其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL· f(k)
8
（一）模型的基本假定
进一步假设：
f k 0 f k 0
边际报酬递减
满足稻田( Inada )条件： lim f k lim f k 0
gt At A0e
12
（一）模型的基本假定
投入品的指数增长： 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt ] / L(t ) n
（2）知识的增长： A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外 生参数，表示不变增长速度
18
经济解释
k(t)=sf(k(t))-(n+g+ )k(t) 是索洛模型的基本微分方程， 它表明k(t)是k的方程。 含义说明：人均实际投资sf(k(t)) 用于两个方面：一是“资本的深化”， 即k(t)，二是“资本的广化”（持平投资）， 即（n+g+）k(t)。
19
（二）模型的动态学
每单位有效劳动 平均投资
14
（一）模型的基本假定
3.资本的增长（投资）：
t sY t K t K s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
15
索洛模型下的经济体特征：
经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L 和知识 A 是生产的三大要素（其他要素都可以忽 略），经济在任何时刻都处于充分就业的均衡状态， 储蓄总是等于投资； 生产的规模报酬不变； 技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于 哈罗德型（劳动密集型）； 生产函数的集约形式满足新古典假设； 人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都 等于常数，人口和知识呈指数增长。
含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出
平衡增长速度
n+g
n g n+g n+g
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=cF(K, AL) C=(1-s)Y
总消费 有效劳动的平均资 本 人均资本 有效劳动的人均产 出
n+g
k(K/AL)
K/L 相 y(Y/AL)
0
g y=f(k)=Y/AL 0
33
（三）参数变化的影响
索洛模型中，主要参数有：
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
34
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。
分三个角度来观察： 1.旧的稳态点
2.新的稳态点
13

（一）模型的基本假定
劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增 长，其增长率为：
(t ) L(t ) A(t ) L (t ) L (t ) A (t ) d A(t ) L(t ) dt A gn A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t )
K 0 L 0 K
lim FK lim FL 0
L
11
（一）模型的基本假定
2.关于投入品的假设 资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、 知识以不变速度（外生）增长：
t nLt L t gAt A 则可得到： Lt 假设。这一假设说明了总产出是按 照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：
，
K FAL AL Y FK
是资本的边际生产力， 是有效劳动的边 F AL 其中 FK 际生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率n g 在增长，所以：
(t ) (n g ) K (t ) K
k k 0
保证经济增长路径不发散
9
（一）模型的基本假定
f( k)
k
10
注释：新古典生产函数
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。 第三，稻田条件：
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。
因此，索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
lim FK lim FL

( AL)(t ) (n g ) A(t ) L(t )
28
Y的增长率
从以上可推导：
总产出的增长率也是 n g
29
人均产出增长率
(t ) Y (t ) L (t ) (n g )Y (t ) Y (t ) Y (t ) d Y (t ) Y n g dt L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t )
（实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*）
23
趋势定理
在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资
k (t ) k * 本k=k(0)，那么就有 lim t
24
（二）模型的动态学：平衡增长路径
k=k*时各变量的变动：
A, L按固定增长率增长； K (等于 ALk )：以速率 n g增长； Y：以速率 n g增长；
n g k t
sf k
k*
k
20
（二）模型的动态学
k的相图
k (t )

k
k*
与上图联
系起来
k
21
稳态均衡图示
因为
d [ sf (k ) / k ] d [ f (k ) / k ] f (k ) kf ' (k ) F ' AL 0 s s s dk dk k2 k2


17
（二）模型的动态学
索洛模型的核心公式：
t sf k t n g k t k
单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之： sf k ：单位有效劳动的平均投资 n g k t ：持平投资，使k保持现有水平所 必需的投资
Y=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型）
3
新古典经济增长模型的提出 由美国经济学家R·Solow(索洛)和T· Swan(斯旺) 提出,即Solow- Swan Model
Solow模型就是要通过改变资本-产量比来考虑 技术进步对经济增长的作用。
4
索洛模型
（一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论
sf (k ) / k
(n g )
k (t )

k* k* k
k
22
稳 态
定义“稳态”：一种其中各种变量 都以不变速度增长的情况，即k(t)=0。 当sf(k(t)) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量增加） 当sf(k(t)) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量减少） 当sf(k(t))＝(n+g+ )k(t)时，k(t)＝0
39
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
在稳态下，消费等于：
c * f k * n g k * c * * * k * c * k s, n, g , * f k n g s s
f k n g
这意味着：
a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）； b 其他因素，如自然资源等不重要。
7
（一）模型的基本假定
根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集 形式： 1 K
F ,1 F K , AL AL AL y f k
y为单位有效劳动的平均 产量； k为单位有效劳动的平均 资本量。
经济增长理论之
索洛模型
1
70法则
如果任意变量每年以g%的速度增长，则该变量值翻 倍时间大约是70/g年。
yt y0e gt 2 y0 y0 e
gt *
t * log 2 / g 0.7 / g g % 1%和5%时，t * 70和14年。
2
预备知识：技术进步的类型
Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型） Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型）
3.由旧稳态点到新稳态点的动态调整过程
35
1.储蓄率变化的影响方向分析
snew
k new
ynew
(n g )k
snew f (k )
sold f (k )
k old
k new
k
36
k 变化的路径：
k 0 k

k 0 k

sf
k

为实际投资 ( g n ) 曲线上任一 点与原点连 (k ) / k 接直线的斜 率，随k增加 k 而降低。
人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。 注意区分人均产出与人均有效劳动产出。
30
平衡增长路径
在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济 向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上， 每个变量的增长率都是常数，且是外生决定 的。特别是，在该路径上，人均产出的增长 率仅取决于技术进步率。
31
变量
K
绝 对 量 L A AL Y C
16
（二）模型的动态学
k 的动态变化
dk d K t At Lt k t dt dt t K K t t t Lt A A t L At Lt At Lt 2 t t t K K t L K t A At Lt At Lt Lt At Lt At sY t K t k t n k t g At Lt sf k t n g k t