第１２卷第１６期２０１２年６月 １６７１—１８１５（２０１２）１６—４０５０—０６ 科学技术与工程 Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖ０１．１２ Ｎｏ．１６ Ｊｕｎ．２０１２ ⑥２０１２ Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｒｇ．
卫星和飞船的跟踪测控模型
程红萍马明远张波
（西安欧亚学院，西安７１００６５）
摘要 为了对卫星和飞船的发射与运行过程进行全程跟踪测控，建立了完全覆盖模型和动态跟踪模型，得到建立测控站的 个数，并用相关的实际数据来检验模型的合理性与应用性。 关键词 完全覆盖模型 动态跟踪模型 测控站个数 中图法分类号Ｖ５５６．８； 文献标志码Ａ
１问题的提出
一个卫星或飞船的发射与运行过程中 Ｊ，往往
有多个测控站联合完成测控任务。测控设备只能
观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹
角３度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站
的测控范围只考虑与地平面夹角３度以上的空域。
利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问
题如下：
（１）在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道
共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对
其进行全程跟踪测控？
（２）如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤
道平面有固定的夹角，且在离地面高度为日的球面
Ｓ上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行
过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建
立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的
区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？
（３）收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发
射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该
卫星所能测控的范围。
２模型假设
（１）假设对卫星或飞船的运行轨迹近似为圆；
２０１２年３月２１日收到 第一作者简介：程红萍（１９７１一），女，陕西大荔人，讲师，硕士。研究 方向：高等数学、数学建模。Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｇｈｏｎｇｐｉｎｇ＿２００５＠１６３．ｃｏｍ。 （２）假设地球为球体；
（３）假设所有测控站的站点都在地平面上。
３符号说明
Ｒ一地球半径，Ｈ～卫星或飞船离地面的距
离，０一测控站所测控区域横截面圆心角的一半，口
一测控范围与地平面的夹角，ｎ一测控站点的个数，
ＯＬ一卫星轨道与地球赤道平面的固定夹角，Ｐ一纬
度值， 一经度值， 地一地球自转角速度， 一卫
星自转角速度，ｔ一测控站测控时问的一半。
４问题分析
前两个问题研究的是在不同要求下，至少设定
多少个测控站，才能对卫星或飞船进行全程跟踪测
控。由于测控设备只能观测到所在点切面以上的
空域，且在与地面夹角３度以下的范围内测控效果
不好，所以每个测控站的测控范围只考虑与地平面
夹角３度以上的空域。
对于问题１．１，要求在所有测控站都与卫星或
飞船的运行轨道共面的情况下对卫星测控。由＿卫
星知识可知，测控站点都会处在赤道平面，即卫星
或飞船的运行轨道与赤道共面。由于卫星所在位
置的特殊性，需要讨论卫星的运行状态，我们分同
步卫星和异步卫星来考虑。
对于问题１．２，要求在卫星或飞船的运行轨道
与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为
日的球面ｓ上运行的情况下对卫星测控。方案一，
１６期 程红萍，等：卫星和飞船的跟踪测控模型 ４０５１
不考虑卫星的具体运行情况，通过对卫星运行的轨
道面进行合理划分，求得最少个数。方案二，对卫
星从起点到再次回到起点的运动过程进行全程跟
踪，首先计算一个测控站对卫星的最大跟踪时间，
然后依据卫星绕行周期求得卫星绕地一圈所需最
少测控站个数，最后乘以卫星绕地圈数，得到总测
控站个数。
对于问题１．３，利用问题１．２的模型对所选定
卫星在运行和发射过程中测控站的分布情况进行
分析评价。
５模型的建立与求解
５．１对于问题１．１
因为测控站与卫星或飞船的运行轨道共面，由
卫星知识可知，测控站会分布在赤道平面上，即卫
星或飞船的运行轨道与赤道平面共面。
考虑与地平面夹角３度以上的空域，卫星与地
球的运动状态有以下两种情况：
（１）卫星或飞船的运动速度与地区自转速度相
同，即卫星与地球同步，这时卫星一直处于同一地
面上空，所以只需要一个测控站即可。
（２）卫星或飞船的运动速度与地区自转速度不
相同，即卫星与地球不同步，每个测控站所能测控
的范围如图１区域，
图１测控站所能测控的范围
根据图１并利用正弦定理 ＝ ｂ ＝ Ｃ
可知：
＝ Ｒｓｉｎ ９０ （１） （ ＋ ） ｓｉｎ ＤｃＤ 、 即 ｓｉｎ／＿ＯＣＤ＝ ；
／＿＿ＯＣＤ…ｃｓｉｎ（ ）。
利用三角形中三角之和等于１８０。可知：
０＝１８０。一 ＯＣＤ一（９０。＋ ）＝
９０ 卢一ｃｓｉｎ（ ）。
根据以上公式所求的测控站个数为： ３６０。 １Ｒ０。 一百 ９—０￣－—１３－ａ—ｒｃｓｉｎ—（Ｒ＂ｓ ｉｎ（９０￣＋／３））
１８０ ￣
９０ （ｎ∈Ｎ） （２） 。一 —ａｒｃｓｉｎｆ Ｒ＋Ｈ１、“一一
每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角３
度以上的空域，所以 ＝３ ＯＯ １８０。 ———■ ８７￣ －ａｒｃ “（ ） （３）
图２测控站能覆盖的区域
利用ＭＡＴＬＡＢ软件作出关于测控站测控个数
与卫星或飞船离地高度日的曲线图观察可得：
观察图３说明：测控站的最少个数ｎ随着卫星
或飞船的离地高度日的增加而逐渐减少，当离地高
度日趋近于无限大时，测控站的个数只需要两个就
可以覆盖全球了。
５．２对于问题１．２
卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固
定夹角，设为ＯＬ，根据文献［２］，可知卫星的运行轨
道位于北纬 与南纬 之问的一个带状区域上空。
４０５２ 科学技术与工程 １２卷
嘣 髫 嚣 帐 港
图３ 测控站的数量与卫星离地高度
为实现卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖达到
全程跟踪测控的目的，采用两种模型来分析。
５．２．１ 模型１：完全覆盖模型
尽量减少测控范围圆之间的重叠部分才能测
控站覆盖的有效区域最大，所以就必须充分利用每
一个测控范围圆面积。而正六边形网络划分方法
则可以充分利用每一个节点的圆域面积 。
测控站测控的覆盖范围可表述为是以该站点
为圆心，以测控范围半径ｒ为半径的圆。依据以上
的信息，将测控站的位置进行排列，并对矩形区域
进行网格划分中，将圆两两相交的部分简化，用线
段代替圆相交部分，即用圆的内正六边形来代替圆
形，如图４所示。
图４ 内正六边形代替圆形
利用正六边形网格划分的方法可以知道在给
定的区域内充分利用测控的范围，就是使得该区域
的长和宽的区域带内充分利用。
根据图５的分析可知：ＡＢ为测控站测控范围弧
段。
由弧长公式（ｆ： ）可得： ａ一卫星轨道平面与赤道平面夹角（轨道倾角）；口一日］测控区域 边界与地平面夹角； 可测控区域横截面上的圆心角的一半； Ｒ一地球半径；日一卫星离地高度 图５测控站测控的弧段
Ａ—Ｂ＝２１０８＇０ｒｒ（ Ⅳ）＝ （４）
测控站测控范围面积：
ｓ ＝盯（竽） （５）
则一ＧＨ＝ （ ＝ （７）
ｆ３＿ｘｒ（Ｒ＋Ｈ）ａ ……取２ １８０ Ａ纵 Ｉ————Ｉ 【 Ｊ（１ ｊ刀 上耿 Ｌ
１６期 程红萍，等：卫星和飞船的跟踪测控模型 ４０５３
（２）在横向方向上的测控站个数为
【［ ２ ａｒ（Ｒ＋Ｈ）＿
ｏｌ ＝［ｎ横 【 ・ 【 Ｊ。
根据在纵向和横向的个数得出所需总的测控
个数为：
一 ［ １ｃ
Ｏｔ为轨道倾角，而所求圆心角的一半０＝９０。一
ＪＢ—ｃｓｉｎ（ ）
从模型１得出的是测控站个数ｎ与卫星离地高
度日和轨道倾角 的关系模型。
５．２．２模型２动态跟踪模型
在卫星的运行轨道与地球赤道平面有夹角，且
地球自传时，对该卫星可能飞行区域进行完全的测
控。为了运用最少的测控站达到全程跟踪的目的，
则要求每个测控站应跟踪的时间最长。根据相关
知识，只有当卫星从测控站正上方经过时，测控站
的测控时间最长，即对卫星运动轨道的测控距离最
长。在模型中我们以卫星刚好在测控站正上方为
起点分析，这时卫星与测控站有相同的经度和纬
度，所以测控站在空问的位置表达式为：
ａ】＝（Ｒ，Ｐ， ）。 卫星在空问位置可表示为：
ｂ１＝（Ｒ＋Ｈ，Ｐ， ）。 设定当经过ｔ时间后，卫星刚好到达测控站可
测控范围的边界处，这时观测站在同纬度上发生了
蚋ｔ个单位的经度变化，此时
测控站在空问位置可表示为：
ａ２＝（Ｒ，Ｐ， ＋ 地ｔ）。 由于卫星运行轨道平面与赤道平面存在夹角，
所以卫星在纬度和经度上都发生了变化，此时卫星
在空间的位置可表示为：
：［Ｒ＋ ＋ ＋（ 一 地ｔ］。
由图７可知：因为卫星此时处于测控站的边界
处，所以向量（６ 一ｏ ）与向量８ 的夹角为９０。一３。
＝８７。，即 ． — ．— ．－－－－＋ （ｂ２一ａ２）＾ａ２＝８７。。 球． 。・
图７测控站观察的始末
为了方便计算，我们将球面坐标转换为直角坐标，
则有： ４ ａ２＝（Ｒ・ｓｉｎｐｃｏｓ（ ＋∞地ｔ），Ｒ・ｓｉｎｐｓｉｎ（ ＋ 地ｔ），
Ｒｃｏｓｐ），
ｂ，＝ （ ＋ｔ／）。ｓｉｎ（ｐ＋
（Ｒ＋／４） ｎ（ｐ＋ ‘ ｃｏｓ（＋ 。
ｎ（ ＋ ・
（ ＋ｔ／）Ⅷｓ Ｐ＋ ・ ） ）
利用向量内积得： （－６－ ＋一 ） ＝ｆ — ｌ Ｊ ｆｃ。ｓ８７。。
口 ，６ 各分量都含有参数ｔ，因此可得：
（）＝（ — ）・ —ｌ— ＪＪ８７Ｆ ｔ ｂ ｃｏｓ８７。＝０ （）＝（：一口：）・Ⅱ 一ｌ ６ 一０ Ｊ・ｌ ０ Ｊ 。＝
利用ＭＡＴＬＡＢ软件求得出ｔ。
由于卫星从进入测控区到位于测控站上空再
到离开测控区的两段时间相同，所以卫星被一个测
控站测控的总时间为２ ｔ。
卫星绕地一圈，测控站的个数：
１丁 。 蔷。
地球自转一圈，卫星绕地圈数 ２４。 』卫 由于卫星在高度为 的球面上运行速度恒定
则所需测控站的总个数为：
２４ １２ ｎ一’ 了。
若已知第一个测控站的球面坐标为（Ｒ，Ｐ， ），
则下一个测控站的球面坐标为
（ ＋（ 一 地） ＋（ ） ）。
对于问题１．３