矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化
定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅
定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B
定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =
那么就说，在数域F 上B 与A 合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12
m P Q Q Q =。
此时71
1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积
若111T T T
T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以
A B ≅，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=-
又因为I λ为对称矩阵
所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=-
||I A λ=-
注①合同不一定有相同特征多项式
定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同
论：设A ，B 为特征根均为12
,n λλλ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩
阵，,Q P 使得
112[]Q AQ λλ-=
11
[]n P BP λλ-=
从而有11Q AQ P BP --= 11PQ AQP B -=
由11Q Q E PP E --==
从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=
又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ =
1QQ -=
E =
1QP -∴为正交矩阵
所以A B 且A B ≅
定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质
证明：A B ≅即T P AP B =，若对称阵，则T A A = ()T T T B P AP =
T T P A P = T P AP = B =
所以B 边为对称阵
[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？
引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则 ||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-1200
0n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，线性无关的解向量个数为n r -个，即5
个
又因属不同特征根的特征向量线性无关 ⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量
⇔n 阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用
例 求一非线性替换，把二次型
123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+
二次型`23(,,)f x x x 矩阵为
011103130A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换
212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→2
00020006⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
1001111
101110
01101E ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
可把二次型化为标准型
222123123(,,)226f x x x y y y =-+
解法（2）
212103
230A -⎡⎤
⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2101020
22⎡⎤
⎢⎥→-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
2001022022⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
此时222123123
1(,,)262f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为
11223311321112
001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？ 例3．用可逆性变换化二次型
222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-
解：222
112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+
对二次型矩阵为 6
3336333
6A --⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣
⎦
1
006006
00010999
63
30
000
002223639
9000336012211
0011112
1
010********
101
02
10
01001A E ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥---
⎢⎥⎢⎥=→
→→⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢
⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦
E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形22
12f y y =+
，则11223310
10
1
x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
PTA B =
[注]当P 改变两行的位置交换后，发现
00016 3 31000363101033
600000111
1⎡⎤⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤
⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥--=⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦
定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T P AP B =，则调整P