2011
1.（8分）设随机过程X 具有概率分布： X 0 1 2
Pk 1/2 1/3 1/6
试求其特征函数)(t g x 。
2.（8分）设随机变量X 的特征函数为it
t g x -=
11)(，试求X 的数学期望E(X)和
方差D(X)。
3.（8分）设迷宫中某处有三个出口。
若选择路口1，则3小时可走出迷宫；若选择路口2，则5小时后又回到原处；若选择路口3，则7小时后又回到原处；并设每次选择各个路口的概率是等可能的。
求走出迷宫所需时间的期望值。
4.（8分）设},2,1,{ =i X i 是一独立随机变量序列，且有相同的两点分布
i X 0 1 i p
1/3
2/3
令∑==
n
i i
n X Y 1
；试求随机过程},2,1,{ =n Y
n
的均值函数和相关函数。
5.（8分）设}0),({≥t t X 是一参数为λ的泊松过程，若t s <<0，对n k <<0，求
})(|)({n t X k s X P ==
6.（10分）设齐次马氏链},2,1,{ =n X n 的状态空间为}4,3,2,1{=I ，其初始分布和转移概率矩阵为：
4
,3,2,1,4/1}{0====i i X P p i
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=
4/14
/14
/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P 试求}41,1|4{103<<==X X X P
7.（10分）设有随机相位过程ωω,),cos()(a t a t X Θ+=为常数，Θ为)2,0(π上服从均匀分布的随机变量。
试证明随机过程)(t X 为各态历经过程。
8.（10分）一质点在1，2，3点上做随机游动。
若在时刻t 质点位于这三点之一，
则在),[h t t +内，它以概率)(2
1
h o h +分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游
动的柯尔莫哥洛夫向前方程、转移概率)(t p ij 及平稳分布。
9.（10分）设随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X ，其中，Z Y ,是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。
（1）试证明此随机过程是宽平稳过程，（2）求该平稳随机过程的谱密度)(ωx s 。
10.（10分）设齐次马氏链},2,1,{ =n X n 的状态空间为}7,6,5,4,3,2,1{=I ，转移
概率矩阵为⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2.08
.00
7.03.000000003.05.02.000006.004.000
0004.06.0001.01.01.02.02.02.01.01.01.01.001.02.04
.0，试（1）画出该齐次马氏链的状态转移概率，（2）求该齐次马氏链的状态分类，（3）求该齐次马氏链的各常返闭集的平稳分布。
11.（10分）设随机过程}0),({≥t t X 为一随机电报信号过程，其中
)
()
1)(0()(t N X t X -=，}0),({,2
1}1)0({}1)0({≥=
-===t t N X P X P 是参数为λ的泊
松过程，且)(t N 与)0(X 相互独立，试证明}0),({≥t t X 为宽平稳过程。
2012
1.（10分）设54321,,,,X X X X X 相互独立，且具有相同的几何分布律：
,3,2,1,1,0,}{1
==+>==-k q p p pq
k X P k i
求∑==
5
1
i i
X Y 的分布律。
2.（10分）设到达电影院的观众组成强度为λ的泊松流。
如果电影院在时刻t 开演，试计算在[0,t]内到达电影院的观众等待时间总和的期望值。
3.（18分）设齐次马氏链的一步转移概率矩阵如下：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=6.00
4.008.0002.0002.04.02.02.001.0
5.01.01.01.01.004.000
6.004.000006.0P ，
求：（1）}0)(|2)2({},0)(|1)2({==+==+n X n X P n X n X P ；
（2）试对状态空间S 进行分类；
（3）此链是否存在平稳分布？若存在，求出其平稳分布。
4.（12分）设有两个通信信道，每个信道的正常工作时间都服从参数为λ的指数分布。
两个信道何时中断是相互独立的。
若信号一旦中断，立即进行维修（一个维修员），维修时间服从参数为μ的指数分布，且维修时间也是相互独立的。
设两个信道在t=0时均正常工作，求：
（1）这两个信道组成的系统满足的柯氏微分方程。
（2）此系统的极限分布律。
5.（12分）随机过程∞<<-∞Θ+Θ=t t A t X ),2sin()(21π，其中A 是正常数，随机变量1Θ与2Θ相互独立，1Θ的概率密度函数为偶函数，),(~2ππ-ΘU ，证明： （1）)(t X 是宽平稳过程。
（2）)(t X 的均值具有各态历经性。
6.（16分）对随机过程∞<<-∞Θ+=t wt A t X ),cos()(，A 和w 是常数，)2,0(~πU Θ。
求：
（1）)(t X 是否宽平稳过程？（2）)(t X 的平均功率。
7.（12分）如果)(t X 是均值3)(=t EX ，自相关函数||29)(ττ-+=e R XX 的平稳随机过程，求随机变量⎰=2
0)(dt t X Y 的平均值和方差。
8.（10分）设)(t
A
t
Y+
=的
BX X是平稳随机过程，试用)(t
(t
X的功率谱表达出)(
)
功率谱。
其中，A和B是实常数。