经济增长理论之 索洛模型
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预备知识：技术进步的类型
Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型） Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型） Y=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型）
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新古典经济增长模型的提出
由美国经济学家R·Solow(索洛)和T·Swan(斯 旺)提出,即Solow- Swan Model
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1.储蓄率变化的影响方向分析
snew
k
ne
w
y new
snew f (k )
(n g )k sold f (k )
kold
k
ne
w
k
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变化的路径：
k
•
k 0 k
k
为实际投资
•
k 0 k
(g n ) 曲线上任一
点与原点连
sf (k) / k 接直线的斜
率，随k增加
k
而降低。
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（三）参数变化的影响
索洛模型中，主要参数有：
n, g, , s
政策最有可能影响的是储蓄率
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（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。 分三个角度来观察： 1.旧的稳态点 2.新的稳态点 3.由旧稳态点到新稳态点的动态调整过程
等于常数，人口和知识呈指数增长。
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（二）模型的动态学
k的动态变化
kt dk d K t AtLt
dt
dt
Kt At Lt
K t
At Lt 2
AtLt
Lt At
Kt At Lt
K t At Lt
Lt Lt
K t At Lt
At At
sY t K t At Lt
ktn ktg
(n g )，c * f
s
0
当k* f
k *gold ，f
'(k *(s, n, g, )) p
(n g )，c * p
s
0
42
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
c
储蓄率提高，消费减少（资
本高于黄金律水平）
t0
t
43
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
储蓄率降低，消费增加（资
c
sf kt n g kt
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（二）模型的动态学
索洛模型的核心公式：
kt sf kt n g kt
单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之：
sf k： 单位有效劳动的平均投资
n g k：t持平投资，使k保持现有水平所必
需的投资
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经济解释
k&(t)=sf(k(t))-(n+g+ )k(t)
边际报酬递减
满足稻田(Inada)条件：
lim f k
k 0
lim f k 0
k
保证经济增长路径不发散
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（一）模型的基本假定
f( k)
k
9
注释：新古典生产函数
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。 第三，稻田条件：
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。
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随时间变化的路径：
k
•
k 0 k
当储蓄率一次性提高，k的增 长速度在最开始达到最大，之 后开始减少，直至到新的稳态 处为0.
(g n)
s2 f (k) / k s1 f (k) / k
k1
k
2
k
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储蓄率增加的影响方向分析
储蓄率的一个永久增加： 导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平； ➢ 在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响； ➢ 造成Y/L增长率的暂时性增长；
形式： F K ,1 1 FK, AL
AL AL
y f k
y为单位有效劳动的平均产量； k为单位有效劳动的平均资本量。
其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL·f(k)
7
（一）模型的基本假定
进一步假设：
f k 0
f k 0
12
（一）模型的基本假定
劳动和知识的进化，使得有效劳动数量 在增长，其增长率为：
d A(t)L(t) dt A(t)L(t) A(t)L(t) A(t) L(t) g n
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
A(t) L(t)
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（一）模型的基本假定
3.资本的增长（投资）：
Kt sY t K t
i=sgf(k)
i=s1f(k)
0
k1*
k
g
k2*
k
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（四）收敛问题
收敛速度 绝对收敛与相对收敛
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收敛速度
•
定义k的增长率 k/ k sf (k) / k (n g ) k •
当sf (k(t))>(n g )k(t)时，k(t)>0；
•
当sf (k(t))<(n g )k(t)时，k(t)<0；
产量取决于三个变量：资本、劳动、知识； A和L以相乘形式影响Y
5
（一）模型的基本假定
规模报酬不变
FcK,cL cFK, L c 0
这意味着：
a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）； b 其他因素，如自然资源等不重要。
6
（一）模型的基本假定
根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集
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xt xt
2.储蓄率增加的影响程度分析
x(t) 的增长路径：
xt x0et
写成k的形式：
k t k * e 1K k* ng t k 0 k *
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绝对收敛与相对收敛
对索洛模型的收敛性的实证检验（样本 的同质性与异质性），产生绝对收敛与 相对收敛的概念。
是索洛模型的基本微分方程， 它表明k&(t)是k的方程。 含义说明：人均实际投资sf(k(t)) 用于两个方面：一是“资本的深化”， 即k&(t)，二是“资本的广化”（持平投资），
即（n+g+）k(t)。 18
（二）模型的动态学
每单位有效劳动 平均投资
n g kt
sf k
k*
k
19
（二）模型的动态学
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（一）模型的基本假定
投入品的指数增长： 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长：•
L(t) / L(t) [dL(t) / dt] / L(t) n （2）知识的增长：A• (t) / A(t) [dA(t) / dt] / A(t) g
其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外 生参数，表示不变增长速度
dt L(t) L(t) L(t) L(t)
L(t)
L(t)
L(t)
人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。
注意区分人均产出与人均有效劳动产出。
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平衡增长路径
在索洛模型中，无论从任何一点出发， 经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长 路径上，每个变量的增长率都是常数， 且是外生决定的。特别是，在该路径上， 人均产出的增长率仅取决于技术进步率。
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结论
k s • f '(k) f (k) k/ k p 0 k
经济体低于稳态越多，将会增长越快；经 济体高于稳态越多，将会增长越慢。
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收敛速度：定量分析
收敛速度：k以多快的速度趋近于k*。
k kk
在k k *处，对kk 作一阶泰勒级数近似：
k
kk
k
k k*
k
k
*
kk sf k * n g
k的相图（三维空间在平面的投影）
•
k (t )
k
与上图联 系起来
k*
k
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稳态
定义“稳态”：一种其中各种变量 都以不变速度增长的情况，即k&(t)=0。
当sf(k(t))f (n+g+ )k(t)时，k&(t)f 0（资本存量增加） 当sf(k(t))p (n+g+ )k(t)时，k&(t)p 0（资本存量减少） 当sf(k(t))＝(n+g+ )k(t)时，k&(t)＝0
Solow模型就是要通过改变资本-产量比来考 虑技术进步对经济增长的作用。
3
索洛模型
（一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论
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（一）模型的基本假定
1.关于生产函数的假定
Y t F K t , At Lt K t ：资本存量； At ：知识水平； Lt ：劳动力
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变量
含义
平衡增长速度
备注证明
K
资本存量
n+g
k=K/AL
绝
L
劳动力
n
对
A
知识或技术
g
量
AL
有效劳动
n+g
总产出
F(cK,cAL)=cF(K,
Y
n+g
AL)
C
总消费
n+g
C=(1-s)Y
有效劳动的平均资
k(K/AL) 本
0
K/L
人均资本
g
相
有效劳动的人均产
y=f(k)=Y/AL
y(Y/AL)
出
0
对
Y/L
人均产出
g
量
有效劳动的人均消
c=(1-s)f(k)
c(C/AL)