法向量
切平面的单位法向量(unit normal vector) 为
ru rv n (u, v) (u, v) | ru rv |
法线
经过点 p(u, v) S 且垂直于S 在 p 点的切平面的直 线称为曲面 S 在 p 点的法线(normal line). 它的参 数方程为
将 u, v, du, dv 看作4个独立的变量，则对于du, dv 的 不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值du : dv 来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求 du : dv 不能全为0. 作业：1，3，5
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r (t ) r (u (t ), v(t ))
切向量 曲面 S 上过 p(u0 , v0 )点的任意一条连续可微曲线在 该点的切向量称为曲面 S 在 p 点的一个切向量 (tangent vector).
v


r
(u0 , v0 )
v v0
r (u0 , v0 )
z
称为曲面 S 在 p点的切空间(tangent space).
切平面 在空间 E 3 中，经过点 p(u, v) S ，以两个不共线向 量 ru (u, v), rv (u, v)为方向向量的平面称为曲面S 在 p 点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为
X ( , ) r (u, v) ru (u, v) rv (u, v),( , ) R 2
X (t ) r (u, v) tn (u, v)
曲面的切空间，切平面和法线
r (u, v); ru (u, v), rv (u.v), n (u, v) 曲面上的自然标架：
n
rv ru
z
x
图3.6
y
连续可微函数的等值面
f ( x, y, z ) 是定义在 D 上的连续 设 D E 3是一个区域， 可微函数. 对于一个常数 c R ，集合 f 1 (c) ( x, y, z ) E 3 | f ( x, y, z ) c 称为函数 f 的等 值面.
微分几何
Differential Geometry
切平面和法线
Chapter 3 参数曲面
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曲面上的曲线Curve on surface
r 曲面 (u, v)上的曲线可以通过以下方式定义：
u u (t ), v v(t )
其中u (t ), v(t )为连续可微函数。曲线的参数方程为：

u u0
D
u
x
y
图3ห้องสมุดไป่ตู้1
曲面的切空间
曲面 S 在 p 点的切向量全体记为Tp S ，它是一个2 r ( u , v ), r u 0 0 v (u0 , v0 ) 是 Tp S 的一个基. 维实向量空间， 事实上，
Tp S aru (u0 , v0 ) brv (u0 , v0 ) | a, b R
1 f ( c ) 如果在 的每一点，都有 f : f x , f y , f z 0 ， 1 f 则等值面 (c)是一个正则曲面.
dr 微分 的几何意义
r S 设曲面 的参数方程为 r (u, v) . 微分得到 dr (u, v) ru (u, v)du rv (u, v)dv