２ 。４。一Ｓ－１０＂１ ０＂２ ）一一 ０ ＝——— ———～， ， ＝Ｄ２ ０ｏ 一
尺＝篙，５＝－＿ｋ Ｄ， ＝ Ｄ ２
上式中ｈ为中厚圆环板的厚度，系数 根据Ｍｉｎｄ一 １ｉｎ理论取１２／ｗ ，Ｄ是匀质中厚圆环板的弯曲刚度，Ｇ 为匀质中厚圆环板的剪切模量，Ｐ为构成中厚圆环板材 料的密度，０９为固有频率， 为泊松比。 ＝。［警＋ ＋０ ￣ｒ／ ］ ］
。 警］ｌ
＝１ ２－／ｘ。 ）＋坠０ｒ］｝Ｊ （５）
譬（ ） ｌ
（ ） Ｊ
１．２ 中厚板的极坐标系动力学分析 设方程（１）和（２）的解为： （ｒ， ）＝ＥＡＹ ． （６ ｒ）＋日 ｙ （６ ｒ）］ｃｏｓｍ０］ Ｈ （ｒ， ）＝［４ Ｊ （ ｒ）＋Ｂ Ｙｍ（ ｒ）］ｓｉｎｍ０｝（６） （ ＝１，２） Ｊ 其中： ， （ｉ＝１，２）及４ ， 是由边界条件确定的待 定系数，Ｉ， 是ｍ阶第一类Ｂｅｓｓｅｌ函数， 是ｍ阶第二 类Ｂｅｓｓｅｌ函数（Ｎｅｕｍａｎｎ函数），ｍ表示挠度振型节径 数。对于齿轮的简化模型和超声珩齿振动系统，为了 获得良好的加工效果，要求齿轮作零节径轴对称横向 振动，所以得到ｍ＝０，可得到其各振型分量： Ｅ Ａ 一１） （ ｒ）＋ （ ｒ）］＋
∑ｉ＝１ １）［ （ ｒ）＋ （ ｒ）］ｊ
Ｑ，： Ｇｈ｛∑ＩＡ 。（６ ）＋Ｂｉ ｙ 。（ ，ｒ）］｝ （７） 由于变幅杆与齿轮（中厚圆环板）在位移最大处相 连，假设中厚圆环板不受外力，处于自由振动状态。对 于Ｍｉｎｄｌｉｎ理论，内外自由的边界条件可以表示为 ： Ｍ （０， ）＝Ｑ，（ｎ， ）＝Ｍ，（６， ）＝Ｑ，（６， ）＝０（８） 将表达式（７）代入边界条件（８）中，即得到如下表 达式： （ ｔ一１）［Ｊ＂ｏ（８ ，口）＋ 。（ ，口）］＋
４ （ 一１）［Ｊ＂ｏ（６ ，。）＋ ．， 。（ ，。）］＋
２３２ 振动与冲击 ２０１１年第３０卷
Ｂｔ（ｏ－－一１）［Ｙ＂ｏ（ ，，。）＋ 】， 。（６ ，口）１＋
Ｂｚ（ｏ－ｚ一１）［Ｙ＂ｏ（６ ，ｎ）＋ｔ＆，ｙ 。（ ，ｎ）］：０（９）
４ （ ｔ一１）【Ｊ＂ｏ（ ，６）＋ 。（ ，６）］＋
／４ｚ（ｏ－ｚ一１）［Ｊ＂ｏ（占 ，６）＋ ｔ， 。（ ｚ，６）］＋
Ｂ （ 一１）Ｉ ｙ， 。（６ ，６）＋ ｙ 。（６ ，６）ｌ＋
日：（ ：一１）【Ｙ＇ｏ（６ ，６）＋ 】， 。（６：，６）］＝０（１０） Ａ１ １Ｊ ０（ １，。）＋Ａ２ ２Ｊ ０（６２，口）＋ 日１ １ ｏ（６１，口）＋Ｂ２ ２ ０（ ２，０）＝０ （１１） Ａｌ １Ｊ ｏ（ １，ｂ）＋Ａ２ ２Ｊ ｏ（ ２，ｂ）＋ Ｂ１ １ ０（ １，６）＋Ｂ２ ２Ｙ ０（６２，６）＝０ （１２） 上述４个方程可看作是关于待定系数Ａ 、Ｂ 、Ａ 、 Ｂ：的方程组，由于待定系数不全为零，要得到非零解， 所以卜沭４个方程的系数行列式等于零：
△＝ Ｃ１１ Ｃ１２ Ｃ２１ Ｃ２２ Ｃ３ｌ Ｃ３２ Ｃ４１ Ｃ４２ Ｃ１３ Ｃ１４ Ｃ２３ Ｃ２４ Ｃ３３ Ｃ３４ Ｃ４３ Ｃ４４ ＝０ （１３）
式（１３）即为自由边界条件下的中厚圆环板的频率 方程，它为超越方程，采用求数值解的方法求解。其中 △是无量纲量，表示系数行列式在不同谐振频率下的 值，通过改变谐振频率使得频率方程误差△＝０，此时 的频率值便是频率方程的数值解。 ２齿轮横向振动计算 取某印刷机的标准直齿轮进行计算，其模ｍ＝２， 齿数ｚ＝６０，分度圆半径ｒ ＝６０ ｍｍ，齿顶圆半径为ｒ ＝ ６２ ｍｍ，齿根圆半径为 ：５７．５ ｍｍ，齿轮厚度为ｈ＝２４ ｔｒｉｍ，轴孔半径ｂ＝１３ ｍｍ，材料常数为：弹性模量Ｅ＝ ２．０９２ Ｘ １０“Ｎ／ｍ ，泊松比为 ＝０．２９，材料的密度为Ｐ ＝７ ８１０ ｋｇ／ｍ ，把上述参数代人式（１３），用ＭＡＴＬＡＢ 编程对频率方程进行数值求解，设定理论计算频率．厂Ｍ 计算范围为１１ ｋＨｚ一１２ ｋＨｚ，绘制出频率方程误差△ 与理论计算频率厶的关系，如图２所示。可以看出，系 数行列式的解曲线与误差为零的直线有交点，图中的 交点即为频率方程的数值解。由图可见，限于计算机 的精度，当误差仅为一４．４９７ｅ删时，可以得到厶＝ １１ ６３０ Ｈｚ。 利用有限元软件ＡＮＳＹＳ对未简化齿轮进行动力 学仿真，通过模态分析确定系统的各阶谐振频率，从中 选取与理论计算频率相近的数值，检验其振型是否与 超声珩齿振动系统所要求的振型一致。利用Ｐｒｏ／Ｅ建 好齿轮模型再导人ＡＮＳＹＳ。采用ｓｏｌｉｄ ９５单元进行网 格分。这个单元能在基 本不损失计算精度的情 况下，适用于曲线边界的 建模。ｓｏｌｉｄ ９５单元有 ２０个节点，每个节点有 三个自由度： ，Ｙ， 三个 方向，可以适用于空问任 何方向分析及弹性、蠕 变、应力、刚度、大挠度、 大应变分析。利用ＡＮ— ＳＹＳ软件智能网格划分 功能进行自动网格划分， １ １ ０ ２ Ｘ．０ —１ —１ —２
网格精度等级为６，输入材料参数与理论计算时一致， 由于是模拟全自由状态，所以不需要施加约束。采用 Ｂｌｏｃｋ ｌａｎｃｚｏｓ方法，模态扩展设置搜索频率阶数为２０ 阶，如图３所示，当． ＝１１ ５２５ Ｈｚ，齿轮为纯圆节径的 振型，发现其与理论计算频率的误差只有０．９％，说明 了理论设计结果的唯一性。保持其他条件不变，用同 样的方法计算了不同厚度横向振动时的谐振频率，可 得到表ｌ和图４，其中． 为经典薄板理论计算频率。
图３齿轮自由状态下的振型图 Ｆｉｇ．３ Ｍｏｄｅ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅａｒ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｏｎｄｉｔｉｏｎ ｗａｓ ｆｒｅｅ １９ 鱼１６ ｌ３ １０ 蠢 误关 ＾ 一一～一一，一博 －墓晰 一△